L'idée de ce document m'est venue lorsqu'un ami a construit un planétaire
reproduisant les mouvements du soleil et de la lune par rapport à la terre. Les
principaux termes utilisées pour définir l'heure, caractériser les positions des
astres dans le ciel, construire un calendrier et comprendre le phénomène
d'éclipses sont définis : écliptique, obliquité, précession, nutation, jour stellaire,
jour sidéral, jour solaire, année sidérale, année tropique, équation du temps,
mois lunaire, éclipses de lune, éclipses de soleil, calendriers de type solaire,
lunaire ou luni-solaire, libration, marées … Puisque ce planétaire est animé par
une horloge mécanique de précision, une annexe sur le principe des balanciers
compensés en température a été ajouté (annexe n° 6). J'ai essayé de rendre cet
exposé abordable à tout esprit curieux, même peu féru de mathématique et de
physique. Les lecteurs soucieux d'approfondir leurs connaissances trouverons
des références de sites internet et des renvois sous forme d'annexes en fin de
document, plus complets et plus précis. Les données astronomiques utilisée sont
le plus souvent celles publiées par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul
des Éphémérides (I.M.C.C.E.); elle sont disponibles sur internet à l'adresse
suivante: http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/. J'ai également utilisé
certaines données figurant dans le livre de Jean MEEUS: «Calculs
Astronomiques à l'usage des amateurs»; ce livre est publié par la Société
Astronomique de France. Les valeurs précises d'un certain nombre de constantes
ont été obtenues sur un site de l'Observatoire de Paris à l'adresse suivante:
http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants_fr.html.
Des précisions et des photographies sur le planétaire évoqué plus haut sont
disponibles à l'adresse suivante:http://emmanuel-bouquet.fr/
Toute critique constructive et toute question seront les bienvenues à
l'adresse mél suivante: sassiere@vanoise49.fr
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Table des matières
Partie I: Quel référentiel choisir pour un planétaire?.........................................................................3
I.1. Choix d'un référentiel héliocentrique?.....................................................................................4
I.2. Choix d'un référentiel géocentrique?........................................................................................5
I.3. Choix d'un référentiel terrestre ?...............................................................................................7
Partie II: Comment repérer un astre dans le ciel?...............................................................................7
Partie III: jour sidéral et jour solaire....................................................................................................8
III.1. Définition du jour solaire........................................................................................................9
III.2. Jour solaire vrai et jour solaire moyen....................................................................................9
III.3. Jour solaire moyen et jour stellaire.......................................................................................11
Partie IV: influence de la précession des équinoxes..........................................................................13
IV.1 Année sidérale et année tropique............................................................................................13
IV.2. Année civile: calendriers julien et grégorien........................................................................16
IV.3. Jour stellaire et jour sidéral...................................................................................................16
Partie V: mouvement de la lune........................................................................................................18
V.1 Complexité du mouvement......................................................................................................18
V.2 Description simplifiée du mouvement de la lune dans le référentiel géocentrique; mois
anomalistique.................................................................................................................................19
V.3 Orientation de la trajectoire dans l'espace...............................................................................20
V.4 Influence du soleil sur l'inclinaison de la trajectoire...............................................................21
V.5 Influence du soleil sur la forme et l'orientation de la trajectoire.............................................23
V.6 Les différentes périodes lunaires ou mois lunaires..................................................................24
........................................................................................................24
....................................................................................................................24
.................................................................................................................25
..........................................................................................................25
V.6.5 Les phases de la lune.......................................................................................................26
V.6.6 mois synodique................................................................................................................28
V.6.7. Application aux calendriers solaire, lunaire et luni-solaire............................................29
V.6.8. Rotation propre de la lune...............................................................................................30
V.6.9. Libration de la lune.........................................................................................................31
V.6.9.a) Libration parallactique............................................................................................33
V.6.9.b) Libration en longitude.............................................................................................34
V.6.9.c) Libration en longitude.............................................................................................36
V.6.9.d) Synthèse sur la libration..........................................................................................36
Partie VI: les éclipses........................................................................................................................37
VI.1 Les éclipses de lune...............................................................................................................37
...............................................................37
VI.1.2. Ombre et pénombre.....................................................................................................37
VI.1.3. Largeurs des zones d'ombre et de pénombre................................................................38
VI.1.4. Estimation de la durée d'une éclipse.............................................................................40
VI.1.5. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de lune.............................41
VI.1.6.Prévision et périodicité des éclipses de lune; le saros...................................................44
VI.1.7.Influence de l'atmosphère terrestre: déviation et diffusion de la lumière.....................46
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VI.1.8. Conditions de visibilité d'une éclipse de lune...............................................................49
VI.2 Les éclipses de soleil.............................................................................................................49
VI.2.1. Définition et première condition d'obtention................................................................49
VI.2.2. Ombre et pénombre.....................................................................................................50
VI.2.3. Cas où le sommet du cône d'ombre est entre la lune et la terre: éclipse annulaire de
soleil.........................................................................................................................................51
VI.2.4. Cas où le sommet du cône d'ombre est à l'intérieur de la terreou à la surface de la terre
: éclipse totale de soleil............................................................................................................53
VI.2.5. Éclipse de soleil hybride...............................................................................................54
VI.2.6. Zones d'observations d'une éclipse de soleil.................................................................54
VI.2.7. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de soleil...........................57
VI.2.8. Durées de visibilités des éclipses de soleil...................................................................59
VI.2.8.a) Durée de visibilité pour un observateur fixe.............................................................59
VI.2.8.b) Durée de visibilité à la surface de la terre................................................................61
VI.2.9. Périodicité des éclipses de soleil; le saros....................................................................62
Pour comprendre l'importance de cette question, partons d'une situation simple
facile à imaginer: un cycliste roule à vitesse constante en ligne droite et intéressons-
nous au mouvement d'un point à la périphérie d'une roue (point au plus près de la
valve par exemple). Quel est le mouvement de ce point? Deux (au moins) points de vue
sont possibles.
Première description: celle du cycliste regardant sa roue: le point est animé
d'un mouvement circulaire à vitesse constante autour de l'axe de la roue.
Cemouvement est alors décrit par rapport à un solide de référence: ici le cadre du
vélo. Ce solide de référence est appelé « référentiel du mouvement».
Remarque: se pencher pour regarder la roue n'est pas très commode; on peut aussi se demander ce
qu'enregistrerait une webcam fixée au vélo par une perche de façon à rester dans l'axe de la roue...
Deuxième description: celle faite par un spectateur immobile par rapport à la
terre, regardant le cycliste passer. Le référentiel est cette fois-ci la terre. Le
mouvement est alors beaucoup plus complexe: la trajectoire est une courbe appelée
cycloïde. La figure du schéma n° 1 représente les positions successives tous les
centièmes de seconde d'un point à la périphérie d'une roue de 0,70m de rayon lorsque
le vélo se déplace par rapport à la terre à la vitesse de 36km/h (10m/s).
Remarque: cette fois-ci, la webcam serait fixée au bord de la route et filmerait la roue passant
devant elle...
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Cet exemple montre clairement que, selon que l'on choisit un référentiel ou un autre, la
description du mouvement peut être radicalement différente.
Revenons maintenant à l'astronomie et plus précisément au système solaire.
C'est le point de vue qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…) placé au
centre du soleil face à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme
fixe. Pour faciliter la description ultérieure des mouvement des planètes, on associe au
référentiel héliocentrique un repère dit «repère héliocentrique». L'origine de ce repère
est le centre du soleil, ses trois axes pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées
pour être considérées comme fixes.
Remarque: si cette idée «d'étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes» vous
intrigue, imaginez la situation simple suivante: vous êtes au bord de la mer et regardez un bateau à
l'horizon. Le bateau semble immobile et pourtant il se déplace à la surface de l'eau à une vitesse de
quelques dizaines de kilomètres par heure. Alors bien sûr: les étoiles se déplacent par rapport au
système solaire à des vitesses bien supérieures à celle du bateau mais elles sont tellement plus
éloignées: au moins quarante mille milliards de kilomètres soit au moins 267000 fois la distance
moyenne terre-soleil!
Le mouvement des principales planètes du système solaire dans ce référentiel a
été bien décrit par Képler au début du XVIIième siècle puis étudié théoriquement par
Newton à la fin du même siècle. Le centre de chaque planète décrit un mouvement
plan, tous ces plans ayant un point commun: le centre du soleil. Le plan particulier
contenant le centre du soleil et la trajectoire de la terre est appelé «plan de
l'écliptique». En réalité, les plans des trajectoires des autres planètes sont très peu
inclinés par rapport au plan de l'écliptique (au maximum 7° pour Mercure; 1,8° pour
Mars). Les trajectoires sont des ellipses de très faibles excentricités admettant le
centre du soleil comme foyer. Dans ces conditions, on considère souvent, de façon un
peu simplifiée, que tous les centres des planètes décrivent des cercles concentriques et
coplanaires autour du centre du soleil de rayons différents. On appelle «année
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schéma n° 1
sidérale» pour une planète la période du mouvement de son centre, c'est à dire la
durée nécessaire pour effectuer un tour complet, la mesure étant effectuée dans ce
repère héliocentrique. Ainsi une année sidérale terrestre vaut 365,256363004 jours
alors qu'une année sidérale de mars vaut environ 687 jours.
Remarque 1: des animations du système solaire ainsi que des informations complémentaires sont
disponibles sur le site du CNES: http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7626-le-systeme-solaire-en-
version-interactive.php
Remarque 2: pour plus de précisions sur les ellipses et leurs excentricités: voir annexe n°1.
On voit que le référentiel héliocentrique serait bien adapté à un planétaire
présentant les mouvements des différentes planètes mais les mouvements des
satellites de ces planètes seraient difficiles à
reproduire mécaniquement (cas de la lune par
exemple) …
C'est le point de vue qu'adopterait un
observateur (évidemment fictif…) placé au centre
de la terre face à une étoile suffisamment
éloignée pour être considérée comme fixe.
Comme pour le référentiel héliocentrique, on associe à ce référentiel un «repère
géocentrique» dont l'origine est le centre de la terre et dont les trois axes pointent vers
trois étoiles fixes. Ainsi le repère géocentrique et le référentiel héliocentrique tournent
l'un par rapport à l'autre, les différents axes gardant des directions fixes. Un
mathématicien dirait que les deux repères sont en translation elliptique l'un par
rapport à l'autre…
Pour un observateur géocentrique, c'est bien sûr le soleil qui tourne autour de la
terre! Dans le repère géocentrique, le centre S du soleil décrit dans le plan de
l'écliptique une ellipse de faible excentricité identique à celle obtenue dans le repère
héliocentrique. La durée d'un tour est la même: une année sidérale.
Remarque: cette affirmation est démontrée en annexe n°2.
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schéma n° 4
schéma n° 3
schéma n° 2
En revanche les trajectoires des centres des autres planètes dans le repère
géocentrique sont assez complexes. Le schéma n° 3 représente dans le repère
héliocentrique les trajectoires des centres de la terre (en bleu) et de mars (en rouge)
sur une durée d'une année sidérale de la planète mars à partir du 1 janvier 2015. Le
schéma n° 4 représente dans le repère géocentrique les trajectoires des centres du
soleil (en bleu) et de mars (en rouge) sur la même durée. Les axes sont gradués en
unités astronomique (une unité astronomique représente environ 150 millions de
kilomètres). La figure de gauche illustre les propos tenus précédemment sur la vision
héliocentrique des planètes. La figure de droite montre la trajectoire quasi circulaire
du soleil mais aussi la complexité de la trajectoire de mars: celle-ci n'est pas fermée,
on ne peut plus parler de mouvement périodique. On observe en mai-juin 2016 un
phénomène curieux: au lieu de tourner régulièrement dans le même sens que le soleil,
mars semble repartir en arrière tout en se rapprochant fortement de la terre pour re-
prendre ensuite une trajectoire régulière: on parle de «rétrogradation» de mars.
Dans ces conditions, réaliser un planétaire représentant les différentes planètes
et le soleil du point de vue géocentrique serait tout à fait impossible. Cependant, le
planétaire cherche à visualiser les positions relatives de trois astres seulement: la
terre, le soleil et la lune. Nous venons de le voir: le mouvement du soleil dans le repère
géocentrique est simple; nous le verrons bientôt: le mouvement de la lune est un peu
plus compliqué à simuler dans le repère géocentrique mais beaucoup moins qu'il ne le
serait dans le repère héliocentrique. La conclusion s'impose: le planétaire adopte le
point de vue géocentrique.
Dans ce repère géocentrique, le centre de la terre est fixe mais la terre n'est pas
immobile pour autant: elle
tourne sur elle-même autour
de l'axe de ses pôles à raison
d'un tour par jour stellaire.
Un jour stellaire a pour durée:
23h56min4,1s. Nous verrons
bientôt l'explication de la
différence entre le jour stellaire
et le jour de 24h. Au cours du
temps, l'axe des pôles garde une
direction inclinée d'un angle ε =
23°26' par rapport à la
perpendiculaire au plan de
l'écliptique. Cet angle ε est ap-
pelé obliquité de l'écliptique.
Remarque 1: de nombreux sites pro-
posent des animations réussies des
mouvements de mars, de la terre et du
soleil dans les référentiels héliocen-
trique et géocentrique; par exemple:
http://www.jf-noblet.fr/mouve2/planetes.htm
Remarque 2 : le fait que la direction de l'axe des pôles reste pratiquement fixe sur une année est
responsable du phénomène des saisons. Le très lent mouvement de cet axe sera décrit dans la partie
II. Pour plus de précisions on peut consulter le site suivant:
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schéma n° 5
http://philippe.boeuf.pagesperso-orange.fr/robert/astronomie/saisons.htm
Remarque 3: on confond souvent jour stellaire et jour sidéral; il est vrai que la différence entre
leurs durées n'est que de 8,37 millièmes de seconde! Nous expliquerons cela dans la partie IV.
!
C'est le point de vue le plus familier: celui d'un observateur (bien réel celui-là ! )
immobile à la surface de la terre et regardant le ciel. Compte tenu de la rotation de la
terre autour de l'axe des pôles et d'une obliquité non nulle, les mouvements de la lune
et du soleil dans ce référentiel sont extrêmement compliqués: pas question de
construire un planétaire dans ce référentiel. Cependant, pour des raisons autant
historiques que pratiques, l'heure est définie à partir du mouvement du soleil
dans ce référentiel et le planétaire doit aussi faire office d'horloge; la différence
entre les durées sidérales (mesures dans le repère géocentrique) et les durées
terrestres (mesures dans un repère terrestre) est source de bien des difficultés
théoriques et de bien des engrenagesdans un planétaire ! C'est ce que nous allons voir
dans la suite!
Remarque: l'annexe n° 4 apporte quelques précisions sur les choix des engrenages à utiliser.
Partie II: Comment repérer un astre
dans le ciel?
Dès que les distances entre un
observateur et les objets qu'il regarde
deviennent très supérieures à l'écartement de
ses deux yeux ( ce qui est évidemment le cas
pour l'observation des astres ), le sens du relief
est perdu : impossible, en regardant deux
astres, de dire lequelest le plus éloigné ; on peut
seulement ( à l'aide d'une lunette astronomique
par exemple) définir leurs directions respectives.
Puisque les distances importent peu pour la
suite de notre étude, nous allons définir la
sphère céleste de la façon suivante: c'est une
sphère de rayon arbitraire ayant pour
centre le centre de la terre; elle est fixe
dans le repère géocentrique. Tout astre
autre que la terre est représenté sur cette
sphère par un point qui est l'intersection de la
sphère céleste avec la droite passant par le centre de la terre et le centre de l'astre
considéré. Les étoiles, considérées comme très éloignées du système solaire, y sont
représentées par des points fixes.
L'intersection de la sphère avec le plan de l'écliptique est un cercle appelé éclip-
tique. Il est fixe sur la sphère céleste. Le point N: intersection de la sphère céleste
avec la perpendiculaire au plan de l’écliptique est donc fixe. Le point représentant le
soleil sur la sphère céleste se déplace sur l'écliptique dans le sens direct indiqué par la
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!"
flèche sur la figure. Les intersections de l'axe des pôles avec la sphère céleste sont les
deux pôles célestes nord et sud notés respectivement P et P' sur la figure du schéma n°
6. L'intersection de la sphère céleste avec le plan passant par le centre O de la terre et
perpendiculaire à l'axe des pôles constitue l'équateur céleste. L'angle entre le plan de
l'équateur et le plan de l'écliptique est l'obliquité ε déjà défini, c'est aussi l'angle entre
les droites (OP) et (ON) . L'écliptique coupe l'équateur céleste en deux points
diamétralement opposés notés γ et γ'. L'instant où le soleil passe par γ correspond
à l'équinoxe de printemps. Le point γ est appelé point vernal. Le passage du
soleil au point γ' correspond à l'équinoxe d'automne.
Remarque 1: la position du point vernal étant connu, la position sur la sphère céleste d'un astre
quelconque M peut se repérer par deux mesures d'angles appelées coordonnées équatoriales de
M: l'angle α appelée ascension droite et l'angle δ appelé déclinaison. (voir schéma n° 6)
Remarque 2: la direction de l'axe des pôles n'est en réalité
pas tout à fait fixe dans le repère géocentrique. Par effet
gyroscopique, un peu comme l'axe d'une toupie en rotation,
l'axe des pôles (OP) tourne autour de la perpendiculaire
(ON) à l'écliptique en gardant avec elle l'angle ε fixe. Ce
mouvement est une précession. Sur la sphère céleste, le
point P tourne autour du point N à vitesse constante, dans
le sens rétrograde ( sens inverse au sens de déplacement du
soleil sur l'écliptique ) effectuant un tour en un peu moins
de 26000 ans. Ce mouvement est donc très lent mais il a
néanmoins des conséquences pratiques, on parle de
précession des équinoxes. Le plan de l'équateur restant
constamment perpendiculaire à (OP), son orientation par
rapport à l'écliptique se modifie, entraînant un lent
mouvement de rotation du point vernal dans le sens
rétrograde: 50'' par an environ (voir schéma n° 7 ).
Remarque 3: la théorie de l'effet gyroscopique est étudiée
en 2ième ou 3ième année d'études scientifiques après le
baccalauréat. Nous ne l'abordons pas ici. Une étude théorique et une animation sont proposées à
l'adresse suivante:
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/gyroscope/theorie_gyroscope.htm
Remarque 4: en réalité, l'obliquité ε n'est pas tout à fait fixe. Cette valeur oscille autour de la
valeur moyenne ( 23°26') avec une amplitude extrêmement faible (17,2'') et une période de 18,6 ans.
