L'idée de ce document m'est venue lorsqu'un ami a construit un planétaire
reproduisant les mouvements du soleil et de la lune par rapport à la terre. Les
principaux termes utilisées pour définir l'heure, caractériser les positions des
astres dans le ciel, construire un calendrier et comprendre le phénomène
d'éclipses sont définis : écliptique, obliquité, précession, nutation, jour stellaire,
jour sidéral, jour solaire, année sidérale, année tropique, équation du temps,
mois lunaire, éclipses de lune, éclipses de soleil, calendriers de type solaire,
lunaire ou luni-solaire, libration, marées … Puisque ce planétaire est animé par
une horloge mécanique de précision, une annexe sur le principe des balanciers
compensés en température a été ajouté (annexe n° 6). J'ai essayé de rendre cet
exposé abordable à tout esprit curieux, même peu féru de mathématique et de
physique. Les lecteurs soucieux d'approfondir leurs connaissances trouverons
des références de sites internet et des renvois sous forme d'annexes en fin de
document, plus complets et plus précis. Les données astronomiques utilisée sont
le plus souvent celles publiées par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul
des Éphémérides (I.M.C.C.E.); elle sont disponibles sur internet à l'adresse
suivante: http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/. J'ai également utilisé
certaines données figurant dans le livre de Jean MEEUS: «Calculs
Astronomiques à l'usage des amateurs»; ce livre est publié par la Société
Astronomique de France. Les valeurs précises d'un certain nombre de constantes
ont été obtenues sur un site de l'Observatoire de Paris à l'adresse suivante:
http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants_fr.html.
Des précisions et des photographies sur le planétaire évoqué plus haut sont
disponibles à l'adresse suivante:http://emmanuel-bouquet.fr/
Toute critique constructive et toute question seront les bienvenues à
l'adresse mél suivante: sassiere@vanoise49.fr
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Table des matières
Partie I: Quel référentiel choisir pour un planétaire?.........................................................................3
I.1. Choix d'un référentiel héliocentrique?.....................................................................................4
I.2. Choix d'un référentiel géocentrique?........................................................................................5
I.3. Choix d'un référentiel terrestre ?...............................................................................................7
Partie II: Comment repérer un astre dans le ciel?...............................................................................7
Partie III: jour sidéral et jour solaire....................................................................................................8
III.1. Définition du jour solaire........................................................................................................9
III.2. Jour solaire vrai et jour solaire moyen....................................................................................9
III.3. Jour solaire moyen et jour stellaire.......................................................................................11
Partie IV: influence de la précession des équinoxes..........................................................................13
IV.1 Année sidérale et année tropique............................................................................................13
IV.2. Année civile: calendriers julien et grégorien........................................................................16
IV.3. Jour stellaire et jour sidéral...................................................................................................16
Partie V: mouvement de la lune........................................................................................................18
V.1 Complexité du mouvement......................................................................................................18
V.2 Description simplifiée du mouvement de la lune dans le référentiel géocentrique; mois
anomalistique.................................................................................................................................19
V.3 Orientation de la trajectoire dans l'espace...............................................................................20
V.4 Influence du soleil sur l'inclinaison de la trajectoire...............................................................21
V.5 Influence du soleil sur la forme et l'orientation de la trajectoire.............................................23
V.6 Les différentes périodes lunaires ou mois lunaires..................................................................24
........................................................................................................24
....................................................................................................................24
.................................................................................................................25
..........................................................................................................25
V.6.5 Les phases de la lune.......................................................................................................26
V.6.6 mois synodique................................................................................................................28
V.6.7. Application aux calendriers solaire, lunaire et luni-solaire............................................29
V.6.8. Rotation propre de la lune...............................................................................................30
V.6.9. Libration de la lune.........................................................................................................31
V.6.9.a) Libration parallactique............................................................................................33
V.6.9.b) Libration en longitude.............................................................................................34
V.6.9.c) Libration en longitude.............................................................................................36
