Positions du soleil et de la lune par rapport à la terre
L'idée de ce document m'est venue lorsqu'un ami a construit
un planétaire reproduisant les mouvements du soleil et de la lune par
rapport à la terre. Les principaux termes
utilisées pour définir l'heure, caractériser les positions des astres
dans le ciel, construire un calendrier et
comprendre le phénomène d'éclipses sont définis
: écliptique, obliquité, précession,
nutation, jour stellaire, jour sidéral, jour solaire, année sidérale,
année tropique, équation du temps, mois lunaire, éclipses
de lune, éclipses de soleil, calendriers
de type solaire, lunaire ou luni-solaire, libration,
marées … Puisque ce planétaire est animé
par une horloge mécanique de précision, une annexe sur le principe des
balanciers compensés en température a été ajouté (annexe n° 6). J'ai
essayé de rendre cet exposé abordable
à tout esprit curieux,
même peu féru de mathématique et de physique. Les lecteurs soucieux
d'approfondir leurs connaissances trouverons des références de
sites internet et des renvois sous forme
d'annexes en fin de
document, plus complets et plus précis. Les données astronomiques
utilisée sont le plus souvent celles
publiées par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des
Éphémérides (I.M.C.C.E.) ; elle sont disponibles sur internet à
l'adresse suivante : http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/. J'ai également utilisé
certaines données figurant dans le livre de Jean MEEUS :
« Calculs Astronomiques à l'usage des amateurs » ; ce
livre est publié par la Société Astronomique de France. Les
valeurs précises d'un certain nombre de constantes ont été obtenues sur un site de l'Observatoire de Paris à
l'adresse suivante :
http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants_fr.html.
Des précisions et des
photographies sur le planétaire évoqué plus
haut sont disponibles à l'adresse suivante :http://emmanuel-bouquet.fr/
Toute critique
constructive et toute question seront les bienvenues à l'adresse mél
suivante : vanoise49@hotmail.com
Table des matières
Pour
comprendre l'importance de cette question, partons d'une situation
simple facile à imaginer : un
cycliste roule à vitesse constante en ligne droite et
intéressons-nous au mouvement d'un point à
la périphérie d'une roue (point au plus près de la valve par
exemple). Quel est le mouvement de ce point ? Deux (au moins)
points de vue sont possibles.
Première
description : celle du cycliste regardant sa roue : le
point est animé d'un mouvement circulaire à vitesse constante autour
de l'axe de la roue. Ce mouvement est alors décrit par rapport
à un solide de référence : ici le cadre du vélo. Ce solide de
référence est appelé « référentiel du mouvement ».
Remarque : se
pencher pour regarder la roue n'est pas très commode ; on
peut aussi se demander ce qu'enregistrerait une webcam fixée au vélo par
une perche de façon à rester dans l'axe de
la roue...
Deuxième
description : celle faite par un spectateur immobile par
rapport à la terre, regardant le cycliste passer. Le référentiel est
cette fois-ci la terre. Le mouvement est alors beaucoup plus
complexe : la trajectoire est une courbe appelée cycloïde. La
figure du schéma n° 1 représente les positions successives tous les
centièmes de seconde d'un point à la périphérie d'une roue de 0,70m
de rayon lorsque le vélo se déplace par rapport à la terre à la
vitesse de 36km/h (10m/s).
Remarque :
cette fois-ci, la webcam serait fixée au bord de la route et filmerait
la roue passant devant elle...
Cet exemple montre
clairement que, selon que l'on choisit un référentiel ou un autre, la
description du mouvement peut être
radicalement différente.
C'est le point de vue
qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…) placé au centre du
soleil face à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée
comme fixe. Pour faciliter la description ultérieure des mouvement des
planètes, on associe au référentiel héliocentrique un repère dit
« repère héliocentrique ». L'origine de ce repère est le
centre du soleil, ses trois
axes pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes.
Remarque :
si cette idée « d'étoiles suffisamment éloignées pour être
considérées comme fixes » vous intrigue, imaginez la situation
simple suivante : vous êtes au bord de la mer et regardez un
bateau à l'horizon. Le bateau semble immobile et pourtant il se
déplace à la surface de l'eau à une vitesse de quelques dizaines de
kilomètres par heure. Alors bien sûr : les étoiles se déplacent
par rapport au système solaire à des vitesses bien supérieures à celle du bateau mais elles
sont tellement plus éloignées : au moins quarante mille milliards
de kilomètres soit au moins 267000 fois la
distance moyenne terre-soleil !
Le mouvement des principales
planètes du système solaire dans ce
référentiel a été
bien décrit par Képler au début du XVIIième siècle puis étudié théoriquement par Newton à la fin du
même siècle. Le centre de chaque planète
décrit un mouvement plan, tous ces plans ayant un point commun :
le centre du soleil. Le plan particulier contenant le centre du soleil
et la trajectoire de la terre est appelé « plan
de l'écliptique ». En réalité, les plans des trajectoires des autres
planètes sont très peu inclinés par rapport au plan de l'écliptique
(au maximum 7° pour Mercure ; 1,8° pour
Mars). Les trajectoires sont des ellipses de
très faibles excentricités admettant le centre du soleil comme foyer.
Dans ces conditions, on considère souvent, de
façon un peu simplifiée, que tous les centres des planètes décrivent
des cercles concentriques et
coplanaires autour du centre du soleil de
rayons différents. On appelle « année
sidérale » pour une planète la période
du mouvement de son centre, c'est à dire la durée nécessaire pour
effectuer un tour complet, la mesure étant
effectuée dans ce repère héliocentrique.
Ainsi une année sidérale terrestre vaut 365,256363004
jours alors qu'une année sidérale de mars vaut environ 687
jours.
Remarque
1 : des animations du système solaire ainsi que des informations
complémentaires sont disponibles sur le site du CNES : http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7626-le-systeme-solaire-en-version-interactive.php
Remarque 2 : pour plus de précisions sur les ellipses
et leurs excentricités : voir annexe
n°1.
On voit que le référentiel héliocentrique serait bien
adapté à un planétaire présentant les mouvements des différentes
planètes mais les mouvements des satellites de ces planètes
seraient difficiles à
reproduire
mécaniquement
(cas de la lune par exemple)
…
C'est
le point de vue qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…)
placé au centre de la terre face
à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme fixe.
Comme
pour le référentiel héliocentrique, on
associe à ce référentiel un « repère géocentrique » dont
l'origine est le centre de la terre et dont les trois axes pointent
vers trois étoiles fixes. Ainsi le repère géocentrique et le référentiel héliocentrique tournent l'un par
rapport à l'autre, les différents axes
gardant des directions fixes. Un
mathématicien dirait que les deux repères sont en translation
elliptique l'un par rapport à l'autre…
Pour un observateur géocentrique, c'est bien sûr
le soleil qui tourne autour de la terre ! Dans
le repère géocentrique, le centre S du soleil décrit dans le plan de
l'écliptique une ellipse de faible excentricité identique à celle
obtenue dans le repère héliocentrique. La durée d'un tour est la
même : une année sidérale.
En revanche les trajectoires des
centres des autres planètes dans le repère géocentrique sont assez
complexes. Le schéma n° 3 représente dans le repère
héliocentrique les trajectoires des centres de la terre (en bleu) et de
mars (en rouge) sur une durée d'une année sidérale de la planète mars à
partir du 1 janvier 2015. Le schéma n° 4 représente dans le repère
géocentrique les trajectoires des centres du soleil (en bleu) et de mars
(en rouge) sur la même durée. Les axes sont gradués en unités
astronomique (une unité astronomique représente environ 150 millions de
kilomètres). La figure de gauche illustre les propos tenus précédemment
sur la vision héliocentrique des planètes. La figure de droite montre la
trajectoire quasi circulaire du soleil mais aussi la complexité de la
trajectoire de mars : celle-ci n'est pas fermée, on ne peut plus
parler de mouvement périodique. On observe en mai-juin 2016 un phénomène
curieux : au lieu de tourner régulièrement dans le même sens que le
soleil, mars semble repartir en arrière tout en se rapprochant fortement
de la terre pour reprendre ensuite une trajectoire régulière : on
parle de « rétrogradation » de mars.
Dans ces conditions, réaliser
un planétaire représentant les différentes planètes et le soleil du
point de vue géocentrique serait tout à fait impossible. Cependant, le
planétaire cherche à visualiser les positions relatives de trois
astres seulement : la terre, le soleil et la lune. Nous venons
de le voir : le mouvement du soleil dans le repère géocentrique
est simple ; nous le verrons bientôt : le mouvement de la
lune est un peu plus compliqué à simuler dans le repère géocentrique
mais beaucoup moins qu'il ne le serait dans le repère héliocentrique.
La conclusion s'impose : le planétaire adopte le point de vue
géocentrique.
Dans
ce repère géocentrique, le centre de la terre est fixe mais la terre
n'est pas immobile pour autant :
elle
tourne sur elle-même autour de l'axe de ses pôles à raison d'un tour
par jour s
tellaire
.
Un
jour stellaire a pour durée : 23h56min4,1s. Nous verrons
bientôt l'explication de la différence entre le jour stellaire
et le jour de 24h. Au cours du temps, l'axe des pôles garde
une direction inclinée d'un angle
ε
= 23°26' par rapport à la perpendiculaire au
plan de l'écliptique.
de
l'écliptique.
Remarque 1 : de nombreux sites proposent des
animations réussies des mouvements de mars, de la terre et du soleil dans
les référentiels héliocentrique et géocentrique ; par
exemple :
http://www.jf-noblet.fr/mouve2/planetes.htm
Remarque 2 : le fait que la
direction de l'axe des pôles reste pratiquement
fixe sur une année est responsable du
phénomène des saisons.
Le très lent mouvement de cet axe sera décrit
dans la partie II. Pour plus de précisions on peut
consulter le site suivant :
http://philippe.boeuf.pagesperso-orange.fr/robert/astronomie/saisons.htm
Remarque
3 : on confond souvent jour stellaire et jour sidéral ;
il est vrai que la différence entre leurs durées n'est que de 8,37 millièmes de seconde !
Nous expliquerons cela dans la partie IV.
C'est le point de vue
le plus familier : celui d'un observateur (bien réel celui-là ! )
immobile à la surface de la terre et regardant le ciel. Compte tenu de
la rotation de la terre autour de l'axe des pôles et d'une obliquité
non nulle, les
mouvements de la
lune et du soleil dans ce référentiel sont extrêmement compliqués : pas question de construire
un planétaire dans ce référentiel. Cependant, pour des raisons autant
historiques que pratiques, l'heure est
définie à partir du mouvement du soleil dans ce référentiel et le planétaire
doit aussi faire
office d'horloge ; la différence entre les durées sidérales
(mesures dans le
repère géocentrique) et les durées terrestres (mesures dans un repère
terrestre) est source de bien des difficultés théoriques
et de bien des engrenages dans un
planétaire ! C'est
ce que nous allons voir dans la suite !
Remarque : l'annexe n° 4 apporte quelques précisions
sur les choix des engrenages à utiliser.
Remarque
1 : la position du point vernal étant connu, la position sur la
sphère céleste d'un astre quelconque M peut se repérer par deux
mesures d'angles appelées coordonnées
équatoriales de M : l'angle
α appelée ascension
droite et l'angle δ
appelé déclinaison. (voir schéma
n° 6)
Remarque 2 : la
direction de l'axe des pôles n'est en réalité pas tout à fait fixe dans
le repère géocentrique. Par effet gyroscopique, un
peu comme l'axe d'une toupie en rotation, l'axe des pôles (OP) tourne
autour de la perpendiculaire (ON) à l'écliptique en gardant avec elle
l'angle ε fixe.
Ce mouvement est une précession. Sur la sphère céleste, le point P tourne autour du
point N à vitesse constante, dans le sens rétrograde ( sens inverse au
sens de déplacement du soleil sur l'écliptique ) effectuant un tour en
un peu moins de 26000 ans. Ce mouvement est donc très lent mais il a
néanmoins des conséquences pratiques, on parle de précession
des équinoxes. Le plan de l'équateur restant
constamment perpendiculaire à (OP), son orientation par rapport à
l'écliptique se modifie, entraînant un lent mouvement de rotation du
point vernal dans le sens rétrograde : 50'' par an environ (voir
schéma n° 7 ).
Remarque
3 : la théorie de l'effet gyroscopique est étudiée en 2ième ou
3ième année
d'études scientifiques après le baccalauréat. Nous ne l'abordons pas ici. Une
étude théorique et une animation sont proposées à l'adresse
suivante :
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/gyroscope/theorie_gyroscope.htm
Remarque 4 : en réalité, l'obliquité
ε n'est pas tout à fait fixe. Cette
valeur oscille autour de la valeur moyenne ( 23°26') avec une amplitude
extrêmement faible (17,2'') et une période de
18,6 ans. Ce phénomène appelé nutation est négligé tant dans cette étude que lors de la
construction de planétaire.
* définir une unité
de temps par référence à un phénomène périodique ;
* choisir un instant
particulier auquel on attribue arbitrairement une date.
Comme le montre la diversité des système de calendriers à
travers le monde, de nombreux choix sont possibles. Nous nous limitons
au système utilisé en France.
Pour des raisons
historiques et pratiques, le phénomène retenu est le mouvement du soleil par rapport à la
terre.
Pour repérer la
position locale du soleil, il faut commencer par définir un système de
coordonnées locales adapté : le
système de coordonnées horizontales. Soit un point d'observation (noté Ob) à la surface de la
terre. La verticale du lieu rencontre la sphère céleste en un point
nommé zénith. Le plan horizontal passant par
le point Ob est le plan de l'horizon céleste. Vue
du point Ob, la position du centre du soleil peut être définie par
deux angles :
* la hauteur h sur
l'horizon : angle entre le plan de l'horizon et la droite passant
par Ob et le centre du soleil ;
ainsi h=90° correspond au soleil au zénith,
h = 0° correspond au
soleil à l'horizon ;
* l'azimut A est l'angle entre le
plan vertical contenant le centre du soleil et le point Ob et la
direction du nord géographique. Ainsi l'est géographique correspond à
A = 90°, le sud géographique à A = 180°… (voir
schéma n° 8).
L +
h - δ = 90° ou : δ = L + h – 90
Par convention, il est
midi solaire en un point de la terre lorsque le soleil y
culmine, c'est à dire
est le plus haut sur
l'horizon le jour considéré. Le soleil
indique alors le sud géographique, son azimut vaut 180°.
Il est donc midi solaire au même instant pour tous les points d'un
même méridien. La date dépend donc de la longitude du lieu, d'où la
nécessité de choisir un méridien de référence : par convention
celui passant par l'observatoire de Greenwich près de Londres. Par convention, un jour solaire
représente la durée entre deux culminations successives du soleil en
un même lieu à la surface de la terre.
On dit fréquemment en France que le temps légal a
une heure d'avance sur le soleil (sauf
l'été où cette avance est de 2h), autrement
dit, qu'il est midi solaire à 13h légale (ou
14h l'été) . Est-ce rigoureusement
exact ? Pour répondre à la question, un
observateur placé sur le méridien de Greenwich peut
photographier le soleil à « midi
solaire » un grand nombre de jours de
l'année et superposer les photos.