Ce phénomène appelé nutation est négligé tant dans cette étude que lors de la construction de
planétaire.
""
Pour construire un calendrier, c'est-à-dire attribuer une date à chaque instant, il
faut deux choses:
* définir une unité de temps par référence à un phénomène périodique;
* choisir un instant particulier auquel on attribue arbitrairement une date.
Comme le montre la diversité des système de calendriers à travers le monde, de
nombreux choix sont possibles. Nous nous limitons au système utilisé en France.
Pour des raisons historiques et pratiques, le phénomène retenu est le
mouvement du soleil par rapport à la terre.
Pour repérer la position locale du soleil, il faut commencer par définir un
système de coordonnées locales adapté: le système de coordonnées horizontales.
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!"#
Soit un point d'observation (noté Ob) à la surface
de la terre. La verticale du lieu rencontre la sphère
céleste en un point nommé zénith. Le plan
horizontal passant par le point Ob est le plan de
l'horizon céleste. Vue du point Ob, la position du
centre du soleil peut être définie par deux angles:
* la hauteur h sur l'horizon: angle entre le plan
de l'horizon et la droite passant par Ob et le centre
du soleil; ainsi h=90° correspond au soleil au
zénith,
h = 0° correspond au soleil à l'horizon;
* l'azimut A est l'angle entre le plan vertical
contenant le centre du soleil et le point Ob et la
direction du nord géographique. Ainsi l'est
géographique correspond à A = 90°, le sud
géographique à A = 180°… (voir schéma n° 8).
Remarque: il existe une relation simple
entre la hauteur h sur l'horizon et la
déclinaison δ définie schéma n° 6.
Faisons un nouveau schéma (schéma n°
9) avec pour plan de figure le plan
méridien contenant l'axe des pôles et le
centre M d'un astre observé. On fait
apparaître la latitude L: angle entre la
droite (O m) et la droite (O Ob). On trace
la parallèle à la droite (O m) passant
par l'observateur Ob (notée (Ob X). On
retrouve la latitude comme angle entre
cette droite et la verticale locale. L'angle
L' visualisé sur le schéma représente la
différence (h - δ). L'angle entre
l'horizontale et la verticale vaut 90° mais
aussi la somme (L + L' ). Cela permet
d'écrire les relations:
L + h - δ = 90° ou: δ = L + h – 90
#$"
Par convention, il est midi solaire en un point de la terre lorsque le soleil
y culmine, c'est à dire est le plus haut sur l'horizon le jour considéré. Le soleil indique
alors le sud géographique, son azimut vaut 180°. Il est donc midi solaire au même
instant pour tous les points d'un même méridien. La date dépend donc de la longitude
du lieu, d'où la nécessité de choisir un méridien de référence: par convention celui
passant par l'observatoire de Greenwich près de Londres. Par convention, un jour
solaire représente la durée entre deux culminations successives du soleil en
un même lieu à la surface de la terre.
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On dit fréquemment en France que le
temps légal a une heure d'avance sur le soleil
(sauf l'été où cette avance est de 2h), autrement
dit, qu'il est midi solaire à 13h légale (ou 14h
l'été) . Est-ce rigoureusement exact? Pour
répondre à la question, un observateur placé sur
le méridien de Greenwich peut photographier le
soleil à «midi solaire» un grand nombre de jours
de l'année et superposer les photos.
Remarque : midi solaire à Greenwich correspond à 12h
l'hiver et à 13h l'été car les Anglais , sauf l'été,
«marchent à l'heure solaire anglaise» et les Français à
l'heure solaire allemande...) De nombreux sites
internet publie le résultat .
Quelques commentaires sur cette photographie :
* La hauteur du soleil sur l'horizon varie
fortement suivant la saison; cela s'explique par
l'inclinaison de l'axe des pôles par rapport au plan
de l'écliptique. La hauteur est maximale au
solstice d'été (aux environs du 21 juin) et
minimale au solstice d'hiver (aux environs du 21
décembre).
* Sur la photo, la direction sud est matérialisée par l'antenne de télévision. Si le jour
solaire avait une durée fixe de 24h, le soleil serait toujours au sud à 12h pour un
observateur situé sur le méridien de Greenwich. Sur la photo toutes les images du
soleil seraient alignées sur une verticale. La durée du jour solaire varie donc en
fonction de la saison. Cependant, des mesures sur de longues périodes (plusieurs
dizaines d'années) ont montré que la valeur moyenne de cette durée est stable. Cela
permet de définir les unités de durée:
Par convention, la durée moyenne du jour solaire vaut 24h soit
24x60=1440min soit 1440x60=86400s.
Précision: la courbe du schéma n° 10 repré-
sente les différences entre les durées de
chacun des 365 jours solaires de l'année
2015 et 24h. Les écarts restent toujours
faibles: un rallongement maximum d'envi-
ron 30s au début de l'hiver et un raccourcis-
sement maximum d'environ 22s au début de
l'automne. Cependant les écarts se cu-
mulent au fil des jours et l'écart entre 12h
(heure d'hiver à Greenwich) et midi solaire
vrai (toujours à Greenwich) peut prendre
des valeurs nettement plus importantes. Ainsi le soleil est en avance d'environ
16,5min sur le temps moyen début novembre (position à droite de l’antenne sur la
photo) et en retard d'environ 14min vers le 11 février (position à gauche de l'antenne
sur la photo). La photo n’étant pas très précise, nous reproduisons ci-dessous
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schéma n° 10
l'ensemble des positions successives du centre du soleil sur la sphère céleste, vue d'un
observateur situé à Greenwich à midi solaire moyen soit 12h (ou 13h l'été), au cours de
l'année 2015. L'ensemble des positions successives forme une courbe appelée
analemme. La courbe du schéma n° 11 représente l'analemme telle qu'elle peut être
déterminée expérimentalement: mesures des azimuts (en degrés) portées sur l'axe
horizontal, mesures des hauteurs (en degrés) portées sur l'axe vertical. La courbe de
droite correspond aux mêmes mesures mais les grandeurs portées sur les axes dont
modifiées:
* Pour rendre l'analemme indépendant de la latitude, on porte sur l'axe vertical les
déclinaisons en utilisant la formule déjà démontrée: δ = L + h – 90 . Sachant que la
latitude de l'observatoire de Greenwich est: L = 51,477°, on obtient: δ =h – 38,523°.
* On sait que la terre tourne d'un tour, soit 360°, par rapport au soleil en environ 24h
soit 1440min (à une demie minute près suivant les jours…); elle tourne donc par
rapport au soleil d'un degré toutes les 4min. En multipliant par 4min les différences
entre les azimuts mesurés en degrés et 180° , nous obtenons les écarts entre l'heure
solaire vraie et l'heure solaire moyenne. Ainsi, un azimut de 179° à 12h (heure
d'hiver), signifie que midi solaire correspond à 12h4min plutôt qu'à midi solaire moyen
(12h); un azimut de 182° à 12h correspond à midi solaire obtenu à 11h52min…
Remarque1 : cette différence entre l'heure solaire
vraie et l'heure solaire moyenne est appelée «équation du temps»; elle peut être déduite du schéma
n°12. Elle est l'objet de l'annexe n° 3. On pourra aussi consulter le site:
http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html
Remarque 2: par la suite, le mot «jour» ,sans autre précision, désignera toujours le jour solaire
moyen soit 24h.
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schéma n° 11 schéma n° 12
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Les variations de durée du jour solaire ont deux causes qui seront détaillées en
an nexe n° 3 :
* une première cause connue depuis l'antiquité: l'angle non nul entre le plan de
l'équateur et le plan de l'écliptique;
* une seconde connue depuis les observations de Képler: la trajectoire elliptique plutôt
que circulaire du soleil dans le repère géocentrique. L'existence d'une excentricité non
nulle implique de faibles variations de vitesse angulaire du soleil dans son mouvement
sur l'écliptique.
Si ces deux causes n'existaient pas, le jour solaire vrai aurait une durée fixe au
cours de l'année égale à sa valeur moyenne: 24h. Pour étudier la relation entre jour
stellaire et jour solaire moyen, nous allons donc nous placer dans la situation fictive
simple suivanteen raisonnant dans le repère géocentrique : l'écliptique et l'équateur
solaire sont deux cercles confondus (obliquité nulle). Sur ce cercle, le centre du soleil
fictif (noté Sf) tourne à vitesse constante à raison d'un tour par année sidérale (Ast =
365,256363004 jours). Nous avons montré que l'heure dépend de la longitude mais pas
de la latitude. Nous allons donc nous intéresser à l'heure en un point de la surface de
la terre situé sur l'équateur (noté M). Dans le repère géocentrique, ce point tourne à la
vitesse d'un tour par jour stellaire. Montrons simplement qu'un jour stellaire
correspond à un peu moins de 24h.
Sur le schéma n° 13, le plan de figure est le plan de l'équateur. O désigne le
centre de la terre, M1 désigne le projeté de M sur l'équateur céleste. La figure de
gauche représente la situation à midi solaire, un jour J quelconque: M1 et Sf sont
deux points confondus. La figure centrale représente la situation un jour stellaire plus
tard. M1 a effectué exactement un tour et occupe exactement la même position que sur
la figure de gauche. Est-il midi solaire pour autant? Non! En effet, pendant que M1
tournait, le point Sf tournait aussi d'un petit angle (noté α) que nous pouvons calculer.
Sachant que Sf tourne de un tour (360°) en une année sidérale soit
24x365,256363=8766,152712heures, en un jour stellaire soit 23,934472heures, il
tourne de:
α=360⋅23,934472
8766,152712 =0,982918"
.
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schéma n° 13
Au bout d'un jour sidéral, le point M1 n'a pas tout à fait rattrapé le soleil fictif
Sf. Pour obtenir midi solaire au jour (J+1), le point M1 doit tourner d'un angle
supplémentaire noté , angle un peu supérieur à puisque le soleil continue à tourner
pendant que M1 tourne de l'angle . Conclusion: le jour solaire moyen (24h) est
donc un peu plus long que le jour stellaire. La durée d'un jour stellaire est
donc un peu inférieure à 24h.
Remarque 1: il existe une relation entre As, la durée de l'année sidérale, Jst la durée d'un jour
stellaire et Jm la durée du jour solaire moyen.
Dans le repère géocentrique, si As est mesurée en heures, la vitesse angulaire de Sf, mesurée en tour
par heure est:
Ω =1
&
Dans ce même repère, la vitesse angulaire de M1, mesurée en tour par heure est:
Ω1=1
'
La vitesse angulaire de M1 par rapport à Sf , fixée arbitrairement à 1/Jm tour par heure est aussi:
Ω1/ = Ω1−Ω
On obtient donc par identification:
1
' =1
' −1
&
Soit encore:
' ='.&
'+&
()&*'(+(),!-*./.0012
()
' ='.
+1=24. 365,256363004
366,256363004 =23,934472!
3++( )23h56min4,1s. Le jour stellaire est donc plus
court que le jour solaire moyen d'environ 4min .
Remarque 2: pour ceux que la notion de vitesse angulaire relative rebute, il existe une méthode plus
simple, quoique un peu moins précise d'obtenir la valeur de Js. Reprenons le raisonnement accompa-
gnant le schéma n° 13. L'angle est très faible et le soleil fictif Sf tourne beaucoup plus lentement
que le point M1 (365 fois moins vite environ). Pendant que M1 tourne de l'angle , Sf tourne d'un
angle tout à fait négligeable (moins de 1/365 degré). On peut donc considérer les angles et
comme pratiquement égaux. On peut ainsi considérer la différence (Jm – Jst) comme la durée que
met M1 à tourner de l'angle . M1 tournant de 360° en un jour stellaire, on obtient:
'−'='⋅α
360 ='⋅0,982918
360
()
'='⋅(1+0,982918
360 )= '⋅360,982918
360
4()
' ='⋅360
360,982918 :' =24⋅360
360,982918 =23.934650!
Cette valeur correspond à Jst=23h56min4,7s. La méthode approchée introduit une erreur de
seulement 6 dixièmes de seconde. En pratique, si on ne désire pas une précision meilleure que la
seconde par jour, on pourra utiliser cette méthode approchée.
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)*
) +
Pourrait-on définir l'année civile à partir de l'année sidérale? Puisque l'année
civile doit nécessairement correspondre à un nombre entier de jours de 24h, il faudrait
pour cela, introduire judicieusement des années bissextiles de façon que la valeur
moyenne de l'année civile soit la plus proche possible de l'année sidérale. Dans ce cas,
le soleil retrouverait tous les ans à dates fixes exactement à même position par rapport
aux étoiles; cela conviendrait aux astrologues mais présenterait un grave inconvénient
pratique.
Considérons le schéma n° 14 ci-dessous où le plan de figure est celui de
l'écliptique, le repère étant géocentrique (O: centre de la terre; axe OX orienté vers
une étoile fixe).
La situation de gauche correspond à l'équinoxe de printemps d'une année quelconque
A (date t): Le centre S du soleil et le point vernal sont confondus. Une année sidérale
plus tard, on obtient la situation de la figure de droite: le point S a retrouvé la même
position qu'à la date t. Sommes-nous à l'équinoxe de printemps pour autant? Non!
Pendant que S tourne sur l'écliptique en sens direct, le phénomène de précession
provoque une lente rotation du point en sens inverse. S rencontre un peu plus tôt:
la durée entre deux équinoxes de printemps successives est donc un peu
inférieure à une année sidérale.
Conséquence: si le calendrier était basée sur l'année sidérale, le début de
chaque saison n'aurait pas lieu à date fixe. Cela serait très incommode sachant à quel
point le rythme des saisons influence nos modes de vie (agriculture, loisirs, tourisme,
vacances…). Pour régler le problème, on définit l'année tropique vernale comme la
durée séparant deux passages consécutifs du centre du soleil au point
vernal. Sur le schéma n° 14, a désigne l'angle dont tourne en une année tropique
vernale et b désigne l'angle dont tourne en une année sidérale. L'écart de durée entre
les deux durées est très faible et tourne très lentement: on peut confondre les deux
angles avec une excellente approximation. Notons T la différence de durées entre une
année sidérale et une année tropique vernale. T est la durée nécessaire à S pour
tourner de l'angle b.
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schéma n° 14
Avant tout calcul, quelques questions se posent: pourquoi privilégier le début du
printemps? Arriverait-on à la même durée de l'année tropique en raisonnant (par
exemple) sur le solstice d'été? Reprenons brièvement le raisonnement précédent en
l'appliquant non plus au point mais à un point G de l'écliptique constamment décalé
de 90° dans le sens direct. G tourne donc à la même vitesse que en sens rétrograde.
Par analogie avec le cas précédent, on définit l'année tropique de solstice comme la
durée entre deux passages consécutifs de S au point G. La différence T' entre l'année
sidérale et l'année tropique de solstice est la durée nécessaire à S pour tourner de
l'angle b. Pour affirmer: T = T' , l'angle b ayant même valeur dans les deux cas, il
faudrait s'assurer que le soleil tourne à la même vitesse à l'équinoxe de printemps et
au solstice d'été. Or, nous l'avons déjà évoqué: l'existence d'une excentricité non nulle
de la trajectoire du soleil implique de faibles variations de sa vitesse dans son
mouvement sur l'écliptique. Nous avons donc T différent de T'. L'écart est de l'ordre
du millier de seconde.
Pour tourner la difficulté, nous définissons l'année tropique moyenne comme la
durée qui séparerait deux passages consécutifs au point d'un soleil fictif
tournant sur l'écliptique à vitesse constante d'un tour par année sidérale.
Les mesures astronomiques récentes précises donnent:
durée de l'année sidérale: As = 365,256363004 jours
durée moyenne de l'année tropique: At = 365,242190402 jours.
L'écart entre les deux durées est:
T = 0,014172602 jours = 24.60.0,014172602 = 20,408546880 min.
Remarque 1: cet écart d'un peu plus de 20min par an peut paraître faible. En réalité les cumuls de
ces retards sur de nombreuses années auraient des effets bien concrets. Si l'année civile était ajustée
sur l'année sidérale, la date de chaque début de saison avancerait d'un jour tous les 71ans environ,
d'un mois tous les deux millénaires environ: en 2014, l'été aurait commencé le 23mai et non le 21
juin!
Remarque 2 : des valeurs précédentes, il est possible de déduire la vitesse de rotation du point
. Le
raisonnement est très analogue à celui déjà fait à propos de la différence entre jour stellaire et jour
solaire moyen. Dans le repère géocentrique, la vitesse angulaire de S, mesurée en tour par jour est:
Ω =1
&
Dans ce même repère, la vitesse angulaire de
, mesurée en tour par jour est:
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schéma n° 15
Ωγ=1
&γ
où A
représente la durée d'un tour de sur l'écliptique.
La vitesse angulaire de S par rapport à
, mesurée en tour par jour est :
Ω / γ=1
&
.
Cette vitesse angulaire peut aussi s'écrire:
Ω / γ = Ω +Ωγ
.
Attention au signe «+»: cette fois-ci, les points tournent en sens inverses. Par identification:
1
&
=1
& +1
&γ
.
Soit encore:
1
&γ
=1
&
−1
&
;
&γ=&⋅&
&−&
;
&γ
&
=&
&−&
.
Application numérique:
&γ
&
=365,256363004
365,256363004−365,242190402 =25772,00
Le point
γ
effectue ainsi un tour en 25772 années tropiques; le mouvement de précession est
extrêmement lent!
Remarque3 : la durée de l'année sidérale, de peu d'importance pratique, est néanmoins très
importante pour les astronomes; par exemple: c'est de sa valeur que l'application des lois de
Newton permet de déduire la masse du soleil.
) +&"
La définition de l'année civile est soumise à deux contraintes:
* pour des raisons pratiques, l'année civile doit posséder un nombre entier de jours so-
laires moyens.
* sa durée moyenne doit être la plus proche possible de la durée de l'année tropique
pour éviter le décalage des saisons.
Dès 46 avant notre ère, sur les conseils des astronomes de l'époque, Jules César
imposa le calendrier qui porte son nom: le calendrier julien. Chaque année civile
comporte 365 jours sauf les années multiples de 4 qui en comportent 366. L'année
civile moyenne dure ainsi 365,25 jours. L'année tropique est un peu plus courte: l'écart
de durée peut paraître faible (un peu plus de 11min par an) mais les cumuls à long
terme ne sont pas négligeables; avec ce calendrier le début de chaque saison avance
d'un jour tous les 128 ans.
Ainsi, en 1582 de notre ère, l'équinoxe de printemps correspondait au 11mars au
lieu du 21 mars. Le pape de l'époque (Grégoire XIII) imposa une réforme du calendrier
en deux points, créant ainsi le calendrier grégorien:
1. Suppression de 10 jours du calendrier: les gens sont passés directement du
jeudi 4 octobre 1582 minuit au vendredi 15 octobre 1582 0heure.
2. Modification de la fréquence des années bissextiles: les années multiples de 4
restent bissextiles sauf si elles sont aussi multiples de 100; les années multiples de
100 ne restent bissextiles que si le nombre de siècle est aussi multiple de 4.
L'année 1900 n'était pas bissextile car 19 n'est pas divisible par 4; l'année 2000 était
bissextile: 20 est divisible par 4. Ainsi, sur un cycle de 400ans, nous avons 97 années
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bissextiles au lieu de 100 dans le calendrier julien. La durée moyenne de l'année
grégorienne est:
97⋅366+303⋅365
400 =365,2425 ,
.
L'écart de durée avec l'année tropique n'est plus que de 26,75secondes. Le décalage des
saisons induit par cet écart n'est plus que de 1 jour tous les 3230 ans. Le calendrier
grégorien est toujours en vigueur.
)! %"
Le jour stellaire a déjà été défini comme la période de rotation de la terre autour
de l'axe de ses pôles, la mesure étant effectuée dans le repère géocentrique; c'est donc
la durée séparant deux intersections consécutives d'un même méridien avec un axe
orienté vers une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme fixe. Le
jour sidéral est la durée séparant deux intersections consécutives d'un même
méridien avec le point vernal.
Soit Jst la durée d'un jour stellaire et Jsi
la durée d'un jour sidéral. L'écart entre ces
deux durées à la même cause que l'écart
entre année sidérale et année tropique: la
précession des équinoxes.
Imaginons une date t où le projeté
M1 sur la sphère céleste d'un point de
l'équateur coïncide avec le point vernal .
Pendant que M1 tourne dans le plan
équatorial à la vitesse d'un tour par jour
stellaire, le point tourne très lentement
en sens inverse sur l'écliptique à la vitesse
d'un tour tous les 25772 ans. Le point M1
effectuera donc un peu moins d'un tour
avant de rencontrer le projeté sur
l'équateur du point vernal. La rotation par
jour de ce projeté est infime: Le jour
sidéral est un peu plus court que le jour
stellaire mais l'écart de durée est extrême-
ment faible. Pour calculer cet écart, une
difficulté apparaît: Les points et M1 ne tournent pas dans le même plan. La vitesse
de (visualisée par la flèche rouge sur le schéma n°16) a deux composantes: une
composante orientée vers l'ouest (flèche bleue) et une composante orientée vers le nord
(flèche verte). L'heure ne dépend pas de la latitude, elle n'est pas influencée par un
déplacement vers le nord, donc seule la composante de la vitesse vers l'ouest est à
prendre en compte ici. La trigonométrie dans l'espace est délicate à manipulerdans le
cas général ; dans ce cas particulier, la composante vers l'ouest est simplement le pro-
duit de la vitesse de par le cosinus de l'obliquité. La suite du raisonnement est une
simple adaptation de celui effectué pour la différence entre l'année tropique et l'année
sidérale à partir du schéma 15.
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schéma n° 16
La vitesse de rotation de M1 dans le repère géocentrique est, mesurée en tour par
heure:
Ω1=1
'
avec Jst = 23,93447192 heures.
La vitesse du projeté de sur l'équateur mesurée en tour par heure est:
Ωγ1=cos(ε)
'γ
où J représente la durée en heures d'un tour de point vernal.
La vitesse de M1 par rapport au projeté de sur l'équateur est:
Ω1/ γ1= Ω1+Ωγ1
.
Par définition du jour sidéral, cette vitesse est aussi:
Ω1/γ 1=1
'
avec Jsi exprimé en heures.
Par identification, on obtient:
1
' =1
' +cos(ε)
'γ
; d'où:
' ='⋅'γ
'γ+'⋅cos(ε)
.
La différence de durée est ainsi:
' −' ='⋅
(
1−'γ
'γ+'⋅cos(ε)
)
='2
⋅cos(ε)
'γ+'⋅cos(ε)
.
ε = 23,44°; J = 25772 x 365,242190402 x 24 heures; Jst = 23,93447192 heures. En
multipliant par 3600 pour avoir le résultat en seconde, on obtient:
' −' =3600⋅23,934471922
⋅cos(23,44 ")
23,93447192⋅cos(23,44 ")+25772⋅365,242190402⋅24 =0,00837
L'écart de durée n'est que de 8,37 millième de seconde! Cet écart est souvent
négligé, ce qui revient à confondre jour stellaire et jour sidéral.
)'&'
) ''&'
Le schéma n° 17 ci-dessous reproduit en 3D la trajectoire du centre de la lune
dans un repère géocentrique pour les trois premiers mois de l'année 2015. Les
coordonnées sont celles publiées par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des
Éphémérides (I.M.C.C.E.). Le centre de la terre correspond à la croix rouge. L'unité de
distance est le rayon terrestre: 6378km. Le mouvement est complexe: la trajectoire
n'est pas fermée et n'est pas plane. Un simple calcul d'ordres de grandeurs permet
de comprendre. Depuis les travaux de Newton, on sait que l'action d'un astre
attracteur sur le mouvement du centre d'un astre attiré est proportionnelle à (M/d2) où
M représente la masse de l'astre attracteur et d la distance entre les centres des deux
astres.
Comparons d'abord les actions du soleil et de la lune sur la terre. La masse du
soleil est d'environ 2.1030 kg (un 2 suivi de 30 zéros…), celle de la lune est d'environ
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7.1022kg. la distance soleil - terre est d'environ 150millions de kilomètres, la distance
moyenne terre – lune est d'environ 384000km. La valeur de (M/d2) est ainsi 178 fois
plus élevée environ pour le soleil que pour la lune. On peut donc négliger l'influence de
la lune sur le mouvement du centre de la terre qui ainsi décrit une trajectoire
elliptique fixe dans le référentiel héliocentrique.
La distance entre le centre du soleil et celui de la terre est environ 390 fois
supérieure à la distance moyenne terre – lune. En grossière approximation, il est ainsi
possible de considérer le champ gravitationnel créé par le soleil identique au niveau de
la lune et de la terre. Cela permet d’étudier le mouvement de la lune par rapport à la
terre, dans un repère géocentrique sans tenir compte de l’attraction gravitationnelle
exercée par le soleil. (Les scientifiques qui liront ce texte pourront objecter qu’il
faudrait rigoureusement faire l’étude du mouvement terre-lune dans un repère
barycentrique, le centre du repère étant non le centre de la terre mais le centre
d’inertie du système terre-lune. Cette étude est abordée dans l’annexe n° 6.
Cependant, la masse de la terre étant très supérieure à celle de la lune, l’erreur
introduite est faible)
Si on se limite à l'étude d'un seul tour de la lune autour de la terre, la trajectoire
du centre de la lune s'apparente à une ellipse. Nous allons donc d'abord étudier ce
que serait le mouvement du centre de la lune sous la seule influence de la
terre: un mouvement elliptique, le centre de la terre étant un foyer de la
trajectoire. Ensuite, nous décrirons les déformations et déplacements de cette
trajectoire elliptique sous l'influence du soleil.
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!"#
) #'$'&'
,''
Le schéma n° 18 représente les variations sur deux ans (2015 et 2016) de la dis-
tance d entre le centre de la terre et le centre de la lune. L'unité est le rayon terrestre,
soit 6378km.
Comme prévu on observe une alternance régulière de maximums et de
minimums: cela est en accord avec une trajectoire elliptique; la lune passe à
intervalles régulier par son apogée (distance maximale à la terre) et par son périgée
(distance minimale à la terre). La durée entre deux passages consécutifs à
l'apogée (ou au périgée) est appelé période anomalistique ou mois
anomalistique. L'étude précise de la courbe ci-dessus montre que cette durée varie
légèrement d'un mois à l'autre mais garde une valeur moyenne constante à long
terme:
Durée moyenne entre deux passages consécutifs à l'apogée:
un mois anomalistique = 27,5545 jours = 27j 23h 18' 33''.
Une complication apparaît: sous l'action de l'attraction exercée par le soleil sur
la lune, l'ellipse se déforme. La distance à l'apogée subit de petites variations
périodiques (période d'environ 205,9 jours) . La distance au périgée subit des
variations un peu plus grandes de même période. Pour cette description simplifiée,
nous allons adopter les valeurs moyennes:
distance moyenne à l'apogée: dmax = 63,45.Rt = 404694km;
distance moyenne au périgée: dmin = 56,77.Rt = 362102km.
Les formules démontrée page 3 de l'annexe 1 permettent d'obtenir le demi-grand axe
et l'excentricité moyennes de l'ellipse.
=5 +
2
; d'où: a = 383398 km;
=5−
2⋅
; d'où: e = 0,0555.
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schéma n° 18
Remarque: l'écart entre dmax et dmin est d'environ 11% . Si assimiler la trajectoire de la terre autour
du soleil à un cercle est une approximation acceptable (écart entre dmax et dmin de seulement 3,4%),
cela n'est pas le cas pour la lune.
)! -
"
Nous revenons à la sphère
céleste déjà définie où O
désigne le centre de la terre.
Nous y plaçons l'écliptique (in-
tersection avec la sphère
solaire du plan de la
trajectoire du centre du soleil)
et le point vernal . Les
angles sont mesurés à partir
de l'axe (Ox) orienté de O vers
. Les angles sont mesurés à
partir de l'axe (Ox) orienté de
O vers . En gardant le
modèle simplifiée précédent
d'une trajectoire elliptique du
centre de la lune, on trace sur
la sphère céleste le cercle dé-
fini comme l'intersection de
cette sphère avec le plan de l'ellipse.
Le projeté de l'apogée est un point diamétralement opposé sur la sphère céleste,
il n'est pas représenté ici. La droite passant par le périgée, le centre de la terre et
l'apogée correspond au grand axe de l'ellipse, on l'appelle ligne des apsides.
Le plan de l'ellipse est incliné par rapport à l'écliptique d'un angle i appelé
inclinaison (i voisin de 5,15° soit nettement moins que l'obliquité ). Par analogie
avec les intersections de l'écliptique et de l'équateur céleste, on appelle nœuds les
intersections de l'écliptique avec le plan de l'ellipse. Seul le nœud ascendant, c'est à
dire le point où le centre de la lune traverse l'écliptique dans le sens sud – nord est
représenté. L'angle entre l'axe (Ox) et la droite passant par O et le nœud ascendant
est noté ; il s'agit de la longitude écliptique de ce point.
La connaissance des angles i et permet d'orienter dans l'espace le plan de l'el-
lipse. Pour placer l'ellipse dans ce plan, il faut connaître son foyer - c'est le point O - et
le projeté sur la sphère céleste du périgée. La connaissance de l'angle appelé
argument du périgée permet de placer ce projeté sur la sphère céleste (voir schéma n°
19). Une fois l'ellipse ainsi définie dans l'espace, il suffit pour positionner le projeté de
la lune sur la sphère céleste de connaître l'angle l'anomalie vraie de la lune.
Il est aussi possible de repérer la position d'un point sur la sphère céleste par
ses coordonnées écliptiques: longitude écliptique L et latitude écliptique .
Sur le schéma n° 19, sont repérés en bleu et en rouge les arcs correspondant
respectivement à L et à du périgée. L'origine des longitudes écliptiques est le point
vernal .
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schéma n° 19
Remarque: des précisions supplémentaires sur les trajectoires elliptiques et les anomalies sont dispo-
nibles annexe n° 1.
). *"
Considérons le schéma ci-dessous n° 20: c'est une reprise du schéma n° 19 avec
l'ajout de différentes positions possibles du centre du soleil. Examinons d'abord la
position N° 1 du soleil correspondant à une longitude écliptique L égale à ( + 90°).
Tant que la longitude écliptique de la lune L' sera comprise entre et (+180°) La
lune est au-dessus de l'écliptique
alors que le soleil est dans le plan de
l'écliptique. L'action attractive du
soleil sur la lune a donc une
composante perpendiculaire au plan
de l'ellipse et orientée vers le sud qui
tend à diminuer la valeur de
l'inclinaison i. Quand L' est compris
entre ( + 180°) et ( + 360°) la lune
est en-dessous du plan de
l'écliptique, l'action attractive du
soleil sur la lune a cette fois-ci une
composante perpendiculaire au plan
de trajectoire orientée vers le nord
qui tend à augmenter i. On pourrait
penser que l'influence moyenne du soleil sur l'inclinaison est nulle: non! Il faut se
souvenir que l'attraction du soleil sur la lune est d'autant plus forte que la
distance soleil – lune est faible. Ainsi, l'action qui tend à diminuer i est
prépondérante dans ce cas n° 1.
Imaginons maintenant le soleil occupant une position n° 2 opposée à la
position 1 : sa longitude écliptique L vaut (+270°): c'est maintenant l'action exercée
sur la lune lorsqu'elle est en-dessous du plan de l'écliptique qui est prépondérante;
cette action à une composante vers le nord: elle tend encore à diminuer i!
Imaginons maintenant le soleil en position 3 ou en position diamétralement
opposée: L vaut ou ( + 180°); un raisonnement analogue au précédent montre
qu'alors le soleil n'a pas d'influence sur i (influence moyenne sur un tour d'ellipse). On
retrouve la même influence sur i à chaque fois que (L - ) augmente de 180°. La
période de variation de l'inclinaison ( notée Ti) est la durée qu'il faut à (L- )
pour augmenter de 180°. Phrase équivalente: La durée entre deux passages
successifs du soleil au nœud ascendant représente le double de la période de variation
de i, soit 2Ti.
Imaginons le nœud ascendant de l'orbite lunaire fixe: la période de variation de i
serait une demie année sidérale soit 182,628 jours. Or les mesures astronomiques
conduisent à une période de 173,310 jours. Le soleil met moins d'une année sidérale
pour repasser par le nœud ascendant: pendant que le soleil tourne en sens direct, le
nœud ascendant «part à sa rencontre» en se déplaçant dans le sens inverse.
Considérons le schéma n° 21 ci-contre. Soit, dans le plan de figure confondu avec le
plan de l'écliptique, une date t telle que le nœud ascendant de la lune (noté NA) et le
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schéma n° 20
projeté du soleil sur l'écliptique
(noté S) soit confondus. Pendant
que S tourne dans le sens direct à
la vitesse S égale en tour par jours
à 1/AS (As: durée d'une année
sidérale exprimée en jours), NA
tourne en sens inverse à la vitesse
NA égale à 1/TNA, TNA étant la
durée (mesurée en jours) mise par
NA à effectuer un tour. La vitesse
de rotation de S par rapport à NA
est:
Ω /6& = Ω +Ω6&
.
Par identification:
1
2⋅7
=1
&
+1
76&
; soit:
76& =2⋅7
⋅&
& −2⋅7
.
Passons aux valeurs numériques:
76& =2⋅173,310⋅365,256363
365,256363−2⋅173,310 =6793,47 ,≈18,60
.
Ce mouvement du nœud ascendant en sens inverse correspond à une précession ana-
logue à celle décrite à propos du mouvement du point vernal même si les origines des
deux précessions sont différentes: influence du soleil ici, lente modification de l’orientation de
l’axe des pôles par rapport à un repère géocentrique dans le cas de la précession des équinoxes
évoquée partie II, pages 8 et 9.
)/ *'"
L'attraction
exercée par le soleil sur
la lune a aussi une
composante dans le plan
de la trajectoire; nous
allons étudier mainte-
nant son influence. Le
plan de la figure ci-
contre est le plan de la
trajectoire. Pour cette
étude, on peut négliger
l'inclinaison (toujours
très faible) et imaginer
le soleil tournant dans le
plan de figure.
Imaginons d'abord
le cas où le périgée P et
le centre S du soleil ont la même longitude écliptique: L = Lp (position 1). L'action
attractive du soleil sur la lune tend à freiner la lune dans son mouvement de P vers A
puis à l'accélérer dans son mouvement de A vers P. Cela tend à décaler vers le soleil les
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schéma n° 22
!"
positions de A et de P. Nous l'avons déjà dit: l'attraction du soleil sur la lune est
d'autant plus forte que la distance soleil – lune est faible: le décalage de P vers
le soleil est plus important que le décalage de A vers le soleil; dans cette position, le
soleil tend à augmenter la distance de A à P, donc à augmenter l'excentricité.
Imaginons maintenant la position 3 du soleil pour laquelle: L = Lp + 180°. Le
raisonnement est le même que dans le cas précédent en permutant A et P; l'action du
soleil sur la trajectoire est aussi une augmentation de e.
Imaginons enfin la position 2 pour laquelle L = Lp + 90° où la position opposée
pour laquelle L = Lp + 270°; le soleil a alors très peu d'influence sur les positions des
points A et P donc très peu d'influence sur l’excentricité.
Conclusion: La période de variation de l'excentricité ( notée Te) est la
durée qu'il faut à (L- Lp) pour augmenter de 180°. Phrase équivalente: La durée
entre deux passages successifs du soleil au périgée P représente le double de la
période de variation de e, soit 2Te.
Si le point P avait une longitude écliptique fixe, la période de variation de e
serait d'une demie – année sidérale soit 182,628 jours . Or, l'analyse précise de la
courbe du schéma n° 18 conduit à Te = 205,89 jours. Pendant la durée 2Te, le soleil
doit donc faire un peu plus de un tour; cela signifie que le périgée se déplace dans
le sens direct. Notons P la vitesse de rotation de P et TP la durée en jours d'un
tour: P = 1/TP . La vitesse de rotation du soleil par rapport au point P est:
Ω /8= Ω − Ω8
.
Soit, par identification:
1
2⋅7 =1
& −1
78
; soit:
78=2⋅&
⋅7
2⋅7−&
.
Valeurs numériques:
78=2⋅365,256363⋅205,89
2⋅205,89−365,256363 =3232,61 ,≈8,850
.
)0 12'
Nous l'avons déjà définie: c'est la durée moyenne entre deux passages
consécutifs à l'apogéeou entre deux passages consécutifs au périgée :
un mois anomalistique = 27,5545 jours = 27j 13h 18' 33''.
Plus un objet est éloigné, plus il nous apparaît petit et vice versa. Le mois
anomalistique fixe donc la périodicité de la taille apparente de la lune observée de la
terre. Entre une position à l'apogée et une position au périgée, la lune apparaît 12%
plus «grosse» et 25% plus lumineuse. Le résultat est spectaculaire lorsqu'une pleine
lune correspond à une position de celle-ci voisine du périgée; cela se produit en
moyenne une fois par an.