Remarque
: midi solaire à Greenwich correspond à 12h
l'hiver et à 13h
l'été car les
Anglais , sauf l'été, « marchent
à l'heure solaire anglaise »
et les Français à l'heure solaire allemande...) De nombreux sites
internet publie le résultat
; par exemple : http://www.astrosurf.com/luxorion/analemme.htm.
Quelques commentaires sur cette
photographie :
* La hauteur du soleil sur l'horizon varie fortement suivant
la saison ; cela s'explique par l'inclinaison de l'axe des pôles par
rapport au plan de l'écliptique. La hauteur est maximale au solstice
d'été (aux environs du 21 juin) et minimale au solstice d'hiver (aux
environs du 21 décembre).
* Sur la photo, la direction sud est
matérialisée par l'antenne de télévision. Si le jour solaire avait une
durée fixe de 24h, le soleil serait toujours au sud à 12h pour un
observateur situé sur le méridien de Greenwich. Sur la photo toutes
les images du soleil seraient alignées sur une verticale. La durée du jour solaire varie donc en fonction de la
saison. Cependant, des mesures sur de longues
périodes (plusieurs dizaines d'années) ont montré que la valeur
moyenne de cette durée est stable. Cela permet de définir les unités
de durée :
Par convention, la durée
moyenne du jour solaire vaut 24h soit 24x60=1440min soit
1440x60=86400s
.
Précision : la courbe du schéma n° 10 représente les différences
entre les durées de chacun des 365 jours
solaires de l'année 2015 et 24h. Les écarts restent toujours
faibles : un rallongement maximum d'environ 30s au
début de l'hiver et un raccourcissement maximum d'environ 22s
au début de l'automne. Cependant les écarts se
cumulent au fil des jours et l'écart entre 12h (heure d'hiver à
Greenwich) et midi solaire vrai (toujours à Greenwich) peut prendre des
valeurs nettement plus importantes. Ainsi le soleil est en avance
d'environ 16,5min sur le temps moyen début novembre (position à
droite de l’antenne sur la photo) et en retard d'environ 14min vers le
11 février (position à gauche de l'antenne sur la photo). La photo
n’étant pas très précise, nous reproduisons ci-dessous l'ensemble des
positions successives du centre du soleil sur la sphère céleste, vue
d'un observateur situé à Greenwich à midi solaire moyen soit 12h (ou 13h
l'été), au cours de l'année 2015. L'ensemble des positions successives
forme une courbe appelée analemme. La courbe du schéma n° 11 représente l'analemme telle
qu'elle peut être déterminée expérimentalement : mesures des
azimuts (en degrés) portées sur l'axe horizontal, mesures des hauteurs
(en degrés) portées sur l'axe vertical. La courbe de droite correspond
aux mêmes mesures mais les grandeurs portées sur les axes dont
modifiées :
* Pour rendre l'analemme indépendant de
la latitude, on porte sur l'axe vertical les déclinaisons en utilisant
la formule déjà démontrée : δ = L + h – 90 . Sachant que la
latitude de l'observatoire de Greenwich est : L = 51,477°, on obtient : δ =h – 38,523°.
* On sait que la terre tourne d'un tour, soit 360°, par
rapport au soleil en environ 24h soit 1440min (à une demie minute près
suivant les jours…) ;
elle tourne donc par rapport au soleil d'un degré
toutes les 4min. En multipliant par 4min les différences entre les
azimuts mesurés
en degrés
et 180° , nous obtenons les écarts entre l'heure
solaire vraie et l'heure solaire moyenne. Ainsi, un azimut de
179° à 1
2
h
(heure d'hiver)
, signifie que midi solaire correspond à
12h4min plutôt qu'à midi solaire moyen (12h) ; un
azimut de 182° à 1
2
h correspond à midi solaire obtenu à
11h52min…
*
On sait que la terre tourne d'un tour, soit 360°, par rapport au
soleil en environ 24h soit 1440min (à une demie minute près suivant
les jours…) ;
elle
tourne donc par rapport au soleil d'un degré toutes les 4min. En
multipliant par 4min les différences entre les azimuts mesurés
en
degrés
et 180° , nous obtenons les écarts entre l'heure
solaire vraie et l'heure solaire moyenne. Ainsi, un azimut de
179° à 1
2
h
(heure d'hiver)
, signifie que midi solaire correspond à
12h4min plutôt qu'à midi solaire moyen (12h) ; un
azimut de 182° à 1
2
h correspond à midi solaire obtenu à
11h52min…
Remarque 1 : cette différence entre
l'heure solaire vraie
et l'heure solaire moyenne
est appelée « équation du temps » ; elle
peut être déduite du schéma n°12. Elle est
l'objet de l'annexe
n°
3. On pourra aussi consulter le
site : http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html
Remarque 2 : par la suite, le mot « jour »
,sans autre précision, désignera toujours le jour solaire moyen soit 24h.
Les
variations de durée du jour solaire ont deux causes qui seront
détaillées en annexe n° 3 :
* une première cause connue depuis l'antiquité :
l'angle non nul entre le plan de l'équateur et le plan de
l'écliptique ;
* une seconde connue depuis les
observations de Képler : la trajectoire elliptique plutôt que
circulaire du soleil dans le repère géocentrique. L'existence d'une
excentricité non nulle implique de faibles variations de vitesse
angulaire du soleil dans son mouvement sur l'écliptique.
Si ces deux causes
n'existaient pas, le jour solaire vrai aurait une durée fixe au
cours de l'année égale à sa valeur moyenne : 24h. Pour étudier
la relation entre jour stellaire et jour solaire moyen, nous allons
donc nous placer dans la situation fictive simple suivante en raisonnant dans le repère
géocentrique : l'écliptique et l'équateur solaire sont deux cercles
confondus (obliquité nulle). Sur ce cercle, le centre du soleil
fictif (noté Sf) tourne à vitesse constante à raison d'un tour par
année sidérale (Ast = 365,256363004
jours). Nous avons montré que l'heure dépend
de la longitude mais pas de la latitude. Nous allons donc nous
intéresser à l'heure en un point de la surface de la terre situé sur
l'équateur (noté M). Dans le repère géocentrique, ce point tourne à
la vitesse d'un tour par jour stellaire. Montrons simplement qu'un jour stellaire
correspond à un peu moins de 24h.
Sur le schéma n° 13, le plan de figure est le plan de
l'équateur. O désigne le centre de la
terre, M1 désigne le projeté de M sur
l'équateur céleste. La figure de gauche représente la situation à midi
solaire, un jour J quelconque : M1 et Sf sont deux points
confondus. La figure centrale représente la situation un jour stellaire plus tard. M1 a
effectué exactement un tour et occupe exactement la même position que
sur la figure de gauche. Est-il midi solaire pour autant ?
Non ! En effet, pendant que M1 tournait, le point Sf tournait
aussi d'un petit angle (noté α) que nous pouvons calculer. Sachant que Sf tourne de un tour (360°) en une année
sidérale soit 24x365,256363=8766,152712heures,
en un jour stellaire
soit 23,934472heures,
il tourne de :
Au bout d'un jour sidéral, le
point M1 n'a pas tout à fait rattrapé le soleil fictif Sf. Pour
obtenir midi solaire au
jour (J+1), le point M1 doit tourner d'un angle supplémentaire noté , angle
un peu supérieur à puisque
le soleil continue à tourner pendant que M1 tourne de l'angle . Conclusion :
le jour solaire moyen (24h) est donc un peu
plus long que le jour stellaire.
La durée d'un jour stellaire
est donc un peu inférieure à 24h.
Remarque 1: il
existe une relation entre As, la durée de l'année sidérale, Jst
la durée d'un jour stellaire et Jm la durée du
jour solaire moyen.
Dans le repère géocentrique, si
As est mesurée en heures, la vitesse angulaire de Sf, mesurée
en tour par heure est :
Dans ce même repère, la vitesse angulaire de M1,
mesurée en tour par heure est :
La vitesse angulaire de M1 par rapport à Sf ,
fixée arbitrairement à 1/Jm tour par heure est aussi :
On obtient donc par identification :
Soit encore :
On retrouve bien la valeur mesurée admise
actuellement : 23h56min4,1s. Le jour stellaire est donc plus court que le jour solaire
moyen d'environ 4min .
Remarque 2 : pour ceux
que la notion de vitesse angulaire relative rebute, il existe une
méthode plus simple, quoique un peu moins précise d'obtenir la valeur
de Js. Reprenons le raisonnement accompagnant le schéma n° 13.
L'angle est très
faible et le soleil fictif Sf tourne beaucoup plus lentement que le
point M1 (365 fois moins vite environ). Pendant que M1 tourne de l'angle
, Sf tourne d'un
angle tout à fait négligeable (moins de
1/365 degré). On peut donc considérer les
angles et comme pratiquement égaux. On peut ainsi considérer la
différence (Jm – Jst) comme la durée que met M1 à tourner de l'angle . M1
tournant de 360° en un jour stellaire, on obtient :
Cette valeur correspond à
Jst=23h56min4,7s.
La méthode approchée introduit une erreur de seulement 6 dixièmes de
seconde. En pratique, si on ne désire pas une précision meilleure que
la seconde par jour, on pourra utiliser cette méthode approchée.
Pourrait-on
définir l'année civile à partir de l'année sidérale ? Puisque l'année civile doit nécessairement correspondre
à un nombre entier de jours de 24h, il
faudrait pour cela, introduire
judicieusement des années bissextiles de façon que la valeur moyenne
de l'année civile soit la plus proche possible de l'année sidérale.
Dans ce cas, le soleil retrouverait tous les ans à
dates fixes exactement à même position par
rapport aux étoiles ; cela conviendrait aux astrologues mais
présenterait un grave inconvénient pratique.
Considérons le schéma
n° 14 ci-dessous où le plan de figure est celui de l'écliptique, le
repère étant géocentrique (O : centre de la terre ; axe OX
orienté vers une étoile fixe).
La
situation de gauche correspond à l'équinoxe de printemps d'une année
quelconque A (date t) : Le centre S du soleil et le point vernal
sont
confondus. Une année sidérale plus tard, on obtient la situation de la
figure de droite : le point S a retrouvé la même position qu'à la
date t. Sommes-nous à l'équinoxe de
printemps pour autant ? Non ! Pendant que S tourne sur
l'écliptique en sens direct, le phénomène de précession provoque une
lente rotation du point
en sens inverse. S rencontre un peu plus tôt : la durée entre deux équinoxes de printemps successives est
donc un peu inférieure à une année sidérale.
Conséquence : si
le calendrier était basée sur l'année sidérale, le début de chaque
saison n'aurait pas lieu à date fixe. Cela serait très incommode
sachant à quel point le rythme des saisons influence nos modes de vie
(agriculture, loisirs, tourisme, vacances…). Pour régler le problème,
on définit l'année tropique vernale
comme la durée
séparant deux passages consécutifs du centre du soleil au point
vernal. Sur le
schéma n° 14, a désigne l'angle dont tourne en une année tropique vernale
et b désigne l'angle dont tourne en une année sidérale. L'écart
de durée entre les deux durées est très faible
et tourne très lentement : on peut confondre les deux
angles avec une excellente approximation. Notons T la différence de
durées entre une année sidérale et une année tropique vernale. T est
la durée nécessaire à S pour tourner de
l'angle b.
Avant tout calcul, quelques questions se
posent : pourquoi privilégier le début du printemps ?
Arriverait-on à la même durée de l'année tropique en raisonnant (par
exemple) sur le solstice d'été ? Reprenons
brièvement le raisonnement précédent en l'appliquant non plus au point
mais
à un point G de l'écliptique constamment décalé de 90° dans le sens
direct. G tourne donc à la même vitesse que
en
sens rétrograde.
Par
analogie avec le cas précédent, on définit l'année tropique de
solstice comme la durée entre deux passages consécutifs de S au point
G. La différence T'
entre l'année sidérale et l'année tropique de solstice est la durée
nécessaire à S pour tourner de l'angle b. Pour affirmer : T = T' , l'angle b ayant même valeur dans les deux cas, il
faudrait s'assurer que le soleil tourne à la même vitesse à l'équinoxe
de printemps et au solstice d'été. Or, nous l'avons déjà évoqué :
l'existence d'une excentricité non nulle de la trajectoire du soleil implique
de faibles variations de sa vitesse
dans son mouvement sur l'écliptique. Nous avons donc T différent de
T'. L'écart
est de l'ordre du millier de seconde.
Pour
tourner la difficulté, nous définissons l'année
tropique moyenne comme la durée qui séparerait deux passages
consécutifs au point d'un
soleil fictif tournant sur l'écliptique à vitesse constante d'un tour
par année sidérale.
Les mesures
astronomiques récentes précises donnent :
durée
de l'année sidérale : As = 365,256363004 jours
durée
moyenne de l'année tropique : At = 365,242190402 jours.
L'écart entre les
deux durées est :
T = 0,014172602 jours = 24.60.0,014172602 = 20,408546880 min.
Remarque
1 : cet écart d'un peu plus de 20min par
an peut paraître faible. En réalité les cumuls de ces retards sur de
nombreuses années auraient des effets bien concrets. Si
l'année civile était ajustée sur l'année sidérale, la date de chaque
début de saison avancerait d'un jour tous les 71ans environ, d'un mois
tous les deux millénaires environ : en 2014, l'été aurait
commencé le 23mai et non le 21 juin !
Remarque 2 : des valeurs précédentes, il est possible de
déduire la vitesse de rotation du point . Le raisonnement est très
analogue à celui déjà fait à propos de la différence entre jour
stellaire et jour solaire moyen. Dans le
repère géocentrique, la vitesse angulaire de S, mesurée en tour par jour est :
Dans ce même repère,
la vitesse angulaire de , mesurée en tour
par jour est :
où
A représente
la durée d'un tour de sur
l'écliptique.
La vitesse angulaire
de S par rapport à
, mesurée en tour par jour est :
Cette vitesse
angulaire peut aussi s'écrire :
Attention
au signe « + » : cette fois-ci, les points tournent en
sens inverses. Par identification :
Soit encore :
Application
numérique :
Remarque 3 : la durée de
l'année sidérale, de peu d'importance pratique, est néanmoins très
importante pour les astronomes ; par exemple : c'est de sa
valeur que l'application des lois de Newton permet de déduire la
masse du soleil.
La définition de
l'année civile est soumise à deux contraintes :
* pour des raisons
pratiques, l'année civile doit posséder un nombre entier de jours
solaires moyens.
* sa durée
moyenne doit être la plus proche possible de la durée
de l'année tropique pour éviter le décalage des saisons.
Dès 46
avant notre ère, sur les conseils des astronomes de l'époque, Jules
César imposa le calendrier qui porte son nom : le
calendrier julien. Chaque année civile comporte 365 jours
sauf les années multiples de 4 qui en comportent 366. L'année civile
moyenne dure ainsi 365,25 jours. L'année tropique est un peu plus
courte : l'écart de durée peut paraître
faible (un peu plus de 11min par an) mais les cumuls à long terme ne
sont pas négligeables ; avec ce calendrier le début de chaque
saison avance d'un jour tous les 128 ans.