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Par analogie avec l'année sidérale, on pourrait penser définir le mois sidéral
comme la durée moyenne d'un tour mesuré dans le repère géocentrique. Cependant,
nous avons vu que la trajectoire de la lune, contrairement à celle du soleil, n'est ni fixe
ni fermée. Pour tourner la difficulté, on s'intéresse au mouvement du point Lu situé
sur l'écliptique qui à chaque instant a même longitude écliptique que le centre de la
lune.
Remarque: on peut aussi dire que Lu est l'intersection de l'écliptique avec le méridien céleste
passant par le centre de la lune.
Ainsi le mois sidéral est la durée moyenne entre deux passages
successifs du point Lu en un même point de l'écliptique. Notons Pe le point de
l'écliptique qui à chaque instant a même longitude écliptique que le périgée. Le mois
anomalistique représente ainsi la durée entre deux passages successifs de Lu au point
Pe. Le mois sidéral est-il égal au mois anomalistique? Non bien sûr puisque le point
Pe tourne dans le sens direct à la vitesse P = 1/TP définie au paragraphe précédent.
Cela apparaît sur le schéma n°23 ci-dessus où le plan de figure est le plan de
l'écliptique. Partons d'une date t où la lune et le périgée ont même longitude écliptique
(figure de gauche). Un mois sidéral plus tard, le point Lu aura retrouvé la même
position, la vitesse de rotation de Lu, exprimée en tour par jours, est donc:
Ω9 =1
7
où TSi représente la durée d'un mois sidéral mesurée en jours.
Pendant que Lu tourne d'un tour, Pe tourne d'un angle . Au bout d'un mois sidéral,
Lu n'a pas encore rattrapé Pe; pour rattraper Pe, Lu doit tourner d'un angle
supplémentaire un peut supérieur à car Pe continue à tourner pendant que Lu
tourne de l'angle . Le mois sidéral est donc plus court que le mois
anomalistique.
La vitesse de Lu par rapport à P est:
Ω9/8 = Ω9−Ω8
.
Lu tourne de 1 tour par rapport à Pe en un mois anomalistique de durée:
Tan =27,5545jours; donc:
Ω9/8 =1
7
.
Par identification:
1
7
=1
7
−1
78
; soit:
7 =7
⋅78
7+78
.
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schéma n° 23
Application numérique:
7 =27,5545⋅3232,61
27,5545+3232,61 =27,3217 ,
.
La période lunaire sidérale ou mois sidéral vaut:
27,3217 jours soit 27 jours 7 heures 43 min 12s.
Remarque: la durée du mois sidéral, de peu d'importance pratique, est néanmoins très importante
pour les astronomes; par exemple: c'est de sa valeur que l'application des lois de Newton permet de
déduire la masse de la terre.
La différence année sidérale – année tropique se transpose facilement: le mois
tropique est la durée entre deux passages consécutifs du point Lu au point vernal.
Comme le point vernal se déplace extrêmement lentement en sens inverse (un tour en
25772 années sidérales), le mois tropique est un peu plus court que le mois
sidéral mais la différence est infime. Un calcul analogue à celui mené paragraphe
IV.1 conduit à une différence d'à peine 7secondes.
La période lunaire tropique ou mois tropique vaut:
27 jours 7 heures 43 min 5s.
«Draconitique» a la même étymologie que «dragon». Comme nous le verrons,
la durée de ce mois intervient dans la détermination de la fréquence des éclipses. Or
de très anciennes superstitions populaires expliquaient les éclipses par la présence de
dragons qui avalaient l'astre éclipsé (lune ou soleil) pour le recracher ensuite…
Un mois draconitique représente la durée entre deux passages
consécutifs de Lu au nœud ascendant NA.
Nous avons mis en évidence un lent mouvement de NA en sens inverse. Considé-
rons le schéma n° 24 ci-dessous.
Partons d'une date t où Lu et NA sont confondus (figure de gauche). Pendant
que Lu tourne en sens direct, NA tourne plus lentement en sens inverse. Lu et NA se
rencontrerons avant que Lu ait effectué un tour: le mois draconitique est donc
plus court que le mois sidéral.
La vitesse de Lu par rapport à NA , exprimée en tour par jour, est:
Ω9/6& = Ω9 +Ω6&
.
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schéma n° 24
Soit Tdr la durée d'un mois draconitique; Lu tourne d'un tour par rapport à NA en Tdr
jours. Ainsi:
Ω9/6& =1
7
.
Par identification:
1
7
=1
7
+1
76&
; soit:
7 =7
⋅76&
7 +76&
.
Application numérique:
7 =27,3217∗6793,47
27,3217+6793,47 =27,2122 ,
.
La période lunaire draconitique ou mois draconitique vaut:
27,2122 jours soit 27 jours 5 heures 5 min 36s.
Contrairement au soleil, la lune n'est pas une source de lumière: seule l’hémi-
sphère lunaire orientée face au soleil peut être vue. Suivant l’orientation de cette
hémisphère éclairée par rapport à la terre, cette hémisphère peut être entièrement
visible de la terre, partiellement visible de la terre ou invisible de la terre. Ce sont les
phases de la lune.
De nombreux sites internet traitent ce sujet avec de nombreuses illustrations et
animations; trois exemples:
http://www.imcce.fr/promenade/pages5/501.html
http://physiquecollege.free.fr/physique_chimie_college_lycee/cinquieme/optique/phases_lune.htm
http://www.fondation-lamap.org/sites/default/files/upload/media/minisites/projet_calendriers/
eleves/phases-de-la-lune_FrV2.swf
Attention! Les schémas en 2D peuvent être trompeurs: le plan de figure est
habituellement le plan écliptique et, compte tenu de l'inclinaison de la trajectoire de la
lune par rapport à ce plan, il faut imaginer le centre de la lune au-dessus ou au-
dessous de ce plan de figure. Sauf dans ces cas peu fréquents, une hémisphère
complète de lune est éclairée par le soleil même si les schémas en 2D représentent
cette hémisphère «derrière» la terre au moment de la pleine lune (situation E du
schéma ci-dessous n° 25) …
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Ce
schéma
correspond en
fait à une
projection de
la lune dans le
plan de
l'écliptique.
On voit ci-
contre huit
positions de la
lune et en des-
sous les
aspects
correspondants de la lune vue de la terre dans chacune de ces huit positions. La di-
rection du centre du soleil est caractérisée par sa longitude écliptique L.
A B C D E F G H
La longitude écliptique du point Lu déjà défini est notée L'. Le centre du soleil est sur
l'axe horizontal très loin sur la droite de la figure: la distance terre – soleil en environ
390 fois plus grande que la distance terre – lune; impossible de faire un schéma à
l'échelle! Dans ces conditions, tous les rayons lumineux en provenance du soleil sont
pratiquement parallèles entre eux (flèches jaunes du schéma).
Examinons brièvement les différentes phases de la lune.
Situation A: L = L'; les projections de leurs centres dans le plan de l'écliptique sont
alignés avec le centre de la terre: c'est une situation de syzygie; la lune et le soleil
sont en conjonctioncar situés du même côté de la terre. Dans ce cas, l'hémisphère de
la lune éclairée est invisible pour un observateur sur terre; c'est la nouvelle lune.
Situation de type B: (L' – L) compris entre 0°et 90°; la partie de l'hémisphère
éclairée, visible de la terre, est un croissant dont «l'épaisseur» croit au fil des jours;
ce sont des situations de premier croissant.
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schéma n° 25
Situation C: (L' - L) = 90°; seule la moitié droite de l'hémisphère éclairée est visible
de la terre. C'est le premier quartier.
Situation de type D: (L' – L) compris entre 90° et 180°; la proportion visible de
l'hémisphère éclairée croit de 50% à 100% . C'est la lune gibbeuse croissante.
Situation E: (L' – L) = 180°: c'est à nouveau une syzygie mais la lune et le soleil sont
de part et d'autre de la terre; on dit que la lune est en opposition avec le soleil. Sauf
en cas d'éclipse, la totalité de l'hémisphère éclairée est visible de la terre, c'est la
pleine lune.
Situation de type F: (L' – L) compris entre 180° et 270°; lune gibbeuse
décroissante. Différence avec la lune croissante: en lune croissante, la partie visible
est à droite de la partie invisible; en lune décroissante, c'est l'inverse.
Situation G: (L' – L) = 270°; elle correspond au dernier quartier.
Situation de type H: (L' – L) compris entre 270° et 360°; elle correspond au
dernier croissant.
Remarque: par rapport à la sphère céleste, la lune tourne dans le sens direct mais en même temps,
la terre tourne autour de l'axe de ses pôles environ 27 fois plus vite; pour un observateur terrestre, la
lune tourne donc en sens inverse soit de l'est vers l'ouest. Ce raisonnement est aussi valide pour le
mouvement du soleil mais dans ce cas, le rapport des vitesses est d'environ 365!
On vient de voir que, vu de la terre, l'aspect de la lune varie périodiquement. La
période de ces variations est appelé lunaison ou mois synodique. Plus précisément, un
mois synodique représente la durée moyenne entre deux nouvelles lunes
consécutives. C'est la durée correspondant à une augmentation de (L' – L) de 360° ou
encore la durée que met le point Lu pour tourner de un tour par rapport au soleil.
Notons Tsy cette durée. La vitesse de rotation de Lu par rapport au soleil est donc:
Ω9/ =1
7:
.
Un raisonnement effectué à de nombreuses reprises conduit à:
Ω9/ = Ω9 − Ω
avec:
Ω9 =1
7
et
Ω =1
&
(As: durée d'une année sidérale exprimée en jours).
Par identification:
1
7:
=1
7
−1
&
soit:
7: =7
⋅&
& −7
.
Application numérique:
7: =27,3217⋅365,256363
365,256363−27,3217 =29,5306 ,
La lunaison ou mois synodique vaut:
29,5306 jours soit 29 jours 12heures 44min 3s.
Remarque: il s'agit bien d'un calcul de durée moyenne: nous avons raisonné sur les vitesses
moyennes de la lune et du soleil sans tenir compte de la loi des aires.
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!"
La construction d'un calendrier utilise traditionnellement trois «horloges»
naturelles: la rotation de la terre sur elle-même qui définit le jour, les phases de la
lune qui permettent de définir le mois et le mouvement du soleil autour de la terre (si
le repère est géocentrique) qui permet de définir l'année tropique. Si la lunaison
correspondait à une nombre entier de jours et si l'année tropique correspondait à un
nombre entier de lunaisons, les choses seraient simples: la nouvelle lune
correspondrait toujours au même jour d'un mois et les débuts des saisons auraient lieu
à dates fixes. Cela n'est pas le cas: il faut donc choisir entre un calendrier «lunaire»
où la longueur moyenne du mois est très proche d'une lunaison et un calendrier
«solaire» où la longueur moyenne de l'année est très proche d'une année tropique.
Dans le premier cas, la nouvelle lune correspondent chaque mois au même jour mais
on obtient un décalage progressif des dates des débuts de saisons.
Nous l'avons expliqué au paragraphe IV.2: le calendrier grégorien en vigueur en
France est de type «solaire». Les débuts de saisons ont lieu à dates fixes mais les
nouvelles lunes n'ont pas lieu chaque mois au même jour.
Expliquons brièvement le principe d'un calendrier de type «lunaire» comme le
calendrier musulman. La lunaison étant proche de 29 jours et demi, on imagine une
année de 12 mois: 6 mois de 29 jours alternent avec 6 mois de 30 jours, ce qui
représente une année de 354 jours. Pour tenir compte des 44min et 3s supplémentaires
par lunaison, on ajoute régulièrement des années «abondantes» formées de 5 mois de
29 jours et de 7 mois de 30 jours, soit des années de 355jours. En pratique, par cycle de
30 ans, on répartit 19 années «communes» de 354 jours et 11 années «abondantes».
Ainsi la durée moyenne d'une année est:
19⋅354+11⋅355
30 =354,3666666666... ,
.
Or la durée moyenne de 12 lunaisons est, en utilisant la meilleure précision actuelle:
12⋅29,530588893671318 =354,367066724 ,
.
L'écart entre les deux durées n'est que de 4 dix-millièmes de jour par an, ce qui peut se
corriger en remplaçant une année commune par une année abondante une fois tous les
2500ans! L'accord entre lunaison et mois calendaire moyen est excellent mais en
contrepartie, le début de chaque saison se décale de près de 11 jours par an…
Ce décalage peut être supprimé par l'ajout judicieux de mois supplémentaires:
c'est le principe d'un calendrier de type «luni-solaire» comme le calendrier hébraïque.
Nous savons qu'une année tropique compte 365,24219 jours et qu'un mois synodique
compte 29,5306 jours. Le rapport de ces deux nombres vaut:
=365,24219
29,5306 =12,3683
.
Par une des méthodes exposée en annexe 4, on peut obtenir une fraction proche de ce
rapport:
≈235
19
. Ainsi, 19 années sidérales ont sensiblement même durée que
235 lunaisons. Or: 235 = 12 x 12 + 7 x 13. On peut donc imaginer un cycle de 19 ans
constitué de 12 années «communes» de 12 mois avec alternance de mois de 29 jours
et de mois de 30 jours (soit des années de 354 jours) et de 9 années «embolismiques»
comptant un mois supplémentaire de 30 jours (soit des années de 384 jours). La durée
moyenne d'une année civile, calculée sur 19 ans devient ainsi:
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12⋅354+7⋅384
19 =365,05263
.
La durée moyenne d'une lunaison, calculée sur 19 ans est ainsi:
12⋅(6⋅29+6⋅30)+7⋅(6⋅29+7⋅30)
235 =29,51489
.
Ces deux valeurs sont un peu inférieures aux valeurs recherchées: respectivement
365,24219 et 29,5306. L'ajustement se fait grâce aux mois n° 8 et n° 9 qui peuvent être,
suivant les années, de 29 ou de 30 jours. Ainsi, chaque mois commence à la nouvelle
lune et il n'y a pas de dérive des saisons, mais tout cela est bien compliqué: outre le
fait que l'année peut compter 12 ou 13 mois, le nombre de jours par an peut
prendre 6 valeurs différentes, selon les nombres de jours des mois 8 et 9 et le
nombre de mois par an: 353, 354 ou 355 les années de 12 mois, 383, 384, 385 les
années de 13 mois!
V.6.8. Rotation propre de la lune.
Le relief lunaire est suffisamment tourmenté ( cratères, «mers» lunaires...) pour être
facilement observable de la terre, en particuliers lors des phases de pleine lune. Il est donc facile de
constater que
;()/0(<=5>/?@!
?!+A
Est-ce à dire que la lune ne tourne pas sur elle-même? Pour répondre à la question, reprenons le
schéma n° 25 du paragraphe V.6.5 sur les phases de la lune et imaginons un repère dont l'origine est
le centre OL de la lune et dont les axes sont dirigées vers des étoiles suffisamment éloignées pour
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être considérées comme fixes (l'axe (OLZ), perpendiculaire au plan de figure, n'est pas représenté
sur le schéma). Ce repère dit tourne autour de la terre tout en gardant ses
axes parallèles aux axes du repère géocentrique déjà défini. Soit un point B de la surface de la lune
sur l'axe (OLX). Supposons ce point B sur la face éclairée une nuit de pleine lune d'un mois M (voir
le schéma de gauche ci-dessus). Six lunaisons plus tard, il y aura encore pleine lune mais la lon-
gitude écliptique du soleil aura augmenté d'environ 180° conformément au schéma de droite ci-
dessus. En absence de rotation propre de la la lune dans le repère (OLXYZ), le point B se trouvera
cette fois-ci sur la face cachée de la lune. Conclusion:
!
En réalité, les mesures montrent que
!"#
#$ (un tour tous les 27,3217 jours). Ce
synchronisme parfait n'est bien sûr pas le fruit du hasard. Il s'explique par le
phénomène de marée qui sera étudié plus en détail annexe 5. Disons simplement que
la lune exerce des forces de marées qui tendent à déformer la terre – et plus encore la
surface des océans – pour lui donner une forme un peu allongée suivant un axe
passant par les centres de la terre et de la lune, un peu comme un ballon de rugby (les
scientifiques parlent alors d'ellipsoïde…). La terre exerce des forces de marées sur la
lune environ 22 fois plus intenses. La lune étant formée de matière solide, les
déformations sont de plus faibles amplitudes mais pas négligeables pour autant; la
lune prend donc aussi la forme d'une ellipsoïde dont le grand axe est constamment
orienté vers le centre de la terre.
Conséquence sur terre: pendant que la terre effectue un tour sur elle-même, le
grand axe de l'ellipsoïde ne tourne que de 1/27 tour environ. Chaque point de la terre
ou de la surface des océans tend à se soulever quand il se rapproche de l'axe des
centres de la terre et de la lune et tend à s'abaisser quand il s'éloigne de cet axe. On
obtient ainsi environ deux marées hautes et deux marées basses par jour. Pour une
bonne visualisation du phénomène, on pourra consulter l'animation suivante dispo-
nible sur internet: # http://www.systemesolaire.net / maree.html .
;()5+/ (2
55.
Conséquence sur la lune: il y a quelques milliards d'années, la vitesse de rotation propre de
la lune était très probablement nettement supérieure à sa vitesse de révolution autour de la terre. Le
phénomène de marée était donc analogue à celui observé actuellement sur terre: les roches lunaires
étaient soumises à des forces de marées qui tendaient à les dilater à chaque fois qu'elles passaient
au voisinage de l'axe terre - lune. Ces déformations périodiques dissipaient beaucoup d'énergie, ce
qui s'est traduit par un lent ralentissement de la vitesse de rotation propre jusqu'à ce que celle-ci
atteigne la vitesse de révolution de la lune autour de la terre. Dans ces conditions, les roches ne se
déplacent plus par rapport à l'ellipsoïde; il n'y a plus dissipation d'énergie: le synchronisme
perdure.
V.6.9. Libration de la lune.
Imaginons pour simplifier que le centre OL de la lune soit animé dans le repère géocentrique
d'un mouvement circulaire à vitesse constante et que l'axe de rotation de la lune sur elle-même soit
perpendiculaire au plan de la trajectoire (voir schéma ci-dessous). Soit une position 1 de la lune et
un point A1 de la surface lunaire appartenant à la droite (OOL). Soit une position 2 de la lune
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observée un peu plus tard (un huitième de mois sidéral plus tard dans le cas de la figure). Entre les
deux positions, la droite (OOL) a tourné dans le repère géocentrique d'un angle
^
OL1OOL2
= . La
vitesse de rotation propre de la lune dans le repère sélénocentrique étant égale à la vitesse de
révolution, la droite (OLA) a aussi tourné de l'angle =
^
A2OL2X
par rapport à l'axe (OLX). Les
axes (OX) et (OLX) restant constamment parallèles, les angles
^
OL1OOL2
et
^
A2OL2X
sont en
positions «alternes-internes». Leur égalité implique l'alignement des points O, A2 et OL2 . Nous
venons de démontrer que l'égalité entre la vitesse de rotation propre et la vitesse de révolution de la
lune est bien conforme au fait que la lune présente toujours la même face du côté de la terre.
Est-ce à dire que vue de la terre, la partie éclairée de la lune présente toujours le même
aspect? En fait, le relief lunaire permet d'observer depuis la terre %
%. Grâce à ce phénomène, environ 59% de la surface lunaire
a pu être observé à partir de la terre. Pour le reste, il a fallu attendre les sondes spatiales.
;()5!( 25()
B!)CCDDD5!+C?C000!
Avant d'aller plus loin, commençons par répondre à la question suivante: Quelle proportion
de la surface lunaire peut-on voir une nuit de pleine lune? Est-ce vraiment 50%, soit tout
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l'hémisphère lunaire orientée vers la terre? Revenons au schéma ci-dessus en considérant la lune en
position 3 et un observateur terrestre noté Ob à la surface de la terre sur la droite (OOL). Pour éviter
de manipuler des nombres trop importants, les distances sont exprimées en multiple du rayon
terrestre RT = 6378km. Ainsi la distance moyenne entre les centres de la lune et de la terre vaut: dT-L
= 60,4RT et le rayon de la lune est RL = 0,2725RT. On trace les tangentes ObB et ObC au cercle de
centre OL , de rayon RL représentant la trace de la surface de la lune dans le plan de figure. La droite
passant par OL perpendiculaire à la droite (OOL) coupe ce cercle en B' et C'. Pour que 50% de la
surface lunaire soit visible à la fois du point Ob , il faudrait que les points B et B' d'une part, C et C'
d'autre part, soient confondus. On peut calculer le pourcentage de surface lunaire visible en
remarquant que le triangle (ObOLC) est rectangle en C. On obtient ainsi:
sin(α) = 39E
393
=;9
7−9−;7
=0,2725 ;7
59,4 ;7
=0,00459
; soit: = 0,2628°.
C'est angle est très faible: le pourcentage de surface lunaire visible à la fois est certainement proche
de 50%; faisons le calcul en remarquant que la vision de la lune pour Ob est invariante par rotation
autour de la droite (ObOL): en plus de l'hémisphère «arrière» évidemment invisible de la terre (la
«face cachée»), la partie invisible est une bande étroite de rayon RL , de largeur (CC'). Le périmètre
de cette bande vaut: 2..RL; À un angle de 180° correspond une longueur d'arc égal à un demi
périmètre soit .RL; à l'angle correspond donc la longueur d'arc:
EE =π⋅;9
⋅α
180
.
L'aire de cette bande invisible du point Ob est ainsi:
=2⋅π⋅;9
⋅EE =π2
⋅;9
2⋅α
90
.
L'aire d'une hémisphère vaut: 2..RL2 . L'aire totale de la surface visible à la fois est ainsi:
=2⋅π⋅;9
2− = π⋅;9
2⋅
(
2−π⋅α
90
)
.
L'aire totale de la surface lunaire vaut: 4..RL2; le pourcentage de surface visible à la fois du
point Ob est donc:
4⋅π⋅;9
2=0,5−π⋅α
360 =0,4977
.
Ainsi, en moyenne &'(()*.
Ce pourcentage peut être un peu plus élevé quand la distance dT-L est supérieure à sa valeur
moyenne, c'est-à-dire lorsque la lune est au voisinage de son apogée et il est un peu plus faible
quand la lune est au voisinage de son périgée. Cependant, ce pourcentage est très proche de 50%,
ce qui autorise l'expression «face visible de la lune».
Analysons maintenant les trois causes de la libration.
V.6.9.a) Libration parallactique.
Selon le Larousse, le mot " signifie: F(
G>!?+( H. Pour comprendre, revenons au schéma
précédent en considérant la lune en position 4, sans oublier que la terre tourne sur elle-même dans le
sens anti-horaire du schéma. Pour un observateur en position Ob1, la lune se lève juste sur l'horizon
à l'est terrestre. L'observateur voit la face de la lune orientée vers lui, pour peu qu'elle soit éclairée
par le soleil bien sûr; sa trace dans le plan de figure est l'arc de couleur magenta. Pour cet
observateur, le point A4 , point de la surface lunaire au plus près de la terre n'est pas au centre de la
face mais légèrement décalé vers l'est. Environ six heures plus tard l'observateur occupe la position
Ob2 (pas exactement six heures car la lune tourne un peu au cours d'une nuit et l'angle entre les
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rayons (OOb1) et (OOb2) ne vaut pas exactement 90°). L'observateur voit alors le point A4 au centre
de la face visible. Environ six heures plus tard, l'observateur est en Ob3; la face visible pour lui a
pour trace dans le plan de figure l'arc de couleur cyan. Le point A4 n'est plus au centre de la face
visible mais décalé vers l'ouest.
Ainsi, %%
+,
!-
.. Le déplacement apparent d'est en ouest est très difficile à observer. En effet
le point A4 semble tourner au cours de la nuit de l'angle 2. Un calcul analogue à celui fait pour
évaluer conduit à:
sin(β) = ;7
60,4 ;
=0,01656
; soit: = 0,949° (valeur moyenne).
Une rotation apparente de moins de 2 degrés en une nuit est impossible à détecter à l’œil nu.
Pour résumer les observations, le schéma ci-dessus représente, en exagérant les décalages
pour plus de clarté, trois observations successives une nuit de pleine lune, le cercle en pointillé re-
présentant la trace de l'hémisphère face à Ob2 .
V.6.9.b) Libration en longitude.
Dans cette étude de la libration nous n'avons pas encore tenu compte de ellipticité de la tra-
jectoire du centre de la lune dans le repère géocentrique décrite dans les paragraphes V.2 et V.3. La
loi des aires impose des variations périodiques de la vitesse de révolution de la lune autour de la
terre, la période de variation étant le mois anomalistique (27,55 jours). Une simulation informatique
montre que, pour une excentricité de 0,0555, valeur moyenne pour la trajectoire de la lune, la
vitesse de révolution est égale à la vitesse moyenne lorsque l'anomalie vraie (angle de la figure ci-
dessous ou du schéma n° 19) vaut 92,4° ou 267,6°, ce qui correspond sur la figure aux positions 3 et
7. Cette vitesse est supérieure à la moyenne au voisinage du périgée, soit sur la figure pour les
positions 8, 1 et 2. Cette vitesse est inférieure à la moyenne au voisinage de l'apogée, soit sur la
figure pour les positions 4, 5 et 6.
En revanche, les effets de marée ont mis des millions d'années à diminuer la vitesse de
rotation propre de la lune pour la rendre égale à la vitesse moyenne de révolution. Les effets de
marées ne sont pas assez puissants pour répercuter sur la rotation propre de la lune les faibles
variations périodiques de la vitesse de révolution dues à la loi des aires. Conséquence:
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%
##$
Le plan de la figure ci-dessous est le plan de la trajectoire lunaire. la partie inférieure de la figure
reprend les différentes vues pour un observateur terrestre; les pointillés représente la face qui serait
visible en absence de libration. Pour plus de clarté, l'excentricité de la trajectoire et le phénomène
de libration sont fortement exagérés sur le schéma.
Ainsi, lorsque la lune est située entre les positions 7 et 3 ( en passant par le périgée), la
vitesse de révolution est supérieure à la vitesse de rotation propre: vue de la terre, tout point de la
lune semble se déplacer très lentement d'ouest en est. Inversement, entre les position 3 et 7 (en
passant par l'apogée), la vitesse de révolution est inférieure à la vitesse de rotation propre: tout
point de la lune semble se déplacer lentement d'est en ouest pour un observateur terrestre.
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;( ) ? / , 5 F(
?(H
Les sens de déplacements s'inversent aux positions 3 et 7: c'est dans ces positions que les écarts
sont les plus importants: le point de la surface lunaire au plus près de la terre à l'apogée et au
périgée (noté A5 et A1) a tourné de 8° vers l'est en A3 et de 8° vers l'ouest en A7. Cela permet pour
l'observateur terrestre placé en Ob3 de découvrir une partie de la face qui serait cachée côté ouest en
absence de libration. De même un observateur placé en Ob7 peut découvrir une partie de la face qui
serait cachée côté est en absence de libration.
Bien entendu, les surfaces lunaires en jaune sur le schéma ci-dessus sont celles %
d'être observées des différentes positions Ob1, Ob2… Pour être effectivement visibles, ces surfaces
doivent être éclairées par la soleil et cela dépend des phases de la lune…
V.6.9.c) Libration en longitude.
Ce phénomène a pour origine l'obliquité de l'axe des pôles lunaires: l'axe de rotation propre
de la lune est incliné en moyenne d'un angle d'environ 6,7° par rapport a la perpendiculaire au plan
de la trajectoire du centre de la lune et garde une direction pratiquement fixe dans le référentiel
géocentrique. Analysons les conséquences de cette obliquité en négligeant pour l'instant l'influence
de la loi des aires. Le raisonnement est assez analogue à celui qui permet de définir les saisons sur
terre.
Considérons le schéma ci-dessus: un point A de la surface lunaire sur la droite passant par
les centres de la terre et de la lune en position A1, sera pour un observateur terrestre animé d'un très
lent mouvement apparent le long d'un méridien, ce qui justifie l'expression «libration en latitude».
Le décalage vers le nord du point A est maximum en position 2, ce qui permet à l'observateur
terrestre d'explorer alors une partie de la surface lunaire qui serait cachée derrière le pôle sud
lunaire si la libration n'existait pas. Le point A retrouve en position 3 le milieu de la face visible
comme en position 1 et le décalage vers le sud est maximum en position 4, ce qui permet alors à un
observateur terrestre d'explorer une partie de la surface lunaire qui serait cachée derrière le pôle
nord lunaire si la libration n'existait pas. Cette libration correspond à une rotation périodique vers le
nord ou vers le sud d'amplitude égale à 6,7° et de période égale à un mois sidéral (27,32 jours).
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V.6.9.d) Synthèse sur la libration.
La libration parallactique présente peu d'intérêt pratique: son amplitude est très faible et le
bord ouest ou est qu'elle permet de découvrir n'est visible qu'au lever ou au coucher de la lune: la
lumière du soleil levant ou du soleil couchant gêne l'observation.
Les librations de longitude et de latitude sont en réalité simultanées: la composition
d'un mouvement d'oscillation suivant un méridien et d'un mouvement d'oscillation sui-
vant un parallèle lunaire d'amplitudes différentes mais de périodes égales produirait
un mouvement elliptique. Les périodes étant légèrement différentes, la situation est
plus compliquée: sur un mois, on observe une courbe pas tout à fait fermée ayant
l'allure d'une éllipse, cette courbe se modifiant légèrement d'un mois à l'autre. Bien
sûr, ce mouvement ne peut être mis en évidence qu'avec un montage de photographies
prises tout au long du mois et le point de la surface observé ne sera pas toujours
éclairé par le soleil… Le principal intérêt du phénomène de libration reste
l'exploration d'une partie de la surface lunaire qui serait toujours cachée sans ce
phénomène.
)
) 1
#$%&'(
Il y a éclipse de lune lorsque la terre s'interpose entre elle et le soleil de
façon à empêcher le soleil de l'éclairer. Une éclipse de lune n'est donc possible que
si les centres des trois astres sont approximativement alignés. Le schéma n° 25 montre
clairement qu'une telle situation n'est possible que si la lune et le soleil sont en
opposition (situation de type E). Bien sûr cette condition est nécessaire mais pas
suffisante, sinon il n'y aurait jamais de pleine lune mais une éclipse de lune par
lunaison.
Retenons:
éclipse de lune possible si:
(9−9)≈180 "
.
#)((*
On se contente ici d'indiquer quelques ordres de grandeurs. Pour éviter de
manipuler des nombres trop grands, nous exprimons les distances en multiples de
rayon terrestre RT = 6378km. Le rayon du soleil est d'environ 109RT; celui de la lune
vaut 0,2725RT . La distance moyenne entre les centres de la terre et du soleil vaut: dT-S
= 23455RT; la distance moyenne entre les centres de la lune et de la terre vaut: dT-L =
60,4RT .
Peut-on envisager un schéma à l'échelle représentant les trois astres? Supposons que
l'on choisisse de représenter 1000RT par 1cm; la distance dT-S correspondrait ainsi à
23,45cm sur le schéma mais alors dT-L correspondrait à 0,6mm et le rayon terrestre
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correspondrait à un centième de millimètre! Un schéma clair ne peut être à l'échelleet
nous constatons à quel point les distances entre les astres sont énormes par rapport
aux rayons des astres. Le schéma ci-dessous n° 26 va nous permettre quelques
raisonnements mathématiques mais déforme fortement la réalité; par exemple, sur le
schéma dT-L est de l'ordre de 2RT alors qu'il vaut en moyenne 60,4RT !
La figure du haut est classique. La zone située derrière la terre, délimitée par
l'ensemble des droites à la fois tangentes au soleil et à la terre est la zone d'ombre.
La figure étant invariante par rotation autour de l'axe passant par les centres des deux
astres, cette zone est un cône dont le sommet n'est pas représenté car très à droite de
la figure. La zone d'ombre est entourée d'une zone de pénombre; si un objet se situe
dans cette zone, seule une partie du soleil peut l'éclairer; cet objet apparaît donc plus
sombre qu'en pleine lumière, d'autant plus sombre d'ailleurs qu'il est proche du cône
d'ombre.
Cela nous permet de définir trois sortes d'éclipses de lune.
* Les éclipses partielles par la pénombre: à la pleine lune, la lune passe
dans la zone de pénombre sans entrer dans la zone d'ombre; la lune est simplement
moins éclairée mais le phénomène est très peu spectaculaire et fortement tributaire
des conditions météorologique.
* Les éclipses partielles par l'ombre: à la pleine lune, une partie seulement
de la lune pénètre dans le cône d'ombre. Ce sont les seules éclipses partielles que nous
étudierons.
* Les éclipses totales: à la pleine lune, la totalité de la lune entre dans le cône
d'ombre.
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schéma n° 26
#+,'((
Le fait d'avoir sous-évalué sur le schéma n° 26 les distances dT-S et dT-L par
rapport aux rayons des astres amplifie fortement l'inclinaison des droites tangentes
tracées. En réalité, les angles entre ces droites et l'axe passant par les centres du soleil
et de la terre sont tous inférieurs à 1°. Dans ces conditions, les rayons extrêmes émis
par le soleil peuvent être considérés comme émis par les points F et G de la figure du
bas et les points de tangence de ces rayons avec la terre sont très proches des points A
et H de la figure où les points Os et O désignent les centres du soleil et de la terre.
Autre approximation: le simple examen du schéma n° 26 permet d'affirmer que
la largeur de la zone d'ombre est inférieure au diamètre de la terre: 2RT . Quand la
lune tourne de 360°, elle parcourt une distance d'environ 2.60,4.RT ≈379,5RT . En
traversant, la zone d'ombre, la lune tourne donc d'un angle d'environ:
360⋅2;7
379,5 ;7
≈1,9"
.
Cet angle est très petit; la portion de trajectoire lunaire dans la zone d'ombre est
suffisamment petite pour être assimilé à une portion rectiligne perpendiculaire à l'axe
défini par les centres du soleil et de la terre, l'axe (OS O). Pour définir les largeurs des
zones d'ombre et de pénombre, nous sommes donc amenés à étudier l'intersection de
ces zones avec le plan perpendiculaire à l'axe (OS O) situé à la distance dT-L du centre O
de la terre.
Commençons par déterminer le rayon R de la zone d'ombre.
Le théorème de Thalès conduit à:
IE
JK =&E
&J
soit:
;7−;
; −;7
=7−9
7−
.
Application :
;7−;=108⋅;7
⋅60,4⋅;7
23455⋅;7
; d'où:
;=
(
1−108⋅60,4
23455
)
⋅;7≈0,722⋅;7
.
Sachant que le rayon de la lune est: RL = 0,2725RT; le rayon de la zone d'ombre vaut:
;=0,722
0,2725⋅;9≈2,65⋅;9
.
Le diamètre de la zone d'ombre est environ 2,65 fois plus grande que le diamètre de la
lune. Le fait que le diamètre de la zone d'ombre soit largement supérieur à
celui de la lune rend possible des éclipses totales.
Déterminons maintenant le rayon extérieur R' de la zone de pénombre.
Ce rayon correspond à la distance O'D. Nous savons: O'C = RT . Il faut calculer la dis-
tance CD en appliquant le théorème de Thalès .
E
JL =&E
&J
; soit:
E
;7+;
=7−9
7−
.
Application:
E =110⋅;7
⋅60,4⋅;7
23455⋅;7
≈0,283⋅;7
.
Finalement: R' = O'D = O'C + CD = 1,283.RT .
L'intersection du plan perpendiculaire à l'axe (OS O) situé à la distance dT-L du
centre O de la terre avec la zone de pénombre est ainsi une couronne de rayon
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intérieur R = 0,722RT et de rayon extérieur R' = 1,283RT . La «largeur» de la zone de
pénombre est:
R' – R = 0,561RT .
On peut remarquer que cette largeur est de très peu supérieure au diamètre de
la lune: 0,545RT . On peut donc imaginer des situations où la lune est entièrement
dans la zone de pénombre.
#-'
Nous allons estimer la durée de l'éclipse dans le cas particulier où le centre de la
trajectoire du centre de la lune passe par le centre de la zone d'ombre (cas 1 du schéma
n° 27).
En P1, l'hémisphère de la lune orientée vers le soleil est totalement éclairée. De P1 à
P2 la lune traverse la zone de pénombre et est de moins en moins lumineuse (éclipse
par la pénombre).
De P2 à P3, la lune entre progressivement dans la zone d'ombre, il y a éclipse partielle.
La durée de cette éclipse partielle est la durée nécessaire au centre de la lune pour
parcourir la distance 2RL = 0,545RT . Or, dans notre hypothèse simplificatrice d'un
mouvement circulaire uniforme, ce centre parcourt la distance de 379,5RT en un mois
synodique soit 29,5306jours soit 708,73heures. La durée estimée de la phase d'éclipse
partielle de P2 à P3 est donc:
708,73⋅0,545⋅;7
379,5⋅;7
=1,018! soit 1h01min
.