Ainsi,
en 1582 de notre ère, l'équinoxe de printemps correspondait au
11mars au lieu du 21 mars. Le pape de l'époque (Grégoire XIII)
imposa une réforme du calendrier en deux points, créant ainsi le calendrier grégorien :
1. Suppression
de 10 jours du calendrier : les gens sont passés directement
du jeudi 4 octobre 1582 minuit au vendredi 15 octobre 1582 0heure.
2. Modification de la fréquence des années
bissextiles : les années multiples de 4 restent
bissextiles sauf si elles sont aussi multiples de 100 ; les
années multiples de 100 ne restent bissextiles que si le nombre de
siècle est aussi multiple de 4. L'année 1900 n'était pas
bissextile car 19 n'est pas divisible par 4 ; l'année 2000 était
bissextile : 20 est divisible par 4. Ainsi,
sur un cycle de 400ans, nous avons 97 années bissextiles au lieu de
100 dans le calendrier julien. La durée moyenne de l'année
grégorienne est :
L'écart de durée
avec l'année tropique n'est plus que de 26,75secondes. Le décalage des
saisons induit par cet écart n'est plus que de 1 jour tous les 3230 ans.
Le calendrier grégorien est toujours en vigueur.
Le
jour stellaire a déjà été défini comme la période de rotation de la
terre autour de l'axe de ses pôles, la
mesure étant effectuée dans le repère géocentrique ; c'est donc
la durée séparant deux intersections consécutives d'un même
méridien avec un axe orienté vers une étoile suffisamment éloignée
pour être considérée comme fixe. Le jour sidéral est la durée
séparant deux intersections consécutives d'un même méridien avec le
point vernal.
Imaginons une date t
où le projeté M1
sur la sphère céleste d'un point de l'équateur coïncide avec le point
vernal . Pendant
que M1 tourne dans
le plan équatorial à la vitesse d'un tour par jour stellaire, le point
tourne très lentement en sens inverse sur
l'écliptique à la vitesse d'un tour tous les 25772 ans. Le point M1
effectuera donc un peu moins d'un tour avant de rencontrer le projeté
sur l'équateur du point vernal. La rotation
par jour de ce projeté est
infime : Le jour sidéral est un peu
plus court que le jour stellaire mais l'écart
de durée est extrêmement faible. Pour
calculer cet écart, une difficulté apparaît : Les points et M1
ne tournent pas dans le même plan. La vitesse
de (visualisée par la flèche rouge sur le schéma n°16) a
deux composantes : une composante orientée vers l'ouest (flèche bleue) et une composante orientée vers le nord
(flèche verte). L'heure ne dépend pas de
la latitude, elle n'est pas influencée par un déplacement vers le
nord, donc seule la composante de la vitesse vers l'ouest est à prendre en compte ici. La trigonométrie dans
l'espace est délicate à manipuler dans
le cas général ; dans
ce cas particulier,
la composante vers l'ouest est simplement le produit de
la vitesse de par le cosinus de l'obliquité. La
suite du raisonnement est une simple adaptation de celui effectué
pour la différence entre l'année tropique et l'année sidérale à partir
du schéma 15.
La
vitesse de rotation de M1 dans le repère géocentrique est, mesurée en tour par heure :
La
vitesse du projeté de
sur l'équateur mesurée en tour par heure
est :
La
vitesse de M1 par rapport au projeté de sur l'équateur est :
Par définition du
jour sidéral, cette vitesse est aussi :
Par identification,
on obtient :
La différence de
durée est ainsi :
ε = 23,44° ; J =
25772 x 365,242190402 x 24 heures ; Jst = 23,93447192 heures. En
multipliant par 3600 pour avoir le résultat en seconde, on
obtient :
L'écart
de durée n'est que de 8,37 millième de seconde !
Cet écart est souvent négligé, ce qui revient
à confondre jour stellaire et jour sidéral.
Comparons d'abord les actions du soleil et de la
lune sur la terre. La masse du soleil est
d'environ 2.1030
kg (un 2 suivi de 30 zéros…), celle de la lune est d'environ 7.1022kg. la distance soleil -
terre est d'environ 150millions de kilomètres, la distance moyenne
terre – lune est d'environ 384000km. La
valeur de (M/d2)
est ainsi 178
fois plus élevée environ pour
le soleil que pour la lune. On peut donc négliger l'influence de la lune sur le mouvement du centre de la terre qui ainsi décrit une trajectoire elliptique fixe dans le
référentiel héliocentrique.
La distance entre le
centre du soleil et celui de la terre est environ 390 fois supérieure
à la distance moyenne terre – lune. En grossière approximation, il est
ainsi possible de considérer le champ gravitationnel créé par le
soleil identique au niveau de la lune et de
la terre. Cela permet d’étudier le mouvement
de la lune par rapport à la terre, dans un repère géocentrique sans
tenir compte de l’attraction gravitationnelle exercée par le soleil. (Les scientifiques qui liront
ce texte pourront objecter qu’il faudrait rigoureusement faire l’étude
du mouvement terre-lune dans un repère
barycentrique, le centre du repère étant non le centre de la terre
mais le centre d’inertie du système terre-lune. Cette étude est
abordée dans l’annexe n° 6. Cependant, la masse de la terre étant très supérieure à celle de la
lune, l’erreur introduite est faible)
Si on se limite à
l'étude d'un seul tour de la lune autour de la terre, la trajectoire
du centre de la lune s'apparente à une ellipse. Nous
allons donc d'abord étudier ce que serait le mouvement du centre de la
lune sous la seule influence de la terre : un mouvement
elliptique, le centre de la terre étant un
foyer de la trajectoire. Ensuite, nous décrirons les
déformations et déplacements de cette trajectoire elliptique sous
l'influence du soleil.
Le schéma n° 18
représente les variations sur deux ans (2015 et 2016) de la distance
d entre le centre de la terre et le centre de la lune. L'unité
est le rayon terrestre, soit 6378km.
Comme
prévu on observe une alternance régulière de maximums et de
minimums : cela est en accord avec une trajectoire
elliptique ; la lune passe à intervalles régulier par son
apogée (distance maximale à la terre) et par son périgée (distance
minimale à la terre). La durée entre deux
passages consécutifs à l'apogée (ou au périgée) est appelé période
anomalistique ou mois anomalistique.
L'étude précise de la courbe ci-dessus montre que cette durée
varie légèrement d'un mois à l'autre mais
garde une valeur moyenne constante à long terme :
Durée moyenne
entre deux passages consécutifs à l'apogée :
un mois anomalistique =
27,5545 jours = 27j 23h
18' 33 ''.
Une
complication apparaît : sous l'action de l'attraction exercée par
le soleil sur la lune, l'ellipse se déforme. La distance à l'apogée
subit de petites variations périodiques (période d'environ 205,9
jours) . La distance au périgée subit des variations un peu plus
grandes de même période. Pour cette description
simplifiée, nous allons adopter les valeurs moyennes :
distance moyenne à
l'apogée : dmax = 63,45.Rt =
404694km ;
distance moyenne au
périgée : dmin = 56,77.Rt = 362102km.
Les formules démontrée
page 3 de l'annexe 1 permettent d'obtenir le demi-grand axe et
l'excentricité moyennes de l'ellipse.
Remarque :
l'écart entre dmax et dmin
est d'environ 11 % . Si assimiler la trajectoire de la terre autour
du soleil à un cercle est une approximation acceptable (écart entre dmax et dmin de seulement
3,4%), cela n'est pas le cas pour la lune.
Nous
revenons à la sphère céleste déjà définie où O désigne le centre de la
terre. Nous y plaçons l'écliptique (intersection avec la sphère
solaire du plan de la trajectoire du centre du soleil) et le point
vernal . Les
angles sont mesurés à partir de l'axe (Ox) orienté de O vers . Les angles sont mesurés à
partir de l'axe (Ox) orienté de O vers
. En gardant le modèle simplifiée précédent d'une
trajectoire elliptique du centre de la lune, on trace sur la sphère
céleste le cercle défini comme l'intersection de cette sphère avec le
plan de l'ellipse.
Le projeté de l'apogée
est un point diamétralement opposé sur la sphère céleste, il n'est pas
représenté ici. La droite passant par le périgée, le centre de la
terre et l'apogée correspond au grand axe de l'ellipse, on l'appelle ligne des apsides.
Le plan de l'ellipse est incliné par rapport à
l'écliptique d'un angle i appelé
inclinaison (i voisin de 5,15° soit
nettement moins que l'obliquité ). Par analogie avec les
intersections de l'écliptique et de l'équateur céleste, on appelle
nœuds les intersections de l'écliptique
avec le plan de l'ellipse. Seul le nœud
ascendant, c'est à dire le point où le centre de la lune traverse
l'écliptique dans le sens sud – nord est
représenté. L'angle entre l'axe (Ox) et la droite passant par O et le
nœud ascendant est noté ; il s'agit de la longitude
écliptique de ce point.
La connaissance des angles i et
permet d'orienter dans l'espace le plan de
l'ellipse. Pour placer l'ellipse dans ce plan, il faut connaître son
foyer - c'est
le point O - et le projeté sur la sphère céleste du périgée. La
connaissance de l'angle
appelé argument du périgée permet de placer
ce projeté sur la sphère céleste (voir schéma n° 19). Une fois l'ellipse ainsi définie dans l'espace, il
suffit pour positionner le projeté de la lune sur la sphère céleste
de connaître l'angle l'anomalie vraie de la lune.
Il est aussi possible
de repérer la position d'un point sur la sphère céleste par ses coordonnées écliptiques : longitude écliptique L et
latitude écliptique .
Sur le schéma n° 19, sont repérés en bleu et
en rouge les arcs correspondant respectivement à L et à du périgée. L'origine des
longitudes écliptiques est
le point vernal .
Remarque : des
précisions supplémentaires sur les trajectoires elliptiques et les
anomalies sont disponibles annexe
n° 1.
Imaginons maintenant le soleil occupant
une position n° 2 opposée
à la position 1 : sa longitude écliptique L
vaut (+270°) :
c'est maintenant l'action exercée sur la
lune lorsqu'elle est en-dessous du plan de l'écliptique qui est
prépondérante ; cette action à une composante vers le nord :
elle tend encore à diminuer i !
Imaginons maintenant le soleil en position 3 ou
en position diamétralement opposée : L vaut
ou (
+ 180°) ; un raisonnement analogue au
précédent montre qu'alors le soleil n'a pas d'influence sur i
(influence moyenne sur un tour d'ellipse). On retrouve la même
influence sur i à chaque fois que (L - ) augmente de 180°. La période
de variation de l'inclinaison ( notée Ti) est la durée qu'il faut à (L- ) pour augmenter de 180°. Phrase équivalente : La durée entre deux passages
successifs du soleil au nœud ascendant représente le double de la
période de variation de i, soit 2Ti.
Passons aux valeurs
numériques :
Ce mouvement du nœud ascendant en sens inverse correspond
à une précession
analogue à celle décrite à propos du mouvement du point vernal même si les origines
des deux précessions sont différentes : influence du soleil ici,
lente modification de l’orientation de l’axe des pôles par rapport à
un repère géocentrique dans le cas de la précession des équinoxes
évoquée partie II, pages 8 et 9.
Imaginons d'abord le cas où le périgée P et le
centre S du soleil ont la même longitude écliptique : L = Lp
(position 1). L'action attractive du
soleil sur la lune tend à freiner la lune dans son mouvement de P vers
A puis à l'accélérer dans son mouvement de A vers P. Cela tend à
décaler vers le soleil les positions de A et de P. Nous l'avons déjà
dit : l'attraction du soleil sur
la lune est d'autant plus forte que la distance soleil – lune est
faible : le décalage de P vers le
soleil est plus important que le décalage de A vers le soleil ;
dans cette position, le soleil tend à augmenter la distance de A à P,
donc à augmenter l'excentricité.
Imaginons
maintenant la position 3 du soleil pour laquelle : L = Lp + 180°.
Le raisonnement est le même que dans le cas précédent en permutant A
et P ; l'action du soleil sur la trajectoire est aussi une
augmentation de e.
Imaginons enfin la position 2 pour laquelle L =
Lp + 90° où la position opposée pour laquelle L = Lp + 270° ; le
soleil a alors très peu d'influence sur les positions des points A et
P donc très peu d'influence sur l’excentricité.
Conclusion : La
période de variation de l'excentricité ( notée Te) est la durée qu'il faut à
(L- Lp) pour
augmenter de 180°. Phrase
équivalente : La durée entre deux passages successifs du soleil
au périgée P représente
le double de la période de variation de e, soit 2Te.
Si le point P avait
une longitude écliptique
fixe, la période de variation de e serait d'une demie – année sidérale
soit 182,628 jours . Or, l'analyse précise de la courbe du schéma n°
18 conduit à Te = 205,89
jours. Pendant la durée 2Te, le soleil doit donc faire un peu
plus de un tour ; cela signifie que le
périgée se déplace dans le sens direct.
Notons P la vitesse de rotation de P
et TP la durée en
jours d'un tour : P
= 1/TP . La vitesse de rotation du soleil par rapport au point
P est :
Soit, par
identification :
Valeurs
numériques :
Nous l'avons déjà
définie : c'est la durée moyenne
entre deux passages consécutifs à
l'apogée ou entre deux passages
consécutifs au périgée :
un mois
anomalistique = 27,5545 jours = 27j 13h 18'
33 ''.
Plus un objet est
éloigné, plus il nous apparaît petit et vice versa. Le mois
anomalistique fixe donc la périodicité de la taille apparente de la lune
observée de la terre. Entre une position à l'apogée et une position au
périgée, la lune apparaît 12 % plus
« grosse » et 25 % plus
lumineuse. Le résultat est spectaculaire lorsqu'une pleine lune
correspond à une position de celle-ci voisine du périgée ; cela se
produit en moyenne une fois par an.
Par
analogie avec l'année sidérale, on pourrait penser
définir le mois sidéral comme la durée
moyenne d'un tour mesuré dans le repère géocentrique. Cependant,
nous avons vu que la trajectoire de la lune, contrairement à celle
du soleil, n'est ni fixe ni fermée. Pour
tourner la difficulté, on s'intéresse au mouvement du point Lu situé
sur l'écliptique qui à chaque instant a même longitude écliptique
que le centre de la lune.
Remarque : on
peut aussi dire que Lu est l'intersection de l'écliptique avec le
méridien céleste passant par le centre de la lune.
Pendant que Lu tourne d'un tour, Pe tourne d'un angle . Au
bout d'un mois sidéral, Lu n'a pas encore rattrapé Pe ; pour
rattraper Pe, Lu doit tourner d'un angle supplémentaire un peut supérieur à car Pe continue à tourner
pendant que Lu tourne de l'angle . Le mois sidéral est donc plus
court que le mois anomalistique.
La vitesse de Lu par
rapport à P est :
Lu
tourne de 1 tour par rapport à Pe en un mois anomalistique de
durée :
Tan =27,5545jours ;
donc :
Par
identification :
Application
numérique :
La période lunaire
sidérale ou mois sidéral vaut :
27,3217 jours soit
27 jours 7 heures 43 min 12s.
Remarque : la
durée du mois sidéral, de peu d'importance pratique, est néanmoins très
importante pour les astronomes ; par exemple : c'est de sa
valeur que l'application des lois de Newton permet de déduire la masse
de la terre.
La
différence année sidérale – année tropique se transpose
facilement : le mois tropique est la durée entre deux passages consécutifs du point Lu au point vernal. Comme le point vernal se
déplace extrêmement lentement en sens inverse (un tour en 25772
années sidérales), le mois tropique est
un peu plus court que le mois sidéral mais la différence est infime. Un calcul analogue à celui mené paragraphe IV.1
conduit à une différence d'à peine
7secondes.
La période lunaire
tropique ou mois tropique vaut :
27 jours 7 heures 43
min 5s.
« Draconitique » a la même étymologie que
« dragon ». Comme nous le verrons, la durée de ce mois
intervient dans la détermination de la fréquence des éclipses. Or de
très anciennes superstitions populaires expliquaient les éclipses
par la présence de dragons qui avalaient l'astre éclipsé (lune ou
soleil) pour le recracher ensuite…
Un mois draconitique représente la durée
entre deux passages consécutifs de Lu au nœud ascendant NA.
Nous
avons mis en évidence un lent mouvement de NA en sens inverse.
Considérons le schéma n° 24 ci-dessous.
La vitesse de Lu par
rapport à NA , exprimée en tour par jour, est :
Soit Tdr
la durée d'un mois draconitique ; Lu tourne d'un tour par rapport à
NA en Tdr jours. Ainsi :
Par
identification :
Application
numérique :
La période lunaire draconitique ou mois draconitique
vaut :
27,2122
jours soit 27 jours 5 heures 5 min 36s.
Contrairement au soleil, la lune n'est pas une
source de lumière : seule l’hémisphère lunaire orientée face au
soleil peut être vue. Suivant l’orientation de cette hémisphère
éclairée par rapport à la terre, cette hémisphère peut être
entièrement visible de la terre, partiellement visible de la terre ou
invisible de la terre. Ce sont les phases
de la lune.
De nombreux sites
internet traitent ce sujet avec de nombreuses illustrations et
animations ; trois exemples :
http://www.imcce.fr/promenade/pages5/501.html
http://physiquecollege.free.fr/physique_chimie_college_lycee/cinquieme/optique/phases_lune.htm
http://www.fondation-lamap.org/sites/default/files/upload/media/minisites/projet_calendriers/eleves/phases-de-la-lune_FrV2.swf
Attention ! Les
schémas en 2D
peuvent être trompeurs : sauf
dans de rares cas (les éclipses) les centres des trois astres
n'appartiennent pas au même plan compte tenu de l'inclinaison
de la trajectoire de la lune. Sauf dans ces cas peu fréquents, une
hémisphère complète de lune est éclairée par le soleil même si les
schémas en 2D représentent cette hémisphère « derrière »
la terre au moment de la pleine lune (situation E du schéma ci-dessous
n° 25) …
Ce schéma
correspon
d
en fait à
une
projection du soleil, de la terre et de la lune dans le plan de
l'écliptique.
On voit ci-contre huit positions de la lune et
en dessous les aspects correspondants de la lune vue de la
terre dans chacune de ces huit positions. La direction du
centre du soleil est caractérisée par sa longitude
écliptique L.
La longitude écliptique du point Lu déjà défini est notée
L'. Le centre du soleil est sur l'axe horizontal très loin sur la droite
de la figure : la distance terre – soleil en environ 390 fois plus
grande que la distance terre – lune ; impossible de faire un schéma à
l'échelle ! Dans ces conditions, tous les rayons lumineux en
provenance du soleil sont pratiquement parallèles entre eux (flèches
jaunes du schéma).
Examinons brièvement les
différentes phases de la lune.
Situation A : L
= L' ; les projections de leurs centres dans le plan de
l'écliptique sont alignés avec le centre de la
terre : c'est une situation de syzygie ; la lune et le soleil sont en conjonction car situés du même côté de la terre. Dans ce cas,
l'hémisphère de la lune éclairée est invisible pour un observateur sur
terre ; c'est la nouvelle lune.
Situation de type B : (L' – L) compris entre 0° et 90°; la
partie de l'hémisphère éclairée, visible de la terre, est un croissant
dont « l'épaisseur » croit au fil des jours ; ce sont des
situations de premier croissant.
Situation C : (L'
- L) = 90° ; seule la moitié droite de
l'hémisphère éclairée est visible de la terre. C'est le
premier quartier.
Situation de type D :
(L' – L) compris entre 90° et 180°; la proportion visible de l'hémisphère éclairée croit de
50 % à 100 % . C'est la lune
gibbeuse croissante.
Situation E: (L' – L) = 180° : c'est à
nouveau une syzygie
mais la lune et le soleil sont de part et d'autre de la terre ; on
dit que la lune est en opposition avec le soleil. Sauf en cas d'éclipse, la totalité de
l'hémisphère éclairée est visible de la terre, c'est la
pleine lune.
Situation de type F : (L' – L) compris entre 180° et 270° ; lune gibbeuse décroissante.
Différence avec la lune croissante : en lune croissante, la partie
visible est à droite de la partie invisible ; en lune décroissante,
c'est l'inverse.
Situation G : (L'
– L) = 270° ; elle correspond au dernier
quartier.
Situation de type H : (L' – L) compris entre 270° et 360° ; elle
correspond au dernier croissant.
Remarque : par rapport à la sphère céleste, la lune
tourne dans le sens direct mais en même temps, la terre tourne autour de
l'axe de ses pôles environ 27 fois plus vite ; pour un observateur
terrestre, la lune tourne donc en sens inverse soit de l'est vers l'ouest.
Ce raisonnement est aussi valide pour le mouvement du
soleil mais dans ce cas, le rapport des vitesses est d'environ
365 !
On
vient de voir que, vu de la terre, l'aspect de la lune varie
périodiquement. La période de ces variations est appelé lunaison ou mois synodique. Plus
précisément, un mois synodique représente
la durée moyenne entre deux nouvelles lunes consécutives. C'est la durée correspondant à une augmentation de
(L' – L) de 360° ou encore la durée que met le point Lu pour tourner
de un tour par rapport au soleil. Notons Tsy cette durée. La vitesse de rotation de Lu par rapport
au soleil est donc :
Un raisonnement
effectué à de nombreuses reprises conduit à :
Par
identification :
Application
numérique :
La lunaison ou mois
synodique vaut :
29,5306 jours soit
29 jours 12heures 44min 3s.
Remarque : il
s'agit bien d'un calcul de durée moyenne : nous avons raisonné sur
les vitesses moyennes de la lune et du soleil sans tenir compte de la
loi des aires.
La
construction d'un calendrier utilise traditionnellement trois
« horloges » naturelles : la rotation de la terre
sur elle-même qui définit le jour, les phases de la lune qui
permettent de définir le mois et le mouvement du soleil autour de la terre (si le
repère est géocentrique) qui permet de définir l'année tropique. Si
la lunaison correspondait à une nombre entier de jours et si l'année
tropique correspondait à un nombre entier de lunaisons, les choses
seraient simples : la nouvelle lune correspondrait toujours au
même jour d'un mois et les débuts des saisons auraient lieu à dates
fixes. Cela n'est pas le cas : il faut donc choisir entre un calendrier
« lunaire » où la longueur moyenne du mois est très proche
d'une lunaison et un calendrier « solaire » où la longueur
moyenne de l'année est très proche d'une année tropique. Dans le
premier cas, la nouvelle
lune correspondent chaque mois au même jour mais on obtient un
décalage progressif des dates des débuts de saisons.
Nous
l'avons expliqué au paragraphe IV.2 : le calendrier grégorien en
vigueur en France est de type « solaire ». Les débuts
de saisons ont lieu à dates fixes mais les nouvelles
lunes n'ont pas lieu chaque mois au même jour.
Expliquons brièvement le principe d'un calendrier
de type « lunaire » comme le calendrier musulman. La
lunaison étant proche de 29 jours et demi, on imagine une année de 12
mois : 6 mois de 29 jours alternent
avec 6 mois de 30 jours, ce qui représente
une année de 354 jours. Pour tenir compte des 44min et
3s supplémentaires par
lunaison, on ajoute régulièrement des
années « abondantes » formées de 5 mois de 29 jours et de 7 mois de 30 jours, soit des années de 355jours. En
pratique, par cycle de 30 ans, on répartit 19 années
« communes » de 354 jours et 11 années
« abondantes ». Ainsi la durée moyenne d'une année
est :
Or la durée moyenne de 12 lunaisons est, en utilisant la
meilleure précision actuelle :
L'écart entre les
deux durées n'est que de 4 dix-millièmes de jour par an, ce qui peut se
corriger en remplaçant une année commune par une année abondante une
fois tous les 2500ans ! L'accord entre lunaison et mois calendaire
moyen est excellent mais en contrepartie, le
début de chaque saison se décale de près de 11 jours par an…
Ce
décalage peut être supprimé par l'ajout judicieux de mois
supplémentaires : c'est le principe d'un calendrier de type
« luni-solaire » comme le calendrier hébraïque. Nous
savons qu'une année tropique compte 365,24219 jours et qu'un mois
synodique compte 29,5306 jours. Le rapport de ces deux nombres
vaut :
Par
une des méthodes exposée en annexe 4, on peut obtenir
une fraction proche de ce rapport : .
Ainsi, 19 années sidérales ont sensiblement même durée que 235
lunaisons. Or : 235 = 12 x 12 + 7 x 13. On peut donc imaginer un
cycle de 19 ans constitué de 12 années «
communes »
de 12 mois avec alternance de mois de 29 jours et de mois de 30 jours
(soit des années de 354 jours) et de 9 années
« embolismiques » comptant un mois supplémentaire de 30 jours
(soit des années de 384 jours).
La durée
moyenne d'une année civile, calculée sur 19 ans devient ainsi :
.
La durée moyenne d'une lunaison, calculée sur 19 ans est
ainsi :
.
Ces deux valeurs sont un peu inférieures
aux valeurs recherchées : respectivement 365,24219 et 29,5306.
L'ajustement se fait grâce aux mois n° 8 et n° 9 qui
peuvent être, suivant les années, de 29 ou de
30 jours. Ainsi, chaque mois commence à la nouvelle lune et il n'y a pas de dérive des saisons, mais tout cela
est bien compliqué : outre le fait que l'année
peut compter 12 ou 13 mois, le nombre
de jours par an peut prendre 6 valeurs différentes, selon les
nombres de jours des mois 8 et 9 et le nombre de mois par an : 353,
354 ou 355 les années de 12 mois, 383, 384, 385 les années de 13
mois !
Le relief lunaire est suffisamment tourmenté (
cratères, « mers » lunaires...) pour être facilement
observable de la terre, en particuliers lors des phases de pleine
lune. Il est donc facile de constater que la
lune oriente toujours la même face vers la terre.
Remarque : en
réalité, près de 60 % de la surface
lunaire peut être explorée à partir de la
terre, grâce au phénomène de libration que nous allons étudier au
paragraphe suivant …
Est-ce
à dire que la lune ne tourne pas sur elle-même ? Pour répondre à
la question, reprenons le schéma n° 25 du
paragraphe V.6.5 sur les phases de la lune et imaginons un repère
dont l'origine est le centre OL de la lune et dont les axes sont dirigées vers des
étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes (l'axe (OLZ),
perpendiculaire au plan de figure, n'est pas représenté sur le schéma). Ce repère dit repère sélénocentrique tourne autour de la terre tout en gardant ses axes
parallèles aux axes du repère géocentrique déjà défini. Soit un point
B de la surface de la lune sur l'axe (OLX). Supposons ce point B sur la face éclairée une
nuit de pleine lune d'un mois M (voir le schéma de gauche ci-dessus).
Six lunaisons plus tard, il y aura encore
pleine lune mais la longitude écliptique du soleil aura augmenté
d'environ 180° conformément au schéma de
droite ci-dessus. En absence de rotation
propre de la la lune dans le repère (OLXYZ), le point B se trouvera cette fois-ci sur la face
cachée de la lune. Conclusion : la
lune doit nécessairement avoir un mouvement de rotation propre, c'est
à dire un mouvement de rotation dans le repère sélénocentrique (OLXYZ).
En réalité, les
mesures montrent que la vitesse de rotation
propre de la lune dans le repère (OLXYZ) est
exactement égale à la vitesse de révolution du centre de la lune dans le repère géocentrique, soit
un tour par mois sidéral moyen (un tour tous les 27,3217
jours). Ce synchronisme parfait n'est bien sûr pas
le fruit du hasard. Il s'explique par le
phénomène de marée qui sera étudié plus en
détail annexe
5. Disons
simplement que la
lune exerce des forces de marées qui tendent à déformer la terre – et
plus encore la surface des océans – pour lui donner une forme un peu
allongée suivant un axe passant par les centres de la terre et de la
lune, un peu comme un ballon de rugby (les scientifiques parlent alors d'ellipsoïde…).
La terre exerce des forces de marées sur la
lune environ 22 fois plus intenses. La lune étant formée de matière
solide, les déformations sont de plus faibles amplitudes mais pas
négligeables pour autant ; la lune prend
donc aussi la forme d'une ellipsoïde dont le grand axe est constamment
orienté vers le centre de la terre.
Conséquence
sur terre : pendant que la terre
effectue un tour sur elle-même, le grand axe de l'ellipsoïde ne tourne
que de 1/27 tour environ. Chaque point de la terre ou de la surface des
océans tend à se soulever quand il se rapproche de l'axe des centres de
la terre et de la lune et tend à s'abaisser quand il s'éloigne de cet
axe. On obtient ainsi environ deux marées hautes et deux marées basses
par jour. Pour une bonne visualisation du
phénomène, on pourra consulter l'animation suivante disponible sur
internet : #http://www.systemesolaire.net/maree.html.
Remarque : le soleil exerce aussi des forces de marée
sur la terre mais elles sont environ 2,2 fois moins intenses ; cela
est expliqué en annexe 5.
Conséquence sur la
lune : il y a quelques milliards d'années, la vitesse de
rotation propre de la lune était très probablement nettement
supérieure à sa vitesse de révolution autour de la terre. Le phénomène
de marée était donc analogue à celui observé actuellement sur
terre : les roches lunaires étaient soumises à des forces
de marées qui tendaient à les dilater à chaque fois qu'elles passaient
au voisinage de l'axe terre - lune. Ces déformations périodiques
dissipaient beaucoup d'énergie, ce qui s'est traduit par un lent
ralentissement de la vitesse de rotation propre jusqu'à ce que
celle-ci atteigne la vitesse de révolution de la lune autour de la
terre. Dans ces conditions, les roches ne se déplacent plus par
rapport à l'ellipsoïde ; il n'y a plus dissipation
d'énergie : le synchronisme perdure.
Imaginons
pour simplifier que le centre OL de la lune soit animé dans le repère géocentrique d'un
mouvement circulaire à vitesse constante et que l'axe de rotation de
la lune sur elle-même soit perpendiculaire au plan de la trajectoire
(voir schéma ci-dessous).
Soit une position 1 de la lune et un point
A1 de la surface
lunaire appartenant à la droite (OOL). Soit une position 2 de la lune observée un peu plus
tard (un huitième de mois sidéral plus tard dans le cas de la
figure). Entre les deux positions, la
droite (OOL) a
tourné dans le repère géocentrique d'un angle = . La
vitesse de rotation propre de la lune dans le repère sélénocentrique
étant égale à la vitesse de révolution, la droite (OLA) a aussi tourné de l'angle
= par
rapport à l'axe (OLX).