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schéma n° 27
Remarque: le centre de la zone d'ombre reste constamment sur l'axe (Os O) du schéma n° 26; les
zones d'ombre et de pénombre tournent donc dans le repère géocentrique à la même vitesse angulaire
que le soleil. Il faut donc, dans l'expression de la vitesse de la lune par rapport aux zones d'ombre et
de pénombre, prendre en compte la vitesse de la lune par rapport au soleil ( un tour par mois
synodique) et non la vitesse de la lune par rapport au repère géocentrique (un tour par mois sidéral).
De P3 à P4 la lune est entièrement dans la zone d'ombre, il y a éclipse totale. Sa durée
est celle nécessaire au centre de la lune pour parcourir la distance:
(2R – 2RL) = (1,444RT – 0,545RT) = 0,899RT .
La durée estimée de l'éclipse totale de P3 à P4 est ainsi:
708,73⋅0,899⋅;7
379,5⋅;7
=1,679! soit 1h41min
.
L'éclipse partielle correspondant à la sortie progressive de la lune de la zone d'ombre
(passage de P4 à P5) aura même durée que celle correspondant au passage de P2 à P3.
L'évolution de P5 à P6 est analogue à celle de P1 à P2.
La trajectoire de la lune ne passe pas nécessairement par le centre de la zone
d'ombre; alors la durée de l'éclipse totale est nettement plus faible alors que les durées
d'éclipses partielles sont plus longues. Ainsi pour la prochaine éclipse totale visible en
France (le 25 septembre 2015) la durée de l'éclipse totale sera de 1h12min et les
phases d'éclipse partielle dureront chacune 1h04min. Dans le cas limite N° 2 du
schéma n° 26 la lune n'est entièrement dans la zone d'ombre que quelques minutes et
les phases d'éclipse partielle sont allongées. Ainsi l'éclipse totale du 4 avril 2015
(invisible en France métropolitaine) ne durera que 5min alors que les phases d'éclipse
partielle dureront chacune 1h42min.
La durée calculée de 1h41min pour l'éclipse totale n'est pas pour autant la plus
longue observable; n'oublions pas que nos calculs sont simplifiés: nous avons en
particulier négligé l'ellipticité des trajectoires et la loi des aires. Ainsi, un soleil à son
périhélie augmenterait les largeurs des zones d'ombre et de pénombre, ce qui tendrait
à augmenter les durées des différentes phases; un soleil à son aphélie aurait l’effet
inverse. L'ellipticité de la trajectoire de la lune influence aussi les durées des éclipses.
En effet, si dT-L augmente, les largeurs des zones d'ombre et de pénombre augmentent
et, selon la loi des aires, la vitesse du centre de la lune diminue: ces deux effets
combinés augmente la durée de l'éclipse. La durée maximale observée pour une éclipse
totale est 1h47min.
# .' '
La première condition a déjà
été expliquée paragraphe VI.1.1. Pour
comprendre pourquoi elle n'est pas
suffisante, faisant un schéma pour
une fois à l'échelle mais sans
représenter le soleil: nous avons déjà
expliqué pourquoi la représentation
simultanée des trois astres à l'échelle
est impossible. Nous nous plaçons
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schéma n° 19
dans le cas simple où la longitude écliptique du soleil vaut (90° + ) et celle de la lune
(270° + ).
Pour plus de clarté, le schéma n° 19 est refait ci-contre. C'est dans ce cas parti-
culier que la lune est la plus éloignée du plan de l'écliptique en étant située au-dessous
de ce plan. Le rayon de la lune étant environ 222 fois plus petit que dT-L , la lune
apparaît comme un point sur le schéma. Nous constatons que, malgré la faible valeur
de l'inclinaison, la lune est très en dessous du cône d'ombre créé par la terre. Il n'y a
pas éclipse mais pleine lune.
Le rayon lunaire et le rayon R de la zone d'ombre défini au paragraphe VI.1.3
sont tellement faibles devant dT-L que l'éclipse de lune n'est possible que si les
centres des trois astres sont alignés ou au moins très proches d'une droite
commune. Les trajectoires des centres de la lune et du soleil appartement à des plans
différents, l'alignement n'est possible que le long de la droite commune aux
deux plans: la ligne des nœuds. Lune et soleil devant être en opposition, lors d'une
éclipse, la longitude écliptique du soleil doit être très proche de celle d'un nœud alors
que celle de la lune doit être très proche de celle du nœud opposé.
Conclusion: l'éclipse de lune n'est possible que si les deux conditions
suivantes sont réunies simultanément:
9−9≈180"et
{
9 ≈ Ω
ou
9 ≈ Ω+180 "
La situation très rare où le centre de la lune est exactement sur la ligne des
nœuds tout en étant exactement
en opposition avec le soleil corres-
pond au cas 1 du schéma n° 27. Le
centre de la lune passe exactement
par le centre de la zone d'ombre; la
durée de l'éclipse totale est maxi-
male (pour des valeurs données de
dT-L et dT-S) et vaut en moyenne 1h41-
min.
Pour mieux préciser les
autres cas, nous allons répondre à la
question suivante: Soit une date où
la lune est exactement en opposition
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schéma n° 28
schéma n° 29
avec le soleil (L' – L = 180°) sans que son centre ne soit exactement sur la ligne des
nœud. Quel est l'écart maximal possible (noté ) entre L' et (ou entre L' et +180°)
permettant néanmoins l'obtention d'une éclipse totale de lune? Reprenons le schéma
n° 27 en le complétant dans le cas limite n° 2 où la lune entre entièrement dans la
zone d'ombre pendant une durée très courte.
Pour ce schéma n° 29, nous utilisons les mêmes hypothèses simplificatrices que
celles utilisées pour le schéma n° 27. À la date de pleine lune, le centre C de la zone
d'ombre et le centre C1 de la lune ont même longitude écliptique L' = L+180° mais L'
est un peu inférieure à : L' = - . C1 est un peu en-dessous du plan de l'écliptique;
l'éclipse n'est que partielle à cette date; une petite partie de la lune est en dehors de la
zone d'ombre. Au voisinage du nœud ascendant NA, la trajectoire de la lune est
assimilable à une droite inclinée de l'angle i par rapport à l'écliptique. Calculons la
valeur de pour que, un peu plus tard, la lune pénètre juste dans la zone d'ombre; la
distance de C à C2 est alors:
EE2=;−;9=0,722 ;7−0,2725 ;7=0,4495 ;7
.
Considérons le triangle (C C2 NA) rectangle en C2; la définition de la tangente de
l'angle i permet de calculer la distance de C à NA:
E6 &=EE 2
tan ()
; soit:
E6 &=0,4495 ;7
tan(5,5 ")=4,668 ;7
.
Le plan de figure est à la distance dT-L du centre de la terre; à cette distance, une
variation de longitude écliptique de 360° correspond à une distance parcourue de
2.60,4RT = 379,5RT . La variation de longitude écliptique entre C et NA est donc:
Δ = 360⋅4,668⋅;7
379,5⋅;7
=4,428"
.
Reprenons le calcul de pour le cas limite de l'éclipse partielle. Dans ce cas, la
trajectoire du centre de la lune est encore plus éloignée du centre C et le cas limite
correspond à une lune «frôlant» la zone d'ombre du côté extérieur: le centre de la
lune occupe alors la position C3 du schéma n° 29. Les calculs sont analogues aux
précédents.
EE2=;+;9=0,722 ;7+0,2725 ;7=0,9945 ;7
E6 &=0,9945 ;7
tan(5,5 ")=10,33 ;7
;
Δ = 360⋅10,33⋅;7
379,5⋅;7
=9,797"
.
Pour une nouvelle lune se produisant après le passage au nœud, le calcul se
mène de la même manière et conduit aux mêmes valeurs de . D'où une conclusion
plus précise:
Il y a éclipse totale de lune lorsque les deux conditions suivantes sont obtenues
simultanément:
9−9≈180"et
{
9 (Ω−4,428") (Ω+4,428")
ou
9 (Ω+180 "−4,428")(Ω+180"+4,428 ")
.
Il y a éclipse partielle de lune lorsque les deux conditions suivantes sont obtenues
simultanément sans que la condition sur L' concernant l'éclipse totale ne soit vérifiée:
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9−9≈180"et
{
9 (Ω−9,797 ")(Ω+9,797 ")
ou
9 (Ω+180 "−9,797 ")(Ω+180 "+9,797 ")
.
Remarque: rappelons une fois de plus que les valeurs calculées de
sont des valeurs moyennes qui
ne tiennent pas compte de l’ellipticité des trajectoires et de la loi des aires…
#/0*1
Lors d'une éclipse, le centre du soleil doit être très près d'un nœud (nœud ascen-
dant ou nœud descendant). Est-ce à dire que cette condition est vérifiée une fois tous
les 6 mois? Pas tout à fait car les nœuds tournent lentement dans le sens inverse à
raison d'un tour toutes les 18,60années. Dans ces conditions, nous avons vu au
paragraphe V.4 que le centre du soleil passe par un nœud tous les 173,310jours. On
peut donc affirmer que le mouvement du soleil rend une éclipse possible tous
les 173,310 jours.
Une éclipse de lune se produit-elle effectivement tous les 173,310jours? Il
faudrait pour cela que le passage à un nœud s'accompagne d'une opposition soleil –
lune, ce qui se produit tous les mois synodiques, soit tous les 29,5306jours. La division
de 173,310 par 29,5306 conduit à 5,8688: ce n'est pas un nombre entier mais
cependant un nombre proche de 6. Les éclipses peuvent se produire en moyenne
toute les six lunaisons à la date de pleine lune sous réserve que le soleil et la
lune soient suffisamment proches de la ligne des nœuds à cette date. La
prévision des éclipses n'est donc pas simple même si les moyens informatiques actuels
facilitent bien les choses. Pour savoir si une ou plusieurs éclipses se produisent une
année donnée, on peut, par exemple, déterminer, pour chaque jour, les longitudes
écliptiques du soleil, de la lune et du nœud ascendant et examiner si les critères
démontrés ci-dessus se vérifient à certaines dates. Le livre de Jean MEEUS déjà cité
donne les méthodes de calcul.
Il est néanmoins possible de trouver une périodicité des éclipses. La lune
retrouve sur la sphère céleste la même position par rapport au soleil tous les mois
synodiques; la lune retrouve la même position sur la sphère céleste par rapport au
nœud ascendant tous les mois draconitiques. Imaginons une éclipse à une date t.
Imaginons une durée S qui soit à la fois un multiple de la durée du mois
synodique et un multiple de la durée du mois draconitique. La lune
retrouverait à la date (t + S) la même position par rapport au soleil et par
rapport aux nœuds: il y aurait la même éclipse à la date (t + S)!
Écrivons que S est un multiple de Tsy: durée du mois synodique:
S = n.Tsy avec n: nombre entier.
Écrivons que S est un multiple de Tdr: durée du mois draconitique:
S = m.Tdr avec m: nombre entier.
Ainsi:
n.Tsy = m.Tdr; ou encore:
7:
7
=
.
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Les mesures astronomiques déjà évoquées conduisent à:
7:
7
=29,530588893671318
27,212220806158207 =1,085195842854122
.
Nous sommes amenés à trouver la fraction (les mathématiciens disent «le nombre
rationnel») le plus proche du rapport précédent. La détermination de ce nombre est
expliquée en annexe 4. On trouve:
=242
223
; soit m = 242 et n = 223.
Ainsi la durée S appelée saros représente la durée de 223 mois synodiques:
S = 223.29,530588893671318 = 6585,321323288704 jours.
Vérifions que cette durée est très proche de 242 mois draconitiques:
242.27,212220806158207 = 6585,357435090286 jours.
L'accord est excellent puisque l'écart n'est que de 0,036111801582592 jour soit 52min
sur une période de plus de 18 ans!
Remarque 1: converti en années civiles, le saros représente 18ans 11jours 8h si la période
considérée compte 4 années bissextiles ou 18ans 10jours 8h si la période considérée compte 5
années bissextiles.
Il aurait été possible de choisir un rationnel encore plus proche du rapport
Tsy/Tdr , par exemple: 777/716. Ce choix serait certes plus précis mais n'aurait pas les
deux avantages que nous exposons ci-dessous:
- Nous avons expliqué que les durées des éclipses dépend de la distance terre -
lune qui est variable à cause de l'ellipticité de la trajectoire de la lune. Divisons la
durée du saros par la durée du mois anomalistique qui représente la durée entre deux
passages de la lune au périgée ou à l'apogée:
7
=6585,321323288704
27,554549724237798 =238,9921587975020
.
Un saros correspond pratiquement à 239 mois anomalistique (erreur de 0,00328%); au
bout d'un saros la distance dT-L est donc sensiblement la même.
- Autre avantage: divisons le saros par la durée d'une année synodique:
&
=6585,357435090286
365,256363004 =18,029411947624766
.
L'écart au nombre entier 18 est cette fois-ci un peu plus important (0,163%) mais
l'excentricité de la trajectoire elliptique du soleil est très faible: les variations de dT-S
sont très faibles en 0,0294année ( un peu moins de 11 jours).
Conclusion: si nous obtenons une éclipse à une date t, nous obtiendrons des
éclipses pratiquement identiques aux dates (t + S), (t+2S), (t+3S)…
Remarque: si les éclipses sont pratiquement identiques tous les saros dans le repère géocentrique,
leurs observations à partir d'un point fixe de la surface de la terre sera différente. Le saros
représente un nombre entier de jours plus 0,3213 jour. Pendant un saros, la terre effectue un nombre
entier de tours autour de l'axe de ses pôles plus 0, 3213tour; d'un saros au suivant, pour un
observateur terrestre, l'éclipse se décale vers l'ouest de 360.0,3213 = 116degrés.
La durée du saros étant à la fois multiple de la durée du mois synodique et de la
durée du mois draconitique, elle est aussi multiple de Ti, la durée entre deux
traversées consécutives de la ligne des nœuds (démonstration en remarque). Vérifions-
le:
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7
=6585,357435090286
173,31 =37,997353431935281
.
L'écart avec la valeur entière 38 n'est que de 0,007%. Par saros, il y a donc 38
périodes favorables à l'existence d'éclipses mais, pour les raisons déjà expliquées,
chaque période ne donne pas lieu à une éclipse: en moyenne par saros, on compte 13
éclipses totales de lune et 15 éclipses partielles de lune.
Remarque: montrons que, si la durée d'un saros est à la fois multiple du mois synodique Tsy et du
mois draconitique Tdr , elle est aussi multiple de la durée Ti .
Au paragraphe V.6.5 nous avons montré:
1
7:
=1
7
−1
&
relation (1)
.
Au paragraphe V.6.3 nous avons montré:
1
7
=1
7
+1
76&
relation ( 2)
.
Au paragraphe V.4 nous avons montré:
1
76&
=1
2⋅7
−1
&
relation ( 3)
.
Par substitution entre (2) et (3), nous obtenons:
1
7
=1
7
+1
2⋅7
−1
&
relation ( 4 )
.
Selon (1):
1
7
=1
7:
+1
&
; par substitution dans (4):
1
7
=1
7:
+1
2⋅7
relation ( 5 )
.
En utilisant la définition du saros, la relation (5) devient:
=
+1
2⋅7
; soit:
1
2⋅7
=−
.
d'où:
7
=2⋅(−) = 2⋅(242−223) = 38
.
##2'&*304&
Les livres d'astronomie et de nombreux sites internet présentent des photos et
des animations d'éclipses de lune. Par exemple:
http://xjubier.free.fr/site_pages/lunar_eclipses/TLE_20101221_pg01.html.
On constate que la lune, bien que dans l'ombre de la terre pour une
éclipse totale, reste constamment faiblement éclairée, prenant au passage
dans la partie centrale de la zone d'ombre une coloration rouge, plus ou moins
sombre selon les conditions climatiques, analogue à celle d'un soleil couchant.
Expliquons d'abord pourquoi la lune est éclairée tout en étant dans la
zone d'ombre. Le phénomène qui intervient s'appelle la réfraction de la lumière:
il s'agit de la déviation que subit la lumière lorsqu'elle passe d'un milieu
transparent dans un autre milieu transparentde nature différente ; c'est à
cause de la réfraction que la partie immergée d'un bâton en partie plongée dans l'eau
ne semble pas dans le prolongement de la partie hors de l'eau…
Envisageons d'abord le modèle simplifié où la terre serait entourée d'une couche
d'air homogène sur une certaine épaisseur, cet ensemble terre – air étant dans le vide
conformément au schéma n° 30 ci-dessous. Un rayon lumineux provenant du soleil
subit, en pénétrant dans l'air au point A, une déviation; l'angle i2 est un peu inférieur
à l'angle i1. La lumière se propage ensuite dans l'air jusqu'au point B où elle subit une
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nouvelle réfraction et donc une nouvelle déviation. Cette fois-ci la réfraction de fait de
l'air vers le vide et non l'inverse comme en A; l'inégalité d'angle est inversée; i4 est
supérieur à i3 de sorte que la déviation se produit dans le même sens qu'en A. La
traversée de la couche d'air produit donc une déviation de la lumière
permettant l'éclairage d'un objet situé «derrière» la terre, par rapport au
soleil. La situation est invariante par rotation autour d'un axe passant par le centre
de la terre et le centre du soleil.
Remarque: les lois sur la réfractions ont été établies par SNELL en Angleterre et par DESCARTES
en France; plus de précisions à l'adresse suivante :
http://www.astrosurf.com/astrofil/optique/Descartes.html
En réalité, la situation est un peu plus complexe: l'air n'est pas tout à fait
homogène; sa pression diminue lentement de la valeur au sol (voisine de 1013
hectopascals) à une valeur pratiquement nulle dès que l'altitude atteint quelques
centaines de kilomètres. Cependant, il y a toujours déviation de la lumière par
réfraction en direction de la zone d'ombremais les rayons lumineux sont d'autant plus
déviés que l'air qu'ils traversent est dense. Ainsi, les rayons sont d'autant plus déviés
qu'ils arrivent du soleil en étant proches de la terre. Au delà de quelques dizaines de
kilomètres d'altitude, la déviation devient négligeable.
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schéma n° 30
Expliquons maintenant pourquoi la lune apparaît rouge lorsqu'elle
passe dans la partie centrale de la zone d'ombre. Le fait que la couleur évoque
celle du soleil couchant n'est pas un hasardpuisque l'origine de la coloration est la
mêmedans les deux cas : le phénomène de diffusion de la lumière blanche par
l'air et les divers aérosols qu'il contient.
On peut mettre le
phénomène en évidence très
simplement conformément au
schéma n° 31 ci-dessus.