Les axes (OX) et (OLX)
restant constamment parallèles, les angles et sont
en positions « alternes-internes ». Leur égalité implique
l'alignement des points O, A2 et OL2
. Nous venons de démontrer que l'égalité entre la vitesse de
rotation propre et la vitesse de révolution de la lune est bien
conforme au fait que la lune présente toujours la même face du côté
de la terre.
Est-ce à dire que vue
de la terre, la partie éclairée de la lune présente toujours le même
aspect ? En fait, le relief lunaire permet d'observer depuis la
terre un lent balancement périodique de
l'aspect de la lune appelé libration. Grâce
à ce phénomène, environ 59 % de la surface lunaire a pu être
observé à partir de la terre. Pour le reste, il a fallu attendre les
sondes spatiales.
Remarque :
de nombreux sites internet proposent des animations du phénomène de
libration ; par exemple : #http://www.pixheaven.net/geant/041200.html .
Avant
d'aller plus loin, commençons par répondre à la question
suivante : Quelle proportion de la surface lunaire peut-on voir
à
la fois
une nuit de pleine lune ? Est-ce vraiment 50 %, soit
tout l'hémisphère lunaire orienté
e
vers la terre ?
Revenons au schéma ci-dessus en considérant la
lune en
position 3 et un observateur terrestre noté
Ob à la surface de la terre sur la droite (OO
L
).
Pour éviter de manipuler des nombres
trop importants, les distances sont exprimées en
multiple du rayon terrestre R
T
= 6378km. Ainsi la distance
moyenne entre les centres de la lune et de la
terre vaut : d
T-L
= 60,4R
T
et le rayon de la lune est
R
L
= 0,2725R
T
. On trace les
tangentes O
b
B et O
b
C au cercle
de centre O
L
, de
rayon R
L
représentant la
trace de la
surface de la
lune dans le
plan de figure.
La droite
passant par O
L
perpendiculaire
à la droite
(OO
L
)
coupe ce
cercle en B'
et C'. Pour
que 50 %
de la surface
lunaire soit
visible à la
fois du point
O
b
, il faudrait
que les points
B et B'
d'une
part
,
C et C'
d'autre
part,
soient
confondus. On
peut calculer
le pourcentage
de surface
lunaire
visible en
remarquant que
le triangle (O
b
O
L
C)
est rectangle
en C. On
obtient
ainsi :
;
soit :
= 0,2628°.
C'est angle est très faible : le
pourcentage de surface lunaire visible à la fois est certainement
proche de 50 % ; faisons le calcul en remarquant que la vision
de la lune pour Ob
est invariante par rotation autour de la droite (ObOL) :
en plus de l'hémisphère « arrière » évidemment
invisible de la terre (la « face
cachée »), la partie invisible est une
bande étroite de rayon RL ,
de largeur (CC'). Le périmètre de cette bande vaut : 2..RL ; À un angle de 180° correspond une longueur d'arc égal à
un demi périmètre soit .RL ; à l'angle correspond donc la longueur
d'arc :
L'aire de cette bande invisible du point
Ob est ainsi :
.
L'aire d'une hémisphère vaut : 2..RL2 . L'aire totale de la surface
visible à la fois est ainsi :
.
L'aire totale de la surface lunaire
vaut : 4..RL2 ;
le pourcentage de surface visible à la fois du point Ob est donc :
.
Ainsi, en
moyenne seulement 49,77 % de la surface
lunaire peut être vue à la fois de la terre.
Ce pourcentage peut être un peu plus élevé quand la
distance dT-L est supérieure à sa valeur moyenne, c'est-à-dire lorsque
la lune est au voisinage de son apogée et il est un peu plus faible quand la lune est au voisinage de son périgée. Cependant,
ce pourcentage est très proche de 50 %, ce qui autorise
l'expression « face visible de la lune ».
Analysons maintenant les trois causes de la
libration.
Selon le Larousse, le
mot parallaxe
signifie : « déplacement de la
position apparente d'un corps dû à un changement de position de
l'observateur ». Pour comprendre,
revenons au schéma précédent en considérant la lune en position 4, sans oublier que la terre tourne sur elle-même dans le
sens anti-horaire du schéma. Pour un observateur en position Ob1, la lune se lève juste sur
l'horizon à l'est terrestre.
L'observateur voit la face de la lune orientée vers lui, pour peu
qu'elle soit éclairée par le soleil bien sûr ; sa trace dans le
plan de figure est l'arc de couleur magenta. Pour cet observateur, le
point A4 , point
de la surface lunaire au plus près de la terre n'est pas au centre de
la face mais légèrement décalé vers l'est. Environ six heures plus
tard l'observateur occupe la position Ob2 (pas exactement six heures car la lune tourne un peu au
cours d'une nuit et l'angle entre les rayons (OOb1) et (OOb2)
ne vaut pas exactement 90°). L'observateur voit alors le
point A4 au centre
de la face visible. Environ six heures plus
tard, l'observateur est en Ob3 ; la face visible pour lui a pour trace dans le plan de
figure l'arc de couleur cyan. Le point A4 n'est plus au centre de la face visible mais décalé vers
l'ouest.
Ainsi, un observateur peut
voir, au lever de la lune, en début d'une nuit de pleine lune, une
petite partie de la face située derrière le méridien lunaire passant
par C (voir position 3 de la lune) et il peut voir au coucher de la
lune une partie de la face située derrière le méridien lunaire passant
par B. Le déplacement apparent d'est en
ouest est très difficile à observer. En
effet le point A4
semble tourner au cours de la nuit de l'angle 2.
Un calcul analogue à celui fait pour évaluer conduit à :
Une rotation
apparente de moins de 2 degrés en une nuit est impossible à détecter à
l’œil nu.
Pour résumer les observations, le schéma
ci-dessus représente, en exagérant les décalages pour plus de clarté,
trois observations successives une nuit de pleine lune, le cercle en
pointillé représentant la trace de l'hémisphère face à Ob2 .
Dans
cette étude de la libration nous n'avons pas encore tenu compte de
ellipticité de la trajectoire du centre de la lune dans le repère
géocentrique décrite dans les paragraphes V.2 et V.3. La loi des
aires impose des variations périodiques de la vitesse de révolution
de la lune autour de la terre, la période de variation étant le mois
anomalistique (27,55 jours). Une simulation informatique montre
que, pour une excentricité de 0,0555, valeur moyenne pour la
trajectoire de la lune, la vitesse de révolution est égale à la
vitesse moyenne lorsque l'anomalie vraie (angle
de la figure ci-dessous ou du schéma n° 19) vaut
92,4° ou 267,6°, ce qui correspond sur la figure aux positions 3 et
7. Cette vitesse est supérieure à la moyenne au voisinage du
périgée, soit sur la figure pour les positions 8, 1 et 2. Cette
vitesse est inférieure à la moyenne au voisinage de l'apogée, soit
sur la figure pour les positions 4, 5 et 6.
En
revanche, les effets de marée ont mis des millions d'années à
diminuer la vitesse de rotation propre de la lune pour la rendre
égale à la vitesse moyenne de révolution. Les effets de marées ne
sont pas assez puissants pour répercuter sur la rotation propre de
la lune les faibles variations périodiques de la vitesse de
révolution dues à la loi des aires. Conséquence : alors que la vitesse de révolution de la lune varie
faiblement selon la loi des aires, la vitesse de rotation propre de
la lune reste rigoureusement constante et égale à la vitesse
moyenne de révolution.
Le plan de la figure
ci-dessous est le plan de la trajectoire lunaire. la partie inférieure
de la figure reprend les différentes vues pour un observateur
terrestre ; les pointillés représente la face qui serait visible en
absence de libration. Pour plus de clarté,
l'excentricité de la trajectoire et le phénomène de libration sont
fortement exagérés sur le schéma.
Remarque : ce
déplacement se fait le long d'un parallèle lunaire, ce qui justifie
l'expression « libration en longitude ».
Les
sens de déplacements s'inversent aux positions 3 et 7 : c'est
dans ces positions que les écarts sont les plus importants : le point de la surface lunaire au plus près de la terre à
l'apogée et au périgée (noté A5 et A1) a tourné de 8° vers l'est en A3 et de 8° vers l'ouest en A7. Cela permet pour l'observateur terrestre placé en Ob3 de découvrir une partie de
la face qui serait cachée côté ouest en absence de libration. De même
un observateur placé en Ob7 peut
découvrir une partie de la face qui serait cachée côté est en absence
de libration.
Bien entendu, les surfaces lunaires en jaune sur
le schéma ci-dessus sont celles susceptibles d'être observées des différentes positions Ob1, Ob2… Pour être effectivement
visibles, ces surfaces doivent être éclairées par la soleil et cela
dépend des phases de la lune…
Ce phénomène a pour origine l'obliquité de l'axe
des pôles lunaires : l'axe de rotation propre de la lune est
incliné en moyenne d'un angle d'environ 6,7° par rapport a la perpendiculaire au plan de la
trajectoire du centre de la lune et garde une direction pratiquement
fixe dans le référentiel géocentrique. Analysons les conséquences de
cette obliquité en négligeant pour l'instant l'influence de la loi des
aires. Le raisonnement est assez analogue à celui qui permet de
définir les saisons sur terre.
Considérons le schéma ci-dessus : un point A
de la surface lunaire sur la droite passant par les centres de la
terre et de la lune en position A1, sera pour un observateur
terrestre animé d'un très lent mouvement apparent le long d'un
méridien, ce qui justifie l'expression « libration en
latitude ». Le décalage vers le nord du point A est maximum en
position 2, ce qui permet à l'observateur terrestre d'explorer alors
une partie de la surface lunaire qui serait cachée derrière le pôle
sud lunaire si la libration n'existait pas. Le point A retrouve en
position 3 le milieu de la face visible comme en position 1 et le
décalage vers le sud est maximum en position 4, ce qui permet alors à
un observateur terrestre d'explorer une partie de la surface lunaire
qui serait cachée derrière le pôle nord lunaire si la libration
n'existait pas. Cette libration correspond
à une rotation périodique vers
le nord ou vers le sud d'amplitude égale à 6,7° et
de période égale à un mois sidéral (27,32 jours).
La
libration parallactique présente peu d'intérêt pratique : son
amplitude est très faible et le bord ouest ou est qu'elle permet de
découvrir n'est visible qu'au lever ou au coucher de la lune : la
lumière du soleil levant ou du soleil couchant gêne l'observation.
Les librations de
longitude et de latitude sont en réalité simultanées : la
composition d'un mouvement d'oscillation suivant un méridien et d'un
mouvement d'oscillation suivant un parallèle lunaire d'amplitudes
différentes mais de périodes égales produirait un mouvement elliptique. Les
périodes étant légèrement différentes, la situation est plus
compliquée : sur un mois, on observe une courbe pas tout à fait
fermée ayant l'allure d'une éllipse, cette courbe se modifiant
légèrement d'un mois à l'autre. Bien sûr, ce mouvement ne peut
être mis en évidence qu'avec un montage de photographies prises tout au
long du mois et le point de la surface observé ne sera pas toujours
éclairé par le soleil… Le principal intérêt du phénomène de libration
reste l'exploration d'une partie de la surface lunaire qui serait
toujours cachée sans ce phénomène.
Il y a éclipse de lune lorsque la terre s'interpose entre
elle et le soleil de façon à empêcher le soleil de l'éclairer.
Une éclipse de lune n'est donc possible que si les centres des trois
astres sont approximativement alignés. Le schéma
n° 25 montre clairement qu'une telle situation n'est possible que si
la lune et le soleil sont en opposition (situation de type E). Bien
sûr cette condition est nécessaire mais pas suffisante, sinon il n'y
aurait jamais de pleine lune mais une éclipse de lune par lunaison.
Retenons :
On se
contente ici d'indiquer quelques ordres de
grandeurs. Pour éviter de manipuler des nombres trop grands,
nous exprimons les distances en multiples de rayon terrestre RT
= 6378km. Le rayon du soleil est d'environ 109RT ;
celui de la lune vaut 0,2725RT . La distance
moyenne entre les centres de la terre et du soleil vaut : dT-S = 23455RT ;
la distance moyenne entre les centres de la lune et de la terre
vaut : dT-L = 60,4RT
.
Peut-on envisager un
schéma à l'échelle représentant les trois astres ? Supposons que
l'on choisisse de représenter 1000RT par
1cm ; la distance dT-S correspondrait
ainsi à 23,45cm sur le schéma mais alors dT-L correspondrait
à 0,6mm et le rayon terrestre correspondrait à un centième de
millimètre ! Un schéma clair ne peut être à l'échelle et nous
constatons à quel point les distances entre les astres sont énormes par
rapport aux rayons des astres. Le schéma ci-dessous
n° 26 va nous permettre quelques raisonnements mathématiques mais
déforme fortement la réalité ; par exemple, sur le schéma dT-L est de l'ordre de 2RT alors qu'il vaut en
moyenne 60,4RT !
Cela
nous permet de définir trois sortes d'éclipses de lune.
* Les éclipses partielles par la pénombre : à la
pleine lune, la lune passe dans la zone de pénombre sans entrer dans
la zone d'ombre ; la lune est simplement moins éclairée mais le
phénomène est très peu spectaculaire et fortement tributaire des
conditions météorologique.
* Les éclipses partielles par
l'ombre : à la pleine lune, une
partie seulement de la lune pénètre dans le cône d'ombre. Ce sont
les seules éclipses partielles que nous étudierons.
* Les
éclipses totales : à la pleine lune, la
totalité de la lune entre dans le cône d'ombre.
Le
fait d'avoir sous-évalué sur le schéma n° 26 les distances dT-S et dT-L par rapport aux rayons des astres amplifie
fortement l'inclinaison des droites tangentes tracées.
En réalité, les angles entre ces droites et l'axe passant par les
centres du soleil et de la terre sont tous inférieurs à 1°. Dans ces
conditions, les rayons extrêmes émis par le soleil peuvent être
considérés comme émis par les points F et G de la figure du bas et
les points de tangence de ces rayons avec la terre sont très proches
des points A et H de la figure où les points Os et O désignent les
centres du soleil et de la terre.
Commençons par
déterminer le rayon R de la zone d'ombre.
Le théorème de
Thalès conduit à :
Application :
Sachant que le rayon
de la lune est : RL = 0,2725RT ;
le rayon de la zone d'ombre vaut :
Le diamètre de la
zone d'ombre est environ 2,65 fois plus grande que le diamètre de la
lune. Le fait que le diamètre de la zone d'ombre
soit largement supérieur à celui de la lune rend possible des éclipses
totales.
Déterminons maintenant le rayon extérieur R' de la zone de pénombre.
Ce rayon correspond
à la distance O'D. Nous savons : O'C = RT
. Il faut calculer la distance CD en appliquant le théorème de Thalès .
Application :
Finalement : R' = O'D = O'C + CD = 1,283.RT .
L'intersection
du plan perpendiculaire à l'axe (OS O) situé à la distance dT-L du centre O de la terre avec la zone de pénombre est
ainsi une couronne de rayon intérieur R = 0,722RT et de rayon extérieur R' = 1,283RT
. La « largeur » de la zone de
pénombre est :
R'
– R = 0,561RT .
On peut
remarquer que cette largeur est de très peu supérieure
au diamètre de la lune : 0,545RT . On
peut donc imaginer des situations où la lune est entièrement dans la
zone de pénombre.
Nous
allons estimer la durée de l'éclipse dans le cas particulier où le
centre de la trajectoire du centre de la lune passe par le centre de
la zone d'ombre (cas 1 du schéma n° 27).
En P1,
l'hémisphère de la lune orientée vers le soleil est totalement
éclairée. De P1 à P2 la lune traverse la zone de pénombre et est de
moins en moins lumineuse (éclipse par la pénombre).
De
P2 à P3, la lune entre progressivement dans la zone d'ombre, il y a
éclipse partielle. La durée de cette éclipse partielle est la durée
nécessaire au centre de la lune pour parcourir la distance 2RL = 0,545RT . Or, dans notre hypothèse simplificatrice d'un
mouvement circulaire uniforme, ce centre parcourt la distance de
379,5RT en un mois
synodique soit 29,5306jours soit 708,73heures. La durée estimée de la
phase d'éclipse partielle de P2 à P3 est donc :
Remarque : le
centre de la zone d'ombre reste constamment sur l'axe (Os O) du schéma
n° 26 ; les zones d'ombre et de pénombre tournent donc dans le
repère géocentrique à la même vitesse angulaire que le soleil. Il faut
donc, dans l'expression de la vitesse de la lune par rapport aux zones
d'ombre et de pénombre, prendre en compte la vitesse de la lune par
rapport au soleil ( un tour par mois synodique) et non la vitesse de la
lune par rapport au repère géocentrique (un tour par mois sidéral).
De P3
à P4 la lune est entièrement dans la zone
d'ombre, il y a éclipse totale. Sa durée est celle nécessaire au centre
de la lune pour parcourir la distance :
(2R – 2RL)
= (1,444RT – 0,545RT)
= 0,899RT .
La durée estimée de
l'éclipse totale de P3 à P4 est ainsi :
L'éclipse partielle
correspondant à la sortie progressive de la lune de la zone d'ombre
(passage de P4 à P5) aura même durée que celle correspondant au passage
de P2 à P3. L'évolution de P5 à P6 est analogue à
celle de P1 à P2.
La
trajectoire de la lune ne passe pas nécessairement par le centre de
la zone d'ombre ; alors la durée de l'éclipse totale est
nettement plus faible alors que les durées d'éclipses partielles
sont plus longues. Ainsi pour la prochaine éclipse totale visible en
France (le 25 septembre 2015) la durée de l'éclipse totale sera de
1h12min et les phases d'éclipse partielle dureront chacune 1h04min.
Dans le cas limite N° 2 du schéma n° 26 la lune n'est entièrement
dans la zone d'ombre que quelques minutes et les phases d'éclipse
partielle sont allongées. Ainsi l'éclipse totale du 4 avril 2015
(invisible en France métropolitaine) ne durera que 5min alors que
les phases d'éclipse partielle dureront chacune 1h42min.
La
durée calculée de 1h41min pour l'éclipse totale n'est pas pour
autant la plus longue observable ; n'oublions pas que nos
calculs sont simplifiés : nous avons en particulier négligé
l'ellipticité des trajectoires et la loi des aires. Ainsi, un soleil
à son périhélie augmenterait les largeurs des zones d'ombre et de
pénombre, ce qui tendrait à augmenter les durées des différentes
phases ; un soleil à son aphélie aurait l’effet inverse.
L'ellipticité de la trajectoire de la lune influence aussi les
durées des éclipses. En effet, si dT-L augmente, les largeurs des zones d'ombre et de
pénombre augmentent et, selon la loi des aires, la vitesse du
centre de la lune diminue : ces deux effets combinés augmente
la durée de l'éclipse. La durée maximale observée pour une éclipse
totale est 1h47min.
Pour plus de clarté, le schéma n° 19 est refait
ci-contre. C'est dans ce cas particulier
que la lune est la plus éloignée du plan de l'écliptique en étant
située au-dessous de ce plan. Le rayon de
la lune étant environ 222 fois plus petit que dT-L
, la lune apparaît comme un point sur le
schéma. Nous constatons que, malgré la faible valeur de l'inclinaison,
la lune est très en dessous du cône d'ombre créé par la terre. Il n'y
a pas éclipse mais pleine lune.
Conclusion :
l'éclipse de lune n'est possible que si les deux conditions suivantes
sont réunies simultanément :
Pour mieux préciser les autres cas, nous allons
répondre à la question suivante : Soit une date
où la lune est exactement en opposition avec le soleil (L' – L =
180°) sans que son centre ne soit exactement sur la ligne des nœud.
Quel est l'écart maximal possible (noté )
entre L' et (ou entre L' et +180°) permettant néanmoins
l'obtention d'une éclipse totale de lune ? Reprenons le schéma n°
27 en le complétant dans le cas limite n° 2 où la lune entre
entièrement dans la zone d'ombre pendant une durée très courte.
Pour ce schéma n° 29,
nous utilisons les mêmes hypothèses simplificatrices que celles
utilisées pour le schéma n° 27. À la date de pleine lune, le centre C
de la zone d'ombre et le centre C1 de la lune ont même longitude
écliptique L' = L+180° mais L' est un peu inférieure à : L' =
- . C1 est un peu en-dessous du plan de l'écliptique ;
l'éclipse n'est que partielle à cette date ; une petite partie de
la lune est en dehors de la zone d'ombre. Au voisinage du nœud ascendant NA, la trajectoire de la
lune est assimilable à une droite inclinée de l'angle i par rapport à
l'écliptique. Calculons la valeur de pour
que, un peu plus tard, la lune pénètre juste dans la zone
d'ombre ; la distance de C à C2 est alors :
Considérons le triangle
(C C2 NA) rectangle en C2 ; la définition de la tangente de l'angle
i permet de calculer la distance de C à NA :
Le plan de figure est à la distance dT-L du centre de la
terre ; à cette distance, une variation de longitude écliptique
de 360° correspond à une distance parcourue de 2.60,4RT = 379,5RT .
La variation de longitude écliptique entre C et NA est donc :
Reprenons le calcul de
pour
le cas limite de l'éclipse partielle. Dans ce cas, la trajectoire du
centre de la lune est encore plus éloignée du centre C et le cas
limite correspond à une lune « frôlant » la zone d'ombre du
côté extérieur : le centre de la lune occupe alors la position C3
du schéma n° 29. Les calculs sont analogues aux précédents.
Pour une nouvelle lune
se produisant après le passage au nœud, le calcul se mène de la même
manière et conduit aux mêmes valeurs de . D'où une conclusion plus
précise :
Il y a éclipse
totale de lune lorsque les deux conditions suivantes sont
obtenues simultanément :
Il y a éclipse
partielle de lune lorsque les deux conditions suivantes sont
obtenues simultanément sans que la condition sur L' concernant l'éclipse
totale ne soit vérifiée :
Remarque :
rappelons une fois de plus que les valeurs calculées de sont
des valeurs moyennes qui ne tiennent pas compte de l’ellipticité des
trajectoires et de la loi des aires…
Lors d'une éclipse, le centre du soleil doit être
très près d'un nœud (nœud ascendant ou nœud descendant). Est-ce à
dire que cette condition est vérifiée une fois tous les 6 mois ?
Pas tout à fait car les nœuds tournent lentement dans le sens inverse
à raison d'un tour toutes les 18,60années. Dans ces conditions, nous
avons vu au paragraphe V.4 que le centre du soleil passe par un nœud
tous les 173,310jours. On peut donc
affirmer que le mouvement du soleil rend une éclipse possible tous les
173,310 jours.
Une éclipse de lune se produit-elle
effectivement tous les 173,310jours ? Il faudrait pour cela que le
passage à un nœud s'accompagne d'une opposition soleil – lune, ce qui se
produit tous les mois synodiques, soit tous les 29,5306jours. La
division de 173,310 par 29,5306 conduit à 5,8688 : ce
n'est pas un nombre entier mais cependant un nombre proche de 6. Les éclipses peuvent se produire en moyenne toute les six
lunaisons à la date de pleine lune sous réserve que le soleil et la
lune soient suffisamment proches de la ligne des nœuds à cette date. La prévision des éclipses n'est donc pas simple même si
les moyens informatiques actuels facilitent bien les choses. Pour
savoir si une ou plusieurs éclipses se produisent une année donnée,
on peut, par exemple, déterminer, pour chaque jour, les longitudes
écliptiques du soleil, de la lune et du nœud ascendant et examiner
si les critères démontrés ci-dessus se vérifient à certaines dates. Le
livre de Jean MEEUS déjà cité donne les méthodes de calcul.
Il est néanmoins possible de trouver une
périodicité des éclipses. La lune retrouve sur la sphère céleste la
même position par rapport au soleil tous les mois synodiques ; la
lune retrouve la même position sur la sphère céleste par rapport au
nœud ascendant tous les mois draconitiques. Imaginons une éclipse à
une date t. Imaginons une durée S qui soit
à la fois un multiple de la durée du mois synodique et un
multiple de la durée du mois draconitique.
La lune retrouverait à la date (t + S) la même
position par rapport au soleil et par rapport aux nœuds : il y
aurait la même éclipse à la date (t + S) !
Écrivons que S est un
multiple de Tsy : durée du mois
synodique :
S = n.Tsy
avec n : nombre entier .
Écrivons que S est un
multiple de Tdr : durée du mois
draconitique :
S = m.Tdr
avec m : nombre entier.
Ainsi :
Nous sommes amenés à
trouver la fraction (les mathématiciens disent « le nombre
rationnel ») le plus proche du rapport précédent. La détermination
de ce nombre est expliquée en annexe
4. On trouve :
; soit m =
242 et n = 223.
Ainsi la durée S appelée saros représente
la durée de 223 mois synodiques :
S = 223.29,530588893671318 = 6585,321323288704
jours.
Vérifions que cette durée
est très proche de 242 mois draconitiques :
242.27,212220806158207 =
6585,357435090286 jours.
L'accord est excellent
puisque l'écart n'est que de 0,036111801582592 jour soit 52min sur une
période de plus de 18 ans !
Remarque 1 :
converti en années civiles, le saros représente
18ans 11jours 8h si la période considérée compte 4 années
bissextiles ou 18ans 10jours 8h si la période
considérée compte 5 années bissextiles.
Il aurait été possible de choisir un
rationnel encore plus proche du rapport Tsy/Tdr , par exemple : 777/716. Ce
choix serait certes plus précis mais n'aurait pas les deux avantages
que nous exposons ci-dessous :
- Nous avons
expliqué que les durées des éclipses dépend de la distance terre -lune
qui est variable à cause de l'ellipticité de la trajectoire de la
lune. Divisons la durée du saros par la durée du mois anomalistique
qui représente la durée entre deux passages de la lune au périgée ou à
l'apogée :
Un saros correspond
pratiquement à 239 mois anomalistique (erreur de 0,00328%) ; au
bout d'un saros la distance dT-L est
donc sensiblement la même.
- Autre
avantage : divisons le saros par la durée d'une année
synodique :
L'écart au nombre entier
18 est cette fois-ci un peu plus important (0,163%) mais l'excentricité
de la trajectoire elliptique du soleil est très faible : les
variations de dT-S sont très faibles en
0,0294année ( un peu moins de 11 jours).
Conclusion : si nous
obtenons une éclipse à une date t, nous obtiendrons des éclipses
pratiquement identiques aux dates (t + S), (t+2S), (t+3S)…
Remarque : si les
éclipses sont pratiquement identiques tous les saros dans le repère
géocentrique, leurs observations à partir d'un point fixe de la surface
de la terre sera différente. Le saros représente un nombre entier de
jours plus 0,3213 jour. Pendant un saros, la terre effectue un nombre
entier de tours autour de l'axe de ses pôles plus 0, 3213tour ;
d'un saros au suivant, pour un observateur terrestre, l'éclipse se
décale vers l'ouest de 360.0,3213 = 116degrés.
La
durée du saros étant à la fois multiple de la durée du mois
synodique et de la durée du mois draconitique, elle est aussi
multiple de Ti, la durée entre deux traversées consécutives de la
ligne des nœuds (démonstration en remarque). Vérifions-le :
L'écart avec la valeur
entière 38 n'est que de 0,007 %. Par
saros, il y a donc 38 périodes favorables à l'existence d'éclipses
mais, pour les raisons déjà expliquées, chaque période ne donne pas
lieu à une éclipse : en moyenne par saros, on compte 13 éclipses
totales de lune et 15 éclipses partielles de lune.
Remarque : montrons
que, si la durée d'un saros est à la fois
multiple du mois synodique Tsy et du mois
draconitique Tdr , elle est aussi multiple de
la durée Ti .
Par substitution entre
(2) et (3), nous obtenons :
En utilisant la
définition du saros, la relation (5) devient :
d'où :
Les
livres d'astronomie et de nombreux sites internet présentent des
photos et des animations d'éclipses de lune. Par exemple :
http://xjubier.free.fr/site_pages/lunar_eclipses/TLE_20101221_pg01.html.
On constate que la lune, bien que dans l'ombre de la terre pour une
éclipse totale, reste constamment faiblement
éclairée, prenant au
passage dans la partie centrale de la zone d'ombre une coloration
rouge, plus ou moins sombre selon
les conditions climatiques, analogue à celle
d'un soleil couchant.
Expliquons d'abord pourquoi la lune est éclairée tout en
étant dans la zone d'ombre. Le phénomène qui
intervient s'appelle la réfraction de la
lumière : il s'agit de la déviation que subit la lumière
lorsqu'elle passe d'un milieu transparent dans un autre milieu
transparent de nature différente ; c'est
à cause de la réfraction que la partie immergée d'un bâton en partie
plongée dans l'eau ne semble pas dans le prolongement de la partie hors
de l'eau…
Envisageons
d'abord le modèle simplifié où la terre serait entourée d'une couche
d'air homogène sur une certaine épaisseur, cet ensemble terre – air
étant dans le vide conformément au schéma n° 30 ci-dessous. Un rayon lumineux provenant du
soleil subit, en pénétrant dans l'air au point A, une déviation ;
l'angle i2 est un peu inférieur à l'angle i1. La lumière se propage
ensuite dans l'air jusqu'au point B où elle subit une nouvelle
réfraction et donc une nouvelle déviation. Cette fois-ci la réfraction
de fait de l'air vers le vide et non l'inverse comme en A ;
l'inégalité d'angle est inversée ; i4 est supérieur à i3 de sorte
que la déviation se produit dans le même sens qu'en A. La
traversée de la couche d'air produit donc une déviation de la lumière
permettant l'éclairage d'un objet situé « derrière » la terre,
par rapport au soleil. La situation est
invariante par rotation autour d'un axe passant par le centre de la
terre et le centre du soleil.
R
emarque :
les lois sur la réfractions ont été établies par SNELL en Angleterre
et par DESCARTES en France ; plus de précisions à l'adresse
suivante :
http://www.astrosurf.com/astrofil/optique/Descartes.html
En réalité,
la situation est un peu plus complexe : l'air n'est pas tout à fait
homogène ; sa pression diminue lentement de la valeur au sol
(voisine de 1013 hectopascals) à une valeur pratiquement
nulle dès que l'altitude atteint quelques centaines de kilomètres. Cependant, il y
a toujours déviation de la lumière par réfraction en direction de la
zone d'ombre mais les rayons lumineux sont d'autant plus déviés que
l'air qu'ils traversent est dense. Ainsi, les rayons sont d'autant plus
déviés qu'ils arrivent du soleil en étant proches de la terre. Au delà
de quelques dizaines de kilomètres d'altitude, la déviation devient
négligeable.