On place trois ou quatre gouttes
de lait dans un verre que l'on
remplit d'eau. On place alors le
verre entre la tête et une source
de lumière blanche. La source
lumineuse apparaît jaune
orangée. En revanche, le liquide
observée dans une direction
perpendiculaire à la direction
ampoule – verre apparaît
bleuté. Ajoutons quelques
gouttes de lait supplémentaires
(pas trop sinon le liquide
devient opaque): la source
apparaît maintenant rouge et le
liquide bleu foncé.
Rappelons que la lumière blanche correspond à la superposition d'ondes lumineuses de
couleurs différentes, toutes les couleurs de l'arc-en-ciel étant présentes. Une partie de
la lumière traverse le liquide sans modification.
Une autre partie de la lumière est absorbée par les constituants du liquide (molécules
d'eau, molécules du lait) pour être aussitôt réémise dans toutes les directions:
c'est le phénomène de diffusion de la lumière. Sur le schéma 31, l'observateur de
gauche ne reçoit que de la lumière diffusée alors que l'observateur de droite reçoit la
lumière transmise composée de la lumière ayant traversé le liquide sans modification
et de lumière diffusée dans sa direction. Il se trouve que les particules constituant
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schéma n° 31
schéma n° 32
le liquide diffusent beaucoup plus la lumière bleue et la lumière violette que
la lumière rouge. La sensibilité de l’œil à la couleur violette étant plus faible que sa
sensibilité à la couleur bleu, la lumière diffusée apparaît bleue, la lumière transmise
étant appauvrie en bleu et violet par rapport à la lumière blanche apparaît jaune
orangée si le milieu est peu diffusant et rouge sombre si le milieu est très diffusant.
Remarque: le phénomène de diffusion vérifie la loi de Rayleigh: l'intensité de la lumière diffusée est
inversement proportionnelle à la puissance quatre de la longueur d'onde dans le vide. Ainsi à
intensités égales des rayonnements violet et rouge incidents, l'intensité diffusée dans le violet (
=400nm) est 12,4 fois plus intense que l'intensité diffusée dans le rouge (
= 750nm).
C'est grâce à ce phénomène de diffusion que le ciel paraît bleu par beau
temps. En effet l'air est constitué de molécules (azote et oxygène essentiellement) qui
diffusent la lumière solaire. Imaginons d'abord la situation d'un observateur terrestre
vers midi solaire. La lumière solaire transmise est faiblement appauvrie en bleu et
violet car l'épaisseur d'air traversée est minimale : le soleil apparaît jaune. Si
l'observateur regarde le ciel dans une direction autre que celle du soleil, il reçoit de la
lumière diffusée par les molécules d'air situées dans la direction de son regard: le ciel
lui apparaît bleu. Le matin et le soir, la couche d'air traversée est nettement plus
importante, le phénomène de diffusion est plus important, le soleil apparaît rouge (voir
schéma n° 32). Le phénomène de diffusion est encore accentué par la présence dans
l'air d'autres particules diffusantes: molécules d'eau, molécules diverses issues de la
pollution : les plus beaux levés et couchés de soleil s'observent par beau temps au-
dessus de la mer car l'air y contient des molécules d'eau obtenues par évaporation de
l'eau de mer et au-dessus des villes polluées.
Revenons à la lune dans la zone d'ombre de la terre en tenant compte
de ce qui vient d'être exposé sur la déviation et la diffusion de la lumière
solaire. En entrant ou sortant de la zone d'ombre, la lune reçoit de la lumière peu
déviée par l'atmosphère, donc de la lumière ayant traversé les couches élevées de
l'atmosphère, là où la densité de l'air est faible et donc les particules diffusantes peu
concentrées: la lune apparaît donc jaune. Dans la partie centrale de la zone d'ombre,
la lune reçoit une lumière ayant subie une déviation plus importante, donc de la
lumière ayant traversé les couches basses de l'atmosphère, là où la densité de l'air est
plus forte et les particules diffusantes plus concentrées; le phénomène de diffusion est
donc dans cette zone plus important; la lune apparaît rouge. Bien sûr, comme la
coloration du soleil couchant, cette coloration est très sensible à l'humidité de l'air
traversé, donc au conditions météorologiques.
#560('
Contrairement aux éclipses de soleil dont la zone d'observation à la surface de la
terre est, nous allons le voir, très réduite, l'éclipse de lune est visible dans toute l'hémi-
sphère terrestre face à la lune. Pour un observateur fixe à la surface de la terre, elle
est visible tant que la lune reste au-dessus de la ligne d'horizon. La durée de l'éclipse
(phases d'entrée et de sortie de la zone d'ombre comprises) pouvant durer quelques
heures, il n'est pas toujours possible d'observer d'un lieu donné toutes les phases de
l'éclipse: l'éclipse peut commencer avant que la lune n'apparaisse à l'horizon ou elle
peut se terminer après que la lune ait disparu à l'horizon.
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) 1
#$%&'(
Il y a éclipse de soleil lorsque la lune s'interpose entre lui et la terre de façon
à empêcher le soleil d'éclairer au moins partiellement une partie de
l'hémisphère terrestre situé face à lui. Une éclipse de soleil n'est donc possible que
si les centres des trois astres sont approximativement alignés. Le schéma n° 32 montre
clairement qu'une telle situation n'est possible que si la lune et le soleil sont en
conjonction (situation de type A au paragraphe V.6.4). Bien sûr cette condition est
nécessaire mais pas suffisante, sinon il y aurait une éclipse de soleil à chaque nouvelle
lune soit tous les mois synodiques.
Retenons:
éclipse de soleil possible si:
9 ≈9
.
Remarque concernant le schéma n° 32: la ligne de centralité est la courbe représentant les
intersections successives de la surface de la terre avec la droite passant par les centres de la lune et
du soleil.
Autre remarque: l'expression «éclipse de soleil» est «consacrée par l'usage» et sera employée ici
mais elle n'est pas logique. Précédemment, nous disions qu'il y avait éclipse de lune quand la lune
était à l'ombre de la terre; cette fois-ci, c'est la terre qui est à l'ombre de la lune; il serait donc
logique de parler d'éclipse de terre. On peut aussi dire qu'il y a occultation partielle ou
totale du soleil puisque la lune cache à la vue d'un observateur sur terre tout ou partie de
l'hémisphère solaire face à lui.
#)((*
Nous utilisons les mêmes hypothèses simplificatrices que pour le schéma n° 26 .
Rappelons les données retenues: rayon terrestre: RT = 6378km; RS = 109RT; RL =
0,2725; dT-S = 23455RT; dT-L = 60,4RT .
Commençons par rechercher la position du sommet S du cône d'ombre en nous
plaçant d'abord dans le cas simple où les centres des trois astres sont alignés. Dans ce
cas la distance entre les centres OS et OL du soleil et de la lune vaut (dT-S – dT-L).
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schéma n° 32
Soit d la distance entre le centre de la lune et le sommet S. Le théorème de Thalès
conduit à:
39
3
=39&
3 K
; soit:
+7− −7−9
=;9
;
.
Cela conduit à:
=⋅;9
;
+;9
;
⋅(7− −7−9)
;
soit:
=;9
; −;9
⋅(7− −7−9)relation ( 1)
;
d'où:
=0,2725 ;7
109;7−0,2725;7
⋅(23455 ;7−60,4 ;7) ≈ 58,63 ;7
.
Or, la distance du centre de la lune à la surface de la terre, au plus près de la
lune, est (dT-L – RT) = 59,4RT . Cette valeur est supérieure à d: la terre n'appartient
pas au cône d'ombre; il n'y a pas d'éclipse totale de soleil possible. Cette
situation ne correspond pas à celle du schéma n° 32; nous y reviendrons au
paragraphe suivant.
Les calculs précédents ont été fait avec les valeurs moyennes des distances dT-S
et dT-L . La relation (1) montre que d augmente (le cône d'ombre s'allonge) si (dT-S – dT-L)
augmente; de plus, l'écart entre d et (dT-L – RT) est relativement faible. On peut donc
imaginer que le cône d'ombre rencontre la terre pour des valeurs de (dT-S – dT-L) plus
grande. Pour vérifier cela, reprenons le calcul dans le cas limite où dT-S est maximum:
23846RT et dT-L minimum: 56,77RT . La relation (1) conduit à:
=0,2725 ;7
109 ;7−0,2725 ;7
⋅(23846 ;7−56,77 ;7) ≈ 59,62 ;7
.
Dans cette configuration, la distance du centre de la lune au plus près de la surface de
la terre est (dT-L – RT) = 55,77RT: distance nettement inférieure à d; une portion de
la surface terrestre appartient au cône d'ombre; une éclipse totale de soleil
est possible. C'est une situation correspondant au schéma n° 32.
Conclusion: nous sommes amenés à distinguer deux cas, suivant que le
sommet S du cône d'ombre est entre la lune et la terre ou à l'intérieur de la terre.
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schéma n° 33
#678'(*3
*
C'est une situation corres-
pondant au schéma n° 34 ci-
contre. Ce n'est pas cependant la
seule: le centre de la lune peut
être un peu au-dessus ou en des-
sous du pan de l'écliptique, il suf-
fit que la droite passant par les
centres du soleil et de la lune
rencontre la terre (voir schéma n°
35) mais alors le cône d'ombre -
ou plutôt ici son prolongement -
et le cône de pénombre délimitent à la surface de la terre des zones dont les géométries
sont assez complexe…
Que voit dans ces
conditions un observateur
terrestre? Imaginons
d'abord cet observateur sur
l'axe défini par les centres
du soleil et de la lune (cas
des schémas n° 34 et n° 37).
Nous avons déjà dit qu'il
nous est impossible
d'apprécier les distances des objets très éloignés: seul compte pour l’observateur
l'angle entre les droites passant par les bords de l'objet et l’œil. Cet angle est appelé
diamètre angulaire de l'objet. Ainsi un arbre de 10m de hauteur situé à 200m
paraîtra de la même hauteur qu'un arbre de 5m de hauteur situé à 100m de l'obser-
vateur (voit schéma n° 36
ci-dessus).
Remarque: dans la situation
du schéma n° 36, les deux
arbres ont le même diamètre
angulaire
. Le théorème de
Thalès conduit immédiatement
à:
!1
1
=!2
2
. Le lecteur fami-
liarisé avec la trigonométrie remarque d'emblée que le diamètre angulaire se calcule comme l’arc-
tangente du rapport hauteur sur distance à l'observateur. Sinon, on peut imaginer un cercle centré
sur l’œil de l'observateur de rayon d1. Cette distance étant a priori très grande devant la hauteur h1
puisque nous nous intéressons uniquement à des objets éloignés, ce cercle passe aussi par le sommet
de l'arbre et l'arc de cercle entre la base de l'arbre et son sommet vaut en très bonne approximation
la hauteur h1. Le périmètre du cercle vaut 2.
.d1 et correspond à un angle de 360°. L'arc de longueur
h1 correspond à l'angle
tel que:
α = 360⋅!1
2⋅π⋅1
=180⋅!1
π⋅1
=180⋅!2
π⋅!2
( angle mesuré en degrés )
.
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schéma n° 35
schéma n° 36
schéma n° 34
Revenons à la situation du schéma n° 34 dont nous donnons schéma n° 37 une
coupe par un plan perpendiculaire à l'écliptique contenant les centres du soleil et de la
lune. Dans le cas particulier où l'observateur serait au sommet S du cône d'ombre, le
soleil et la lune aurait même diamètre angulaire; la lune cacherait le soleil à
l'observateur; il y aurait éclipse totale de soleil.
Dans la
situation qui nous
occupe où
l'observateur est
derrière le cône
d'ombre, le
diamètre angulaire
de la lune est
inférieur à celui du
soleil: la lune est trop petite à cette distance de l'observateur pour occulter totalement
le soleil: on observe un disque noir correspondant à l'hémisphère non éclairée de la
lune entouré d'une couronne correspondant à l’hémisphère du soleil que la lune ne
cache pas: il y a éclipse annulaire du soleil (voir figure de droite du schéma n° 37).
Remarque: le diamètre angulaire de la lune est, exprimé en degrés:
α9=180⋅2⋅;9
π⋅9
. Ce diamètre
angulaire est inférieur à celui du soleil:
α =360⋅;
π⋅
. Plus la valeur
L se rapproche de la
valeur
S , plus l'observateur (noté Ob sur le schéma n° 37) se rapproche du point S, plus la partie
du soleil occultée par la lune est importante et plus il fait sombre sur la terre en plein jour.
Une éclipse annu-
laire est observable d'un
point (Ob) à la surface
de la terre lorsque le
sommet du cône d'ombre
est situé entre la lune et
la surface de la terre et
que le point d’observa-
tion est sur la droite pas-
sant par les centres du
soleil et de la lune.
Mais que voit cet ob-
servateur avant et après
l'éclipse annulaire? Le soleil et la lune tournent dans le même sens, la vitesse de
rotation de la lune étant un peu plus de douze fois plus grande. De la terre, on «voit»
donc la lune passer devant le soleil. Dans le repère géocentrique, la trajectoire du
centre de la lune est inclinée de l'angle i ( 5,15° environ) par rapport au plan de
l'écliptique, le sens est montant ou descendant suivant que la lune est proche du nœud
ascendant ou du nœud descendant. Cependant, dans ce même repère, l'observateur
terrestre tourne autour de l'axe des pôles nettement plus vite dans le même sens.
L'observateur terrestre voit donc l'ensemble soleil – lune se déplacer lentement vers
l'ouest en montant ou descendant par rapport à la ligne d'horizon selon l'heure, comme
le ferait le soleil en absence d'éclipse et en plus, la lune passe devant lui d'ouest en est
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schéma n° 37
schéma n° 38
selon une inclinaison par rapport à l'horizon très variable selon le lieu d'observation,
la saison et l'heure. Le schéma n° 38 ci-dessus reconstitue les principales étapes de
l'éclipse:
P1: situation juste après le début de l'éclipse partielle, c'est à dire juste après le
premier contact;
P2: fin de l'éclipse partielle et début de l'éclipse annulaire c'est à dire situation de
deuxième contact;
P3: maximum de l'éclipse annulaire (c'est à cet instant qu'il fait le plus sombre sur
terre au lieu d'observation);
P4: fin de l'éclipse annulaire et début de l'éclipse partiellec'est à dire situation de
troisième contact ;
P5: situation peu avant la fin de l'éclipse partielle, peu avant le quatrième
contact.
Remarque: les livres d'astronomie ainsi que de nombreux sites internet publient des photographies
d'éclipses totales; par exemple:
#http://xjubier.free.fr/site_pages/solar_eclipses/ASE_20130510_pg02.html
#678'(.'*.9
3*
C'est la situation
correspondant au
schéma n° 32: vus d'un
observateur terrestre, le
diamètre angulaire de la
lune est supérieur à
celui du soleil, la lune
peut occulter totalement
le soleil si l'observateur
est dans le cône
d'ombre: il y a alors
éclipse totale. Si
l'observateur est dans le
cône de pénombre, il y a éclipse partielle: la lune occulte une partie seulement du
soleil. C'est pour un observateur situé sur la ligne de centralité que l'éclipse totale est
la plus longue (pour des valeurs données de dT-S et dT-L ) puisque, au maximum de
l'éclipse, le centre de la lune et le centre du soleil sont alignés avec l'observateur. Pour
un observateur situé dans la zone d'ombre mais pas sur la ligne de centralité, la
trajectoire du centre de la lune apparaîtra un peu décalée vers le haut ou vers le bas et
l'éclipse totale sera plus courte. Pour un observateur situé dans la zone de pénombre,
le décalage est trop important pour que la lune puisse occulter totalement le soleil. Le
schéma n° 39 ci-dessus reconstitue les principales étapes de l'éclipsetotale dans le cas
où la trajectoire apparente du centre de la lune passe un peu au-dessus du centre du
soleil :
P1: situation juste après le début de l'éclipse partielle c'est à dire juste après le
premier contact;
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schéma n° 39
P2: situation juste avant le début de l'éclipse totale qui correspond au deuxième
contact;
P3: période d'éclipse totale, la terre est plongée dans l'obscurité; il est cependant
possible d'observer de la lumière émise par les couches de gaz très chaud entourant le
soleil; cette lumière peu intense n'est pas observable en absence d'éclipse à cause de
l'éblouissement produit alors par la lumière solaire. Cette période d'éclipse totale est
évidemment l'occasion pour les scientifiques d'étudier les propriétés de gaz entourant
le soleil;
P4: situation d'éclipse partielle juste après la fin de l'éclipse totale(juste après le
troisième contact);
P5: situation peu avant la fin de l'éclipse partielle qui correspond au quatrième
contact.
Remarque: les livres d'astronomie ainsi que de nombreux sites internet publient des photographies
d'éclipses totales; par exemple:
#http://xjubier.free.fr/site_pages/solar_eclipses/TSE_20080801_pg03.html
#:(
C'est une situation très rare puisqu'elle se produit environ tous les 160 ans : les
distances dT-S et dT-L sont telles à la nouvelle lune que la distance d du centre de la lune
au sommet du cône d'ombre est de très peu supérieure à la distance (dT-L – RT); pour
mieux comprendre, on peut revenir aux calculs accompagnant le schéma n° 33 puis au
schéma n° 32. Suivant le lieu d'observation sur la courbe de centralité, la distance du
centre de la lune à la surface de la terre varie puisque la terre est sphérique: pour
certains lieux, cette distance sera supérieure à d: on observera alors une
éclipse annulaire, pour d'autres lieux, cette distance sera inférieure ou égale
à d: on observera une éclipse totale. La dernière éclipse de ce type s'est produite
le 3 novembre 2013: on a observé une éclipse annulaire le matin au large de la Floride
et plus tard, une éclipse totale en Afrique. La prochaine se produira le 17 octobre
2172!
#;'(0'
Cette détermination doit être faite au cas par cas puisque le phénomène
d'éclipse de soleil est très sensible aux variations des distances dT-S et dT-L . De plus, dès
que le centres du soleil, de la lune et de la terre ne sont plus alignés, le cône d'ombre
délimite à la surface de la terre une zone dont la géométrie n'est pas simple.
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Néanmoins, pour donner un ordre de grandeur, on se limite au cas simple
évoqué en fin de paragraphe VI.2.2: les centres des trois astres sont alignés avec dT-S
=23846RT et dT-L = 56,77RT . On reprend schéma n° 40 le schéma n° 36 en rajoutant, à
la distance (dT-L – RT) la trace de la surface de la terre dans le plan de figure. Cette
trace est rigoureusement un cercle de rayon RT mais, puisque les rayons des zones
d'ombre et de pénombre sont a priori petits devant le rayon de la terre, l'arc de cercle
qui nous intéresse sur cette figure est assimilable à un segment perpendiculaire à la
droite passant par les centres des trois astres.