Expliquons
maintenant pourquoi la lune apparaît rouge lorsqu'elle passe dans la
partie centrale de la zone d'ombre.
Le
fait que la couleur évoque celle du soleil couchant n'est pas un
hasard puisque l'origine de la coloration est la
même dans les deux cas :
le phénomène de diffusion de la lumière blanche par
l'air
et les divers aérosols qu'il contient.
Expliquons
maintenant pourquoi la lune apparaît rouge lorsqu'elle passe dans la
partie centrale de la zone d'ombre.
Le
fait que la couleur évoque celle du soleil couchant n'est pas un
hasard puisque
l'origine de la coloration est la même dans les deux cas :
le phénomène de diffusion de la lumière blanche par
l'air
et les divers aérosols qu'il contient.
On peut mettre le phénomène en évidence très simplement
conformément au schéma n° 31 ci-dessus.
On place trois ou quatre gouttes de lait
dans un verre que l'on remplit d'eau. On place alors le verre entre la
tête et une source de lumière blanche. La source lumineuse apparaît
jaune orangée. En revanche, le liquide observée dans une direction
perpendiculaire à la direction ampoule – verre apparaît bleuté. Ajoutons
quelques gouttes de lait supplémentaires (pas trop sinon le liquide
devient opaque) : la source apparaît maintenant rouge et le liquide bleu foncé.
Rappelons que la lumière blanche
correspond à la superposition d'ondes lumineuses de couleurs
différentes, toutes les couleurs de l'arc-en-ciel étant présentes. Une partie de la lumière traverse le liquide sans
modification.
Une autre partie de la lumière est
absorbée par les constituants du liquide (molécules d'eau, molécules du
lait) pour être aussitôt réémise dans toutes
les directions : c'est le phénomène de diffusion de la lumière. Sur le schéma 31, l'observateur de gauche ne reçoit que
de la lumière diffusée alors que l'observateur de droite reçoit la
lumière transmise composée de la lumière ayant traversé le liquide sans
modification et de lumière diffusée dans sa direction. Il
se trouve que les particules constituant le liquide diffusent beaucoup
plus la lumière bleue et la lumière violette que la lumière rouge. La sensibilité de l’œil à la
couleur violette étant plus faible que sa sensibilité à la couleur bleu,
la lumière diffusée apparaît bleue, la lumière transmise étant appauvrie en bleu et violet
par rapport à la lumière blanche apparaît jaune orangée si le milieu est peu diffusant et rouge sombre
si le milieu est très diffusant.
Remarque : le phénomène de diffusion
vérifie la loi de Rayleigh : l'intensité de la lumière diffusée est
inversement proportionnelle à la puissance quatre de la longueur d'onde
dans le vide. Ainsi à intensités égales des rayonnements violet et rouge
incidents, l'intensité
diffusée dans le violet ( =400nm)
est 12,4 fois plus intense que l'intensité diffusée dans le rouge ( =
750nm).
C'est grâce à ce phénomène de diffusion que le ciel paraît
bleu par beau temps. En
effet l'air est constitué de molécules (azote et oxygène
essentiellement) qui diffusent la lumière solaire. Imaginons d'abord la situation
d'un observateur terrestre vers midi solaire. La lumière solaire
transmise est faiblement appauvrie en bleu et violet car
l'épaisseur d'air traversée est minimale : le soleil apparaît
jaune. Si l'observateur regarde le ciel dans une direction autre que
celle du soleil, il reçoit de la lumière diffusée par les molécules
d'air situées dans la direction de son regard : le ciel lui
apparaît bleu. Le matin et le soir, la couche
d'air traversée est nettement plus importante, le phénomène de
diffusion est plus important, le soleil apparaît rouge (voir
schéma n° 32). Le phénomène de diffusion est
encore accentué par la présence dans l'air d'autres particules
diffusantes : molécules d'eau, molécules diverses issues de la
pollution : les plus beaux levés et couchés de soleil s'observent par
beau temps au-dessus de la mer car l'air y contient des molécules d'eau
obtenues par évaporation de l'eau de mer et
au-dessus des villes polluées.
Revenons à la lune dans la zone d'ombre de la terre en
tenant compte de ce qui vient d'être exposé sur la déviation et la
diffusion de la lumière solaire. En entrant ou
sortant de la zone d'ombre, la lune reçoit de la lumière peu déviée par
l'atmosphère, donc de la lumière ayant traversé les couches élevées de
l'atmosphère, là où la densité de l'air est faible et
donc les particules diffusantes peu concentrées :
la lune apparaît donc jaune. Dans la partie centrale de la zone
d'ombre, la lune reçoit une lumière ayant subie une déviation plus
importante, donc de la lumière ayant traversé les couches basses de
l'atmosphère, là où la densité de l'air est plus forte et les particules
diffusantes plus concentrées ; le phénomène de diffusion est donc
dans cette zone plus important ; la lune apparaît rouge. Bien sûr,
comme la coloration du soleil couchant, cette coloration est très
sensible à l'humidité de l'air traversé, donc au conditions
météorologiques.
Contrairement
aux éclipses de soleil dont la zone d'observation à la surface de la
terre est, nous allons le voir, très réduite, l'éclipse de lune est
visible dans toute l'hémisphère terrestre face à la lune. Pour un
observateur fixe à la surface de la terre, elle est visible tant que
la lune reste au-dessus de la ligne d'horizon. La durée de l'éclipse
(phases d'entrée et de sortie de la zone d'ombre comprises) pouvant
durer quelques heures, il n'est pas toujours possible d'observer
d'un lieu donné toutes les phases de l'éclipse : l'éclipse peut
commencer avant que la lune n'apparaisse à l'horizon ou elle peut se
terminer après que la lune ait disparu à l'horizon.
Il y a
éclipse de soleil
lorsque la lune
s'interpose entre lui
et la terre de
façon à empêcher le soleil d'éclairer
au moins partiellement une partie de
l'hémisphère terrestre situé face à lui. Une éclipse de soleil n'est donc possible que si les centres des
trois astres sont approximativement alignés. Le
schéma n° 32 montre clairement qu'une telle situation n'est possible
que si la lune et le soleil sont en conjonction (situation de type A
au paragraphe V.6.4). Bien sûr cette condition est nécessaire mais pas
suffisante, sinon il y aurait une éclipse de soleil à chaque nouvelle
lune soit tous les mois synodiques.
Retenons :
Remarque concernant
le schéma n° 32 : la ligne de centralité est la courbe représentant
les intersections successives de la surface de la terre avec la droite
passant par les centres de la lune et du soleil.
Autre
remarque : l'expression « éclipse de soleil » est
« consacrée par l'usage » et sera employée ici mais elle n'est
pas logique. Précédemment, nous disions qu'il y avait éclipse de lune
quand la lune était à l'ombre de la terre ; cette fois-ci, c'est la
terre qui est à l'ombre de la lune ; il serait
donc logique de parler d'éclipse de terre. On peut aussi dire
qu'il y a occultation partielle ou totale du soleil
puisque la lune cache à la vue d'un observateur sur terre tout ou partie
de l'hémisphère solaire face à lui.
Nous
utilisons les mêmes hypothèses simplificatrices que pour le schéma
n° 26 . Rappelons les données retenues : rayon terrestre :
RT =
6378km ; RS
= 109RT ; RL = 0,2725 ; dT-S = 23455RT; dT-L
= 60,4RT .
Commençons par rechercher la position du sommet S
du cône d'ombre en nous plaçant d'abord
dans le cas simple où les centres des trois astres sont alignés. Dans ce cas la distance entre les centres OS et OL
du soleil et de la lune vaut (dT-S – dT-L).
Soit d la distance
entre le centre de la lune et le sommet S. Le théorème de Thalès
conduit à :
Cela conduit
à :
soit :
d'où :
Or, la distance du
centre de la lune à la surface de la terre, au plus près de la lune,
est (dT-L – RT) = 59,4RT . Cette valeur est supérieure
à d : la terre n'appartient pas au
cône d'ombre ; il n'y a pas d'éclipse totale de soleil possible. Cette situation ne
correspond pas à celle du schéma n° 32 ; nous y reviendrons au
paragraphe suivant.
Les calculs précédents ont été fait avec les
valeurs moyennes des distances dT-S et dT-L
. La relation (1) montre que d augmente (le
cône d'ombre s'allonge) si (dT-S – dT-L)
augmente ; de plus, l'écart entre d
et (dT-L – RT) est relativement faible. On peut donc imaginer que le cône d'ombre rencontre la
terre pour des valeurs de (dT-S – dT-L) plus grande. Pour
vérifier cela, reprenons le calcul dans le
cas limite où dT-S est
maximum : 23846RT
et dT-L
minimum : 56,77RT
. La relation (1) conduit à :
Dans
cette configuration, la distance du centre de la lune au plus près de
la surface de la terre est (dT-L – RT)
= 55,77RT :
distance nettement inférieure à d ; une
portion de la surface terrestre appartient au cône d'ombre ; une
éclipse totale de soleil est possible. C'est une situation correspondant au schéma n° 32.
Conclusion :
nous sommes amenés à distinguer deux cas, suivant que le sommet S du
cône d'ombre est entre la lune et la terre ou à l'intérieur de la
terre.
C'est
une situation correspondant au schéma n° 34 ci-contre. Ce n'est pas
cependant la seule : le centre de la lune peut être un peu
au-dessus ou en dessous du pan de l'écliptique, il suffit que la
droite passant par les centres du soleil et de la lune rencontre
la terre (voir schéma n° 35) mais alors le cône d'ombre - ou
plutôt ici son prolongement - et le cône de pénombre
délimitent à la surface de la terre des zones dont les géométries
sont assez complexe…
Revenons à la
situation du schéma n° 34 dont nous donnons schéma n° 37 une coupe par
un plan perpendiculaire à l'écliptique contenant les centres du soleil
et de la lune. Dans le cas particulier où
l'observateur serait au sommet S du cône d'ombre, le soleil et la
lune aurait même diamètre angulaire ; la lune cacherait le soleil
à l'observateur ; il y aurait éclipse totale de soleil.
Mais que voit cet observateur avant et après
l'éclipse annulaire ? Le soleil et la
lune tournent dans le même sens, la vitesse de rotation de la lune
étant un peu plus de douze fois plus grande. De
la terre, on « voit » donc la lune passer devant le soleil.
Dans le repère géocentrique, la trajectoire
du centre de la lune est inclinée de l'angle i ( 5,15° environ) par
rapport au plan de l'écliptique, le sens est montant ou descendant
suivant que la lune est proche du nœud ascendant ou du nœud
descendant. Cependant, dans ce même repère, l'observateur terrestre
tourne autour de l'axe des pôles nettement plus vite dans le même
sens . L'observateur terrestre voit donc l'ensemble soleil – lune
se déplacer lentement vers l'ouest en montant ou descendant par
rapport à la ligne d'horizon selon l'heure, comme le ferait le soleil
en absence d'éclipse et en plus, la lune passe devant lui d'ouest en
est selon une inclinaison par rapport à l'horizon très variable selon
le lieu d'observation, la saison et l'heure. Le
schéma n° 38 ci-dessus reconstitue les principales étapes de
l'éclipse :
P1 : situation juste après le début
de l'éclipse partielle, c'est
à dire juste après le premier contact ;
P2 : fin de
l'éclipse partielle et début de l'éclipse annulaire
c'est à dire situation de deuxième
contact ;
P3 : maximum de
l'éclipse annulaire (c'est à cet instant qu'il fait le plus sombre sur
terre au lieu d'observation) ;
P4 : fin
de l'éclipse annulaire et début de l'éclipse partielle c'est à dire situation de troisième
contact ;
P5 : situation
peu avant la fin de l'éclipse partielle,
peu avant le quatrième
contact.
Remarque :
les livres d'astronomie ainsi que de nombreux sites internet publient
des photographies d'éclipses totales ; par exemple : #http://xjubier.free.fr/site_pages/solar_eclipses/ASE_20130510_pg02.html
P1 : situation juste après le début
de l'éclipse partielle c'est
à dire juste après le premier contact ;
P2 : situation
juste avant le début de l'éclipse totale qui correspond au deuxième
contact ;
P3 :
période d'éclipse totale, la terre est plongée dans l'obscurité ;
il est cependant possible d'observer de la lumière émise par les
couches de gaz très chaud entourant le soleil ; cette lumière peu
intense n'est pas observable en absence d'éclipse à cause de
l'éblouissement produit alors par la lumière solaire. Cette période
d'éclipse totale est
évidemment l'occasion pour les scientifiques d'étudier les propriétés
de gaz entourant le soleil ;
P4 : situation
d'éclipse partielle juste après la fin de l'éclipse
totale (juste après le troisième
contact);
P5 : situation
peu avant la fin de l'éclipse partielle qui correspond au quatrième contact.
Remarque :
les livres d'astronomie ainsi que de nombreux sites internet publient
des photographies d'éclipses totales ; par exemple : #http://xjubier.free.fr/site_pages/solar_eclipses/TSE_20080801_pg03.html
C'est une
situation très rare puisqu'elle se produit environ
tous les 160 ans : les distances dT-S
et dT-L sont telles à la nouvelle lune que
la distance d du centre de la lune au sommet du cône d'ombre est de
très peu supérieure à la distance (dT-L – RT) ; pour mieux comprendre, on peut revenir
aux calculs accompagnant le schéma n° 33 puis au schéma n° 32. Suivant le lieu d'observation sur la courbe de
centralité, la distance du centre de la lune à la surface de la
terre varie puisque la terre est sphérique :
pour certains lieux, cette distance sera supérieure à d : on
observera alors une éclipse annulaire, pour d'autres lieux, cette
distance sera inférieure ou égale à d : on observera une
éclipse totale. La dernière éclipse de ce
type s'est produite le 3 novembre 2013 : on a observé une
éclipse annulaire le matin au large de la Floride et plus tard, une
éclipse totale en Afrique. La prochaine se produira le 17 octobre
2172 !
Cette
détermination doit être faite au cas par cas puisque le phénomène
d'éclipse de soleil est très sensible aux variations des distances dT-S et dT-L . De plus, dès que le centres du soleil, de la lune et
de la terre ne sont plus alignés, le cône d'ombre délimite à la
surface de la terre une zone dont la géométrie n'est pas simple.
Néanmoins, pour donner un ordre de grandeur, on
se limite au cas simple évoqué en fin de paragraphe VI.2.2 : les
centres des trois astres sont alignés avec dT-S =23846RT
et dT-L = 56,77RT . On reprend schéma n° 40 le
schéma n° 36 en rajoutant, à la distance (dT-L – RT)
la trace de la surface de la terre dans le plan de figure. Cette trace
est rigoureusement un cercle de rayon RT mais, puisque les rayons des zones d'ombre et de
pénombre sont a priori petits devant le rayon de la terre, l'arc
de cercle qui nous intéresse sur cette figure est assimilable à un
segment perpendiculaire à la droite passant par les centres des trois
astres.