Le théorème de Thalès conduit à:
E
&I =−(7−9−;7)
; soit:
E
2⋅;9
=59,62 ;7−55,77 ;7
59,62;7
≈0,06457
.
Donc:
CD = 0,12915RL = 0,12915.0,2725.RT = 224,5km.
Conclusion: dans ce cas particulier, la zone d'ombre est un disque de rayon
112,25km.
Remarque: on constate que le diamètre de la zone d'ombre est très inférieur au rayon terrestre, ce
qui justifie l'approximation précédente.
Le théorème de Thalès conduit à:
&I
KL =M3 9
M3
; soit:
2⋅;9
2⋅;
=M39
7− −7−9−M3 9
=0,2725 ;7
109;7
.
Après simplification:
M39
23789,23 ;7−M39
=0,2725
109
; soit: 109,2725.KOL = 23789,23.0,2725.RT;
Finalement:
KOL = 59,3248RT .
Le théorème de Thalès conduit à:
N'
&I =M3 9+7−9−;7
M39
; ou:
N'
2⋅;9
=59,3248 ;7+55,77 ;7
59,3248 ;7
;
Soit:
HJ = 3,880.RL = 3,88.0,2725.RT = 1,057RT = 6743,7km.
Ce calcul conduit à une zone de pénombre de rayon extérieur égal à 3372km
environ; ce calcul n'est pas exact: la distance HJ est du même ordre que le rayon
terrestre; dans ces conditions, assimiler la surface de la terre à un plan est une
approximation très grossière. Pour être rigoureux, il faudrait rechercher l'intersection
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schéma n° 40
de la sphère terrestre avec le cône de sommet K et de demi-angle au sommet
^
OLKA
.
La distance du centre de la zone au bord de la zone d'ombre est certainement
supérieure à la valeur précédemment calculée de 3372km.
On peut faire un calcul analogue dans le cas d'une éclipse annulaire: le centre
du cône d'ombre étant alors entre la lune et la surface terrestre que l'on continue
localement à assimiler à un plan perpendiculaire à la droite passant par les centres
des trois astres. On adapte le schéma précédent n° 40 en adoptant les valeurs
moyennes utilisées au paragraphe VI.2.2: dT-S = 23455RT ; dT-L = 60,4RT; d = 58,63RT
(voir schéma ci-dessous n° 41).
Le théorème de Thalès appliqué aux triangles (SAB) et (SCD) conduit à:
E
&I =7−9−;7−
; soit:
E
2⋅;9
=59,4 ;7−58,63 ;7
58,63;7
≈0,0131
.
Donc:
CD = 0,0263.RL = 0,0263.0,2725.RT = 0,00716RT = 45,6km.
Conclusion: dans ce cas particulier, la zone d'observation de l'éclipse
annulaire est un disque de rayon égal à 22,8km.
Le théorème de Thalès conduit à:
&I
KL =M3 9
M3
; soit:
2⋅;9
2⋅;
=M39
7− −7−9−M3 9
=0,2725 ;7
109;7
.
Après simplification:
M39
23394,6 ;7−M39
=0,2725
109
; soit: 109,2725.KOL = 23394,6.0,2725.RT;
Finalement:
KOL = 58,3406RT .
Le théorème de Thalès conduit à:
N'
&I =M3 9+7−9−;7
M39
; ou:
N'
2⋅;9
=58,3406 ;7+59,4 ;7
58,3406 ;7
;
Soit:
HJ = 4,036.RL = 4,036.0,2725.RT = 1,1RT = 7015km.
On obtient une valeur très proche de celle obtenue au cas précédent. Les remarques
sur la validité du calculs sont les mêmes. La distance du centre de la zone au bord de
la zone d'ombre est certainement supérieure à la valeur calculée de 3507km.
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schéma n° 41
Conclusion: puisque la terre tourne sur elle-même autour de l'axe de ses pôles, la
zone de visibilité d'une éclipse totale ou annulaire balaie d'ouest en est une
bande centrée sur la courbe de centralité dont la largeur est au plus de
quelques centaines de kilomètres (beaucoup moins si le sommet du cône d'ombre
est très près de la surface de la terre). La bande où l'éclipse partielle est visible
est beaucoup plus large, en général plusieurs milliers de kilomètres.
Donnons un exemple: lors de l'éclipse annulaire du 3 octobre 2005, la zone de visibilité
a traversé l'Espagne du nord-ouest vers le sud-est avec une largeur de 180 km environ
tandis que la zone de visibilité de l'éclipse partielle avait une largeur d'environ
7600km.
Remarque: l'inclinaison de la trajectoire de la lune par rapport au plan de l'écliptique et l'obliquité
de l'axe des pôles font que, si les déplacements des zones d'ombre et de pénombre à la surface de la
terre se font d'ouest en est, ils s'accompagnent d'une variation de latitude, augmentation ou
diminution suivant la saison et le nœud au voisinage duquel se trouve la lune.
# .' '
Les raisonnements du paragraphe VI.1.5 à propos des éclipses de lune peuvent
largement être repris en remplaçant «pleine lune» par «nouvelle lune». Bien sûr, la
condition d’existence d'une éclipse de soleil: «longitudes écliptiques de la lune et du
soleil très proches» est nécessaire mais pas suffisante: sinon, on aurait une éclipse de
soleil à chaque nouvelle lune!
Pour qu'il y ait éclipse de soleil, les centres des trois astres doivent être
approximativement alignés, sinon les cônes d'ombre et de pénombre de la lune passent
au-dessus ou en dessous de la terre. Cet alignement n'est possible que si le centre de la
lune est très voisin d'un nœud à la pleine lune.
Conclusion: l'éclipse de soleil n'est possible que si les deux conditions
suivantes sont réunies simultanément:
9 ≈9et
{
9 ≈ Ω
ou
9 ≈ Ω+180"
.
Remarque: sur la sphère céleste, cela revient à dire que, lors d'une éclipse de soleil, les centres du
soleil et de la lune sont très voisins du même nœud. Pour une éclipse de lune, le centre du soleil est
très proche d'un nœud et le centre de la lune est proche de l'autre nœud.
Pour préciser un peu mieux les positions possibles de la lune au voisinage d'un
nœud qui conduisent à une éclipse de soleil à la pleine lune, nous allons envisager la
position limite où la lune est en conjonction avec le soleil (L = L') mais un peu au-
dessus du plan de l'écliptique de façon que la zone d'observation d'une éclipse
annulaire entre juste en contact avec la terre. Nous choisissons pour les calculs les
valeurs moyennes de dT-S et dT-L . Le plan de figure du schéma n° 42 est le plan
contenant les centres des trois astres qui est perpendiculaire au plan de l'écliptique.
Bien sûr, la figure n'est pas à l'échelle, les rayons des astres sont fortement exagérés
par rapports aux distances entre les astres. La droite tangente aux trois astres aux
points B, D et A est très peu inclinée par rapport au plan de l'écliptique: il est possible
de considérer les droites BOS , DOL et AO comme toutes trois perpendiculaires au plan
de l'écliptique et donc à l'axe passant par les centres du soleil et de la terre.
représente la latitude écliptique de la lune.
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Le théorème de Thalès conduit à:
J
IE =&J
&E
; soit:
J
; −;7
=7−9
7−
; d'où:
J
108 ;7
=60,4 ;7
23455 ;7
.
Finalement:
J =108⋅60,4 ;7
23455 =0,278 ;7
.
Remarque: le rayon de la lune ayant été fortement exagéré sur la figure, le centre de la lune
apparaît en dessous du point E alors qu'en réalité OL est situé entre D et E puisque la distance DE
calculée est supérieure au rayon de la lune.
Ainsi:
EOL = DE – DOL = 0,278RT – 0,2725RT = 0,00561RT .
Donc:
HOL = HE + EOL = 1,00561RT .
Le triangle (OHOL) étant rectangle, on peut calculer la tangente de la latitude
écliptique de la lune:
tan (λ) = N39
N3 =1,00561;7
60,4;7
=0,0166
; d'où: = 0,954° .
On peut aussi envisager le cas limite où la lune est «sous» le plan de
l'écliptique avec le cône de visibilité de l'éclipse annulaire tangent à la terre au
voisinage du pôle sud. Par raison de symétrie, on obtient une valeur opposé de la
latitude écliptique. Cela conduit à affirmer que, dans ces conditions particulières,
l'éclipse annulaire est possible si est compris entre -0,954° et +0,954°. Pour en
déduire une condition sur la longitude écliptique, on peut remarquer qu'au voisinage
immédiat d'un nœud, la variation de longitude écliptique est liée à la latitude
écliptique par la relation:
Δ = λ
tan()
avec l'inclinaison i = 5,15°.
Cela conduit à = 10,58°.
D'où la conclusion valable pour les valeurs moyennes de dT-S et dT-L :
l'éclipse de soleil annulaire est possible si les deux conditions sont vérifiées
simultanément:
9 ≈9et
{
9 (Ω−10,58 ") (Ω+10,58 ")
ou
9 (Ω+180 "−10,58 ") (Ω+180 "+10,58")
.
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schéma n° 42
Pour obtenir une condition sur l'existence d'une éclipse partielle, il suffit de rem-
placer le cône de visibilité par le cône de pénombre (voir schéma n° 43).
On a toujours: DE = 0,278RT . En revanche:
HOL = HE + ED + DOL = RT + 0,278RT + 0,2725RT = 1,55RT .
tan (λ) = N39
N3 =1,55 ;7
60,4 ;7
=0,0257
; soit: = 1,47°.
Δ = λ
tan()=16,32 "
.
D'où la conclusion valable pour les valeurs moyennes de dT-S et dT-L :
l'éclipse de soleil partielle est possible si les deux conditions sont vérifiées si-
multanément:
9 ≈9et
{
9 (Ω−16,32 ") (Ω+16,32")
ou
9 (Ω+180 "−16,32 ") (Ω+180"+16,32")
.
En comparant ces résultats à ceux obtenus pour les éclipses de lune au paragraphe
VI.1.5, on constate que les conditions pour les éclipses de soleil sont un peu moins
restrictives: les éclipses de soleil sont donc un peu plus fréquentes que les
éclipses de lune. Cependant les éclipses totales ou annulaires de soleil sont beaucoup
plus spectaculaires et surtout affectent une zone très réduite de la surface terrestre;
elles revêtent donc toujours un caractère exceptionnel. Par exemple, si on se limite aux
éclipses totales ou annulaires visibles sur une partie du territoire français
métropolitain, la dernière s'est produite le 11 août 1999 et la prochaine aura lieu le 5
novembre 2059!
#5$0(
On peut trouver au mot «durée» deux significations dans ce contexte: d'abord la durée de
visibilité de l'éclipse pour un observateur fixe en un point de la surface terrestre; mais aussi la
durée de la période pendant laquelle l'éclipse est visible en un point quelconque de la terre.
VI.2.8.a) Durée de visibilité pour un observateur fixe.
Dans le repère géocentrique, la terre tourne 27 fois plus vite sur elle-même que ne
tourne la lune autour de la terre et 365 fois plus vite que ne tourne le soleil autour de
la terre. Pour un calcul d'ordre de grandeur, on peut considérer la lune et le soleil
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schéma n° 43
comme pratiquement immobile dans le repère géocentrique; la durée de visibilité de
l'éclipse étant ainsi la durée mise par l'observateur pour traverser le cône d'ombre (cas
d'une éclipse totale) ou le cône de visibilité (cas d'une éclipse annulaire). Dans le cas
général, le calcul n'est pas simple pour de nombreuses raisons:
- si le centre de la lune n'est pas exactement confondu avec un nœud, la
géométrie de l'intersection du cône avec la terre n'est pas simple;
- si l'observateur n'est pas sur la ligne de centralité, il ne traverse pas la zone
d'observation dans sa plus grande largeur;
- la vitesse de l'observateur par rapport au repère géocentrique dépend
beaucoup de la latitude; si l'observateur est sur l'équateur, il parcourt 40000km en
24h; à la latitude de 45°, la longueur du parallèle n'est que de 28284km qui est aussi
parcourue en 24h…
Nous nous limitons au cas simple d'un observateur situé à l'intersection de
l'équateur avec la ligne de centralité. Quelle que soit l'orientation de l'axe des pôles,
donc quelle que soit la saison, l'observateur se déplace sur un diamètre de la zone de
visibilité à la vitesse de
40000
24 =1667 km/h
. Nous avons montré au paragraphe VI.2.6
que la zone de visibilité d'une éclipse totale est au maximum de 224,5km. La durée
maximale de visibilité d'une éclipse totale à l'équateur est donc:
Δ=224,5
1667 =0,1347 !=8,08
.
Pour les valeurs moyennes de dT-S et dT-L , dans les mêmes conditions d'observation que
précédemment, la zone de visibilité de l'éclipse annulaire est un disque de diamètre
45,6km, ce qui conduit à une durée d'observation à l'équateur:
Δ=45,6
1667 =0,02736 !=1 38
.
Plus généralement, on peut dire que la durée de visibilité diminue lorsque
l'observateur s'éloigne de la ligne de centralité et qu'elle est d'autant plus courte que le
sommet S du cône d'ombre est proche de la terre. Les durées sont donc
particulièrement courtes pour les éclipses hybrides. Ces durées sont en général de
quelques minutes, ce qui renforce évidemment le caractère exceptionnel de ces
éclipses déjà évoqué.
Pour les éclipses partielles, le raisonnement précédent conduit sur l'équateur, pour les
valeurs moyennes de dT-S et dT-L , à:
Δ=14030
1667 =8,418 !=8!25
.
Ce calcul est évidemment très grossier: la zone d'observation n'est pas assimilable à
un disque et il est impossible de considérer la lune et le soleil comme immobiles dans
le repère géocentrique sur une telle durée. Retenons néanmoins que la durée
d'observation de l'éclipse partielle est toujours très longue devant celle de
l'éclipse totale ou annulaire, elle est en général de quelques heures
Citons quelques exemples:
- éclipse totale du 11 août 1999 visible dans le nord de la France: la durée de
l'éclipse totale, au voisinage de la ligne de centralité a été d'environ 2min17s, celle de
l'éclipse partielle de 2h42min.
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- éclipse annulaire du 3 octobre 2005 visible en Espagne: au voisinage de la
ligne de centralité la durée de l'éclipse annulaire a été de 4min11s, celle de l'éclipse
totale de 2h43min.
- éclipse hybride du 3 novembre 2013 visible sous forme totale au Gabon: au
voisinage de la ligne de centralité la durée de l'éclipse totale a été de 1min7s, celle de
l'éclipse totale de 3h 2min.
VI.2.8.b) Durée de visibilité à la surface de la terre.
La durée de visibilité de l'éclipse totale ou annulaire est la durée pendant laquelle le
cône d'ombre (pour une éclipse totale) ou le cône de visibilité (pour une éclipse
annulaire) rencontre une zone quelconque de la terre. Pour avoir un ordre de grandeur
de cette durée nous nous plaçons dans le cas où dT-S et dT-L ont leurs valeurs moyennes.
Au maximum de l'éclipse, L = L' = (ou + 180°: cela ne change rien au
raisonnement). Nous supposons la durée à calculer suffisamment courte pour que la
distance du centre OL de la lune au plan de l’écliptique reste négligeable: les centres
des trois astres restent dans le plan de l'écliptique qui est le plan de la figure du
schéma n° 44.
Le début de l'éclipse annulaire correspond au cas limite où le cône de visibilité
est tangent à la terre à l'ouest. La longitude écliptique de la lune est alors L' = L-. On
peut remarquer que la figure est très proche de celle du schéma n° 42 après rotation de
90° autour de l'axe (OOS). Les calculs se mènent de la même façon et on obtient pour
la valeur obtenue précédemment pour : = 0,954°.
La fin de l'éclipse annulaire correspond à la disparition à l'est, c'est à dire au cas
limite où le cône de visibilité est tangent à la terre à l'est. Il s'agit de la situation symé-
trique de la précédente par rapport à l'axe (OOS); la longitude écliptique de la lune est
alors: L' = L + . La durée de visibilité à la surface de la terre est donc la durée néces-
saire à la lune pour que sa longitude écliptique augmente de 2 par rapport à celle du
soleil. Or la lune tourne de 360° par rapport au soleil en un mois synodique soit en
29,53jours. La durée de visibilité de l'éclipse annulaire est ainsi:
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schéma n° 44
Δ7=29,53⋅2⋅0,954
360 =0,156 , =3!45
.
Le raisonnement est analogue pour la durée de l'éclipse partielle: il suffit de
remplacer le cône de visibilité par le cône de pénombre conformément au schéma n°
45.
Les calculs se mènent comme dans la situation du schéma n° 43; on obtient
pour la valeur précédemment obtenue pour : = 1,47°. La durée de visibilité de
l'éclipse partielle est ainsi:
Δ7=29,53⋅2⋅1,47
360 =0,241 , =5!47
.
Quelques exemples pour juger de la pertinence des calculs:
- l'éclipse totale du 11 août 1999 a d'abord été visible au large de la côte est
des États-Unis et a cessé de l'être au large de la côte est de l'Inde; l'éclipse totale a été
visible pendant 3h6min et l'éclipse partielle pendant 5h14min;
- l'éclipse annulaire du 3 octobre 2005 a commencé à être visible au milieu
de l'océan atlantique et a cessé de l'être au milieu de l'océan indien; l'éclipse annulaire
a été visible pendant 3h41min et l'éclipse partielle pendant 5h53min;
- l'éclipse hybride du 3 novembre 2013 a commencé à être visible au large de
la Floride et a cessé de l'être à la corne de l'Afrique. La durée cumulée de visibilité de
l'éclipse annulaire et de l'éclipse totale a été de 3h23min, la durée de visibilité de
l'éclipse partielle a été de 5h23min.
#</*1
Nous avons montré que les conditions d'existence des éclipses de soleil sont
analogues à celles d'obtention des éclipses de lune: il suffit juste de remplacer «pleine
lune» par «nouvelle lune». Or, la durée entre deux nouvelles lunes consécutives est
égale à la durée entre deux pleines lunes consécutives: un mois synodique. Les
résultats concernant la périodicité des éclipses de soleil sont donc identiques à ceux
concernant les éclipses de lune et les propriétés du saros s'appliquent aussi aux
éclipses de soleil. Pour des raisons déjà expliquées, les éclipses de soleil sont un peu
plus fréquentes: par saros, on dénombre en moyenne 28 éclipses de soleil annulaires
ou totales et 15 éclipses partielles de soleil alors que l'on comte en moyenne 13 éclipses
totales de lune et 15 éclipses partielles de lune.
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