Le
théorème de Thalès conduit à :
Donc :
CD = 0,12915RL
= 0,12915.0,2725.RT = 224,5km.
Conclusion :
dans ce cas particulier, la zone d'ombre est un disque de rayon
112,25km.
Remarque : on
constate que le diamètre de la zone d'ombre est très inférieur au rayon
terrestre, ce qui justifie l'approximation précédente.
Le
théorème de Thalès conduit à :
Après
simplification :
Finalement :
KOL
= 59,3248RT .
Le
théorème de Thalès conduit à :
Soit :
HJ = 3,880.RL
= 3,88.0,2725.RT = 1,057RT = 6743,7km.
Ce calcul
conduit à une zone de pénombre de rayon extérieur égal à 3372km
environ ; ce calcul n'est pas exact : la distance HJ est du
même ordre que le rayon terrestre ; dans ces conditions,
assimiler la surface de la terre à un plan est une approximation très
grossière. Pour être rigoureux, il faudrait
rechercher l'intersection de la sphère terrestre avec le cône de
sommet K et de demi-angle au sommet .
La
distance du centre de la zone au bord de la zone d'ombre est
certainement supérieure à la valeur précédemment calculée de 3372km.
On peut faire un calcul analogue dans le cas
d'une éclipse annulaire : le centre du cône d'ombre étant alors
entre la lune et la surface terrestre que l'on continue localement à
assimiler à un plan perpendiculaire à la droite passant par les
centres des trois astres. On adapte le
schéma précédent n° 40 en adoptant les valeurs moyennes utilisées au
paragraphe VI.2.2 : dT-S
= 23455RT ; dT-L = 60,4RT ; d = 58,63RT
(voir schéma ci-dessous n° 41).
Le théorème de Thalès
appliqué aux triangles (SAB) et (SCD) conduit à :
Donc :
CD = 0,0263.RL
= 0,0263.0,2725.RT = 0,00716RT
= 45,6km.
Conclusion : dans ce
cas particulier, la zone d'observation de l'éclipse annulaire est un
disque de rayon égal à 22,8km.
Le théorème de Thalès
conduit à :
Après
simplification :
Finalement :
KOL
= 58,3406RT .
Le théorème de Thalès
conduit à :
Soit :
HJ = 4,036.RL = 4,036.0,2725.RT = 1,1RT = 7015km.
On obtient une valeur
très proche de celle obtenue au cas précédent. Les remarques sur la
validité du calculs sont les mêmes. La distance du
centre de la zone au bord de la zone d'ombre est certainement
supérieure à la valeur calculée de 3507km.
Conclusion :
puisque la terre tourne sur elle-même autour de l'axe de ses pôles, la zone de visibilité d'une éclipse totale ou
annulaire balaie d'ouest en est une bande
centrée sur la courbe de centralité dont la largeur est au plus de
quelques centaines de kilomètres (beaucoup moins si le sommet
du cône d'ombre est très près de la surface de la terre). La
bande où l'éclipse partielle est visible est beaucoup plus large, en
général plusieurs milliers de kilomètres.
Donnons un exemple :
lors de l'éclipse annulaire du 3 octobre 2005, la
zone de visibilité a traversé l'Espagne du nord-ouest vers le sud-est
avec une largeur de 180 km environ tandis que la zone de visibilité
de l'éclipse partielle avait une largeur d'environ 7600km.
Remarque :
l'inclinaison de la trajectoire de la lune par rapport au plan de
l'écliptique et l'obliquité de l'axe des pôles font que, si les
déplacements des zones d'ombre et de pénombre à la surface de la terre
se font d'ouest en est, ils s'accompagnent d'une variation de
latitude, augmentation ou diminution suivant la saison et le nœud au
voisinage duquel se trouve la lune.
Les
raisonnements du paragraphe VI.1.5 à propos des éclipses de lune
peuvent largement être repris en remplaçant « pleine
lune » par « nouvelle lune ». Bien sûr, la condition
d’existence d'une éclipse de soleil : « longitudes
écliptiques de la lune et du soleil très proches » est
nécessaire mais pas suffisante : sinon, on aurait une éclipse
de soleil à chaque nouvelle lune !
Pour
qu'il y ait éclipse de soleil, les centres des trois astres doivent
être approximativement alignés, sinon les cônes d'ombre et de
pénombre de la lune passent au-dessus ou en dessous de la terre. Cet
alignement n'est possible que si le centre de la lune est très
voisin d'un nœud à la pleine lune.
Conclusion :
l'éclipse de soleil n'est possible que si les
deux conditions suivantes sont réunies simultanément :
Remarque :
sur la sphère céleste, cela
revient à dire que, lors d'une éclipse de soleil, les centres du
soleil et de la lune sont très voisins du même nœud. Pour une éclipse
de lune, le centre du soleil est très proche d'un nœud et le centre de
la lune est proche de l'autre nœud.
Pour préciser un peu
mieux les positions possibles de la lune au voisinage d'un nœud qui
conduisent à une éclipse de soleil à la pleine lune, nous allons
envisager la position limite où la lune est en conjonction avec le
soleil (L = L') mais un peu au-dessus du plan de l'écliptique de
façon que la zone d'observation d'une éclipse annulaire entre juste en
contact avec la terre. Nous choisissons pour les calculs les valeurs
moyennes de dT-S
et dT-L . Le plan
de figure du schéma n° 42 est le plan contenant les centres des trois
astres qui est perpendiculaire au plan de l'écliptique. Bien sûr, la
figure n'est pas à l'échelle, les rayons des astres sont fortement
exagérés par rapports aux distances entre les astres. La droite
tangente aux trois astres aux points B, D et A est très peu inclinée
par rapport au plan de l'écliptique : il est possible de
considérer les droites BOS
, DOL et AO comme
toutes trois perpendiculaires au plan de l'écliptique et donc à l'axe
passant par les centres du soleil et de la terre. représente la latitude
écliptique de la lune.
Finalement :
Remarque :
le rayon de la lune ayant été fortement exagéré sur la figure, le
centre de la lune apparaît en dessous du point E alors qu'en réalité OL est situé entre D et E
puisque la distance DE calculée est supérieure au rayon de la lune.
Ainsi :
EOL = DE – DOL = 0,278RT
– 0,2725RT =
0,00561RT .
Donc :
HOL = HE + EOL = 1,00561RT
.
Le
triangle (OHOL)
étant rectangle, on peut calculer la tangente de la latitude
écliptique de la lune :
On peut aussi
envisager le cas limite où la lune est « sous » le plan de
l'écliptique avec le cône de visibilité de l'éclipse annulaire tangent
à la terre au voisinage du pôle sud. Par raison de symétrie, on
obtient une valeur opposé de la latitude écliptique. Cela conduit à
affirmer que, dans ces conditions particulières, l'éclipse annulaire
est possible si
est compris entre -0,954° et +0,954°. Pour en
déduire une condition sur la longitude écliptique, on peut remarquer
qu'au voisinage immédiat d'un nœud, la variation de longitude
écliptique est liée à la latitude
écliptique par la relation :
Cela
conduit à =
10,58°.
D'où
la conclusion valable pour les valeurs
moyennes de dT-S
et dT-L :
l'éclipse de soleil annulaire est possible si les deux
conditions sont vérifiées simultanément :
Pour obtenir une condition sur l'existence d'une
éclipse partielle, il suffit de remplacer le cône de visibilité par
le cône de pénombre (voir schéma n° 43).
On
a toujours : DE = 0,278RT . En revanche :
HOL = HE + ED + DOL = RT
+ 0,278RT +
0,2725RT = 1,55RT
.
D'où
la conclusion valable pour les valeurs
moyennes de dT-S
et dT-L :
l'éclipse de soleil partielle est possible si les deux conditions sont vérifiées
simultanément :
En comparant ces résultats à ceux obtenus pour les éclipses
de lune au paragraphe VI.1.5, on constate que les conditions pour les
éclipses de soleil sont un peu moins restrictives : les éclipses de soleil sont donc un peu plus fréquentes
que les éclipses de lune. Cependant les
éclipses totales ou annulaires de soleil sont beaucoup plus
spectaculaires et surtout affectent une zone très réduite de la
surface terrestre ; elles revêtent donc toujours un caractère
exceptionnel. Par exemple,
si on se limite aux éclipses totales ou
annulaires visibles sur une partie du territoire français
métropolitain, la dernière s'est produite le 11 août 1999 et la
prochaine aura lieu le 5 novembre 2059 !
On peut trouver au
mot « durée » deux significations dans ce
contexte : d'abord la durée de visibilité de l'éclipse pour un
observateur fixe en un point de la surface terrestre ; mais aussi
la durée de la période pendant laquelle l'éclipse est visible en un
point quelconque de la terre.
Dans
le repère géocentrique, la terre tourne 27 fois plus vite sur
elle-même que ne tourne la lune autour de la terre et 365 fois plus
vite que ne tourne le soleil autour de la terre. Pour
un calcul d'ordre de grandeur, on peut considérer la lune et le soleil
comme pratiquement immobile dans le repère géocentrique ; la
durée de visibilité de l'éclipse étant
ainsi la durée mise par l'observateur pour traverser le cône d'ombre
(cas d'une éclipse totale) ou le cône de visibilité (cas d'une éclipse annulaire). Dans
le cas général, le calcul n'est pas simple pour de nombreuses
raisons :
- si le
centre de la lune n'est pas exactement confondu avec un nœud, la
géométrie de l'intersection du cône avec la terre n'est pas
simple ;
- si
l'observateur n'est pas sur la ligne de centralité, il ne traverse pas
la zone d'observation dans sa plus grande largeur ;
- la
vitesse de l'observateur par rapport au repère géocentrique dépend
beaucoup de la latitude ; si l'observateur est sur l'équateur,
il parcourt 40000km en 24h ; à la latitude de 45°, la longueur
du parallèle n'est que de 28284km qui est aussi parcourue en 24h…
Pour
les valeurs moyennes de dT-S
et dT-L , dans les mêmes conditions d'observation que précédemment,
la zone de visibilité de l'éclipse annulaire est un disque de diamètre
45,6km, ce qui conduit à une durée d'observation à l'équateur :
Plus
généralement, on peut dire que la durée de visibilité diminue lorsque
l'observateur s'éloigne de la ligne de centralité et qu'elle est
d'autant plus courte que le sommet S du cône d'ombre est proche de la
terre. Les durées sont donc particulièrement courtes pour les éclipses
hybrides. Ces durées sont en général de
quelques minutes, ce qui renforce
évidemment le caractère exceptionnel de ces éclipses déjà évoqué.
Pour
les éclipses partielles, le raisonnement précédent conduit sur
l'équateur, pour les valeurs moyennes de dT-S et dT-L , à :
Ce
calcul est évidemment très grossier : la zone d'observation n'est
pas assimilable à un disque et il est impossible de considérer la lune
et le soleil comme immobiles dans le repère géocentrique sur une
telle durée. Retenons néanmoins que la durée
d'observation de l'éclipse partielle est toujours très longue devant
celle de l'éclipse totale ou annulaire, elle
est en général de quelques heures
Citons quelques
exemples :
- éclipse totale du 11
août 1999 visible dans le nord de la
France : la durée de l'éclipse totale, au voisinage de la ligne
de centralité a été d'environ 2min17s, celle de l'éclipse partielle de
2h42min.
- éclipse annulaire du
3 octobre 2005 visible
en Espagne : au voisinage de la ligne de centralité la durée de
l'éclipse annulaire a été de 4min11s, celle de l'éclipse totale de
2h43min.
- éclipse hybride du 3
novembre 2013 visible sous forme totale au Gabon : au voisinage de la ligne de
centralité la durée de l'éclipse totale a été de 1min7s, celle de
l'éclipse totale de 3h 2min.
La durée de visibilité de l'éclipse totale ou annulaire
est la durée pendant laquelle le cône d'ombre (pour une éclipse
totale) ou le cône de visibilité (pour une éclipse annulaire)
rencontre une zone quelconque de la terre. Pour avoir un ordre de
grandeur de cette durée nous nous plaçons dans le cas où dT-S et dT-L ont leurs valeurs moyennes. Au
maximum de l'éclipse, L = L' = (ou
+ 180° : cela ne change rien au
raisonnement). Nous supposons la durée à calculer suffisamment courte
pour que la distance du centre OL de la lune au plan de l’écliptique reste
négligeable : les centres des trois astres restent dans le plan
de l'écliptique qui est le plan de la figure du schéma n° 44.
La fin de l'éclipse
annulaire correspond à la disparition à l'est, c'est à dire au cas
limite où le cône de visibilité est tangent à la terre à l'est. Il
s'agit de la situation symétrique de la précédente par rapport à
l'axe (OOS) ;
la longitude écliptique de la lune est alors : L' = L + . La
durée de visibilité à la surface de la terre est donc la durée
nécessaire à la lune pour que sa longitude écliptique augmente de 2 par
rapport à celle du soleil. Or la lune tourne de 360° par rapport au
soleil en un mois synodique soit en 29,53jours. La durée de visibilité
de l'éclipse annulaire est ainsi :
Le raisonnement est
analogue pour la durée de l'éclipse partielle : il suffit de
remplacer le cône de visibilité par le cône de pénombre conformément
au schéma n° 45.
Les calculs se mènent comme dans la situation du
schéma n° 43 ; on obtient pour la valeur précédemment obtenue pour :
= 1,47°. La
durée de visibilité de l'éclipse partielle est ainsi :
Quelques exemples pour juger de la pertinence des calculs :
- l'éclipse totale du
11 août 1999 a d'abord été visible au large
de la côte est des États-Unis et a cessé de l'être au large de la côte
est de l'Inde ; l'éclipse totale a été
visible pendant 3h6min
et l'éclipse partielle pendant 5h14min ;
- l'éclipse annulaire
du 3 octobre 2005 a commencé à être visible au milieu de l'océan atlantique et
a cessé de l'être au milieu de l'océan
indien ; l'éclipse annulaire a été
visible pendant 3h41min et
l'éclipse partielle pendant 5h53min ;
- l'éclipse hybride du
3 novembre 2013 a commencé à être visible au
large de la Floride et a cessé de l'être à la corne de l'Afrique. La durée cumulée de visibilité de l'éclipse annulaire et de l'éclipse totale a été de 3h23min, la durée de visibilité
de l'éclipse partielle a été de 5h23min.
Nous
avons montré que les conditions d'existence des éclipses de soleil
sont analogues à celles d'obtention des éclipses de lune : il
suffit juste de remplacer « pleine lune » par
« nouvelle lune ». Or, la durée entre deux nouvelles lunes
consécutives est égale à la durée entre deux pleines lunes
consécutives : un mois synodique. Les résultats concernant la
périodicité des éclipses de soleil sont donc identiques à ceux
concernant les éclipses de soleil et les propriétés du saros
s'appliquent aussi aux éclipses de soleil. Pour des raisons déjà
expliquées, les éclipses de soleil sont un peu plus
fréquentes : par saros, on dénombre en moyenne 28 éclipses de
soleil annulaires ou totales et 15 éclipses partielles de soleil
alors que l'on comte en moyenne 13 éclipses totales de lune et 15
éclipses partielles de lune.
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