V.6.9.d) Synthèse sur la libration..........................................................................................36
Partie VI: les éclipses........................................................................................................................37
VI.1 Les éclipses de lune...............................................................................................................37
...............................................................37
VI.1.2. Ombre et pénombre.....................................................................................................37
VI.1.3. Largeurs des zones d'ombre et de pénombre................................................................38
VI.1.4. Estimation de la durée d'une éclipse.............................................................................40
VI.1.5. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de lune.............................41
VI.1.6.Prévision et périodicité des éclipses de lune; le saros...................................................44
VI.1.7.Influence de l'atmosphère terrestre: déviation et diffusion de la lumière.....................46
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VI.1.8. Conditions de visibilité d'une éclipse de lune...............................................................49
VI.2 Les éclipses de soleil.............................................................................................................49
VI.2.1. Définition et première condition d'obtention................................................................49
VI.2.2. Ombre et pénombre.....................................................................................................50
VI.2.3. Cas où le sommet du cône d'ombre est entre la lune et la terre: éclipse annulaire de
soleil.........................................................................................................................................51
VI.2.4. Cas où le sommet du cône d'ombre est à l'intérieur de la terreou à la surface de la terre
: éclipse totale de soleil............................................................................................................53
VI.2.5. Éclipse de soleil hybride...............................................................................................54
VI.2.6. Zones d'observations d'une éclipse de soleil.................................................................54
VI.2.7. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de soleil...........................57
VI.2.8. Durées de visibilités des éclipses de soleil...................................................................59
VI.2.8.a) Durée de visibilité pour un observateur fixe.............................................................59
VI.2.8.b) Durée de visibilité à la surface de la terre................................................................61
VI.2.9. Périodicité des éclipses de soleil; le saros....................................................................62
Pour comprendre l'importance de cette question, partons d'une situation simple
facile à imaginer: un cycliste roule à vitesse constante en ligne droite et intéressons-
nous au mouvement d'un point à la périphérie d'une roue (point au plus près de la
valve par exemple). Quel est le mouvement de ce point? Deux (au moins) points de vue
sont possibles.
Première description: celle du cycliste regardant sa roue: le point est animé
d'un mouvement circulaire à vitesse constante autour de l'axe de la roue.
Cemouvement est alors décrit par rapport à un solide de référence: ici le cadre du
vélo. Ce solide de référence est appelé « référentiel du mouvement».
Remarque: se pencher pour regarder la roue n'est pas très commode; on peut aussi se demander ce
qu'enregistrerait une webcam fixée au vélo par une perche de façon à rester dans l'axe de la roue...
Deuxième description: celle faite par un spectateur immobile par rapport à la
terre, regardant le cycliste passer. Le référentiel est cette fois-ci la terre. Le
mouvement est alors beaucoup plus complexe: la trajectoire est une courbe appelée
cycloïde. La figure du schéma n° 1 représente les positions successives tous les
centièmes de seconde d'un point à la périphérie d'une roue de 0,70m de rayon lorsque
le vélo se déplace par rapport à la terre à la vitesse de 36km/h (10m/s).
Remarque: cette fois-ci, la webcam serait fixée au bord de la route et filmerait la roue passant
devant elle...
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Cet exemple montre clairement que, selon que l'on choisit un référentiel ou un autre, la
description du mouvement peut être radicalement différente.
Revenons maintenant à l'astronomie et plus précisément au système solaire.
C'est le point de vue qu'adopterait un observateur (évidemment fictif…) placé au
centre du soleil face à une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme
fixe. Pour faciliter la description ultérieure des mouvement des planètes, on associe au
référentiel héliocentrique un repère dit «repère héliocentrique». L'origine de ce repère
est le centre du soleil, ses trois axes pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées
pour être considérées comme fixes.
Remarque: si cette idée «d'étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes» vous
intrigue, imaginez la situation simple suivante: vous êtes au bord de la mer et regardez un bateau à
l'horizon. Le bateau semble immobile et pourtant il se déplace à la surface de l'eau à une vitesse de
quelques dizaines de kilomètres par heure. Alors bien sûr: les étoiles se déplacent par rapport au
système solaire à des vitesses bien supérieures à celle du bateau mais elles sont tellement plus
éloignées: au moins quarante mille milliards de kilomètres soit au moins 267000 fois la distance
moyenne terre-soleil!
Le mouvement des principales planètes du système solaire dans ce référentiel a
été bien décrit par Képler au début du XVIIième siècle puis étudié théoriquement par
Newton à la fin du même siècle. Le centre de chaque planète décrit un mouvement
plan, tous ces plans ayant un point commun: le centre du soleil. Le plan particulier
contenant le centre du soleil et la trajectoire de la terre est appelé «plan de
l'écliptique». En réalité, les plans des trajectoires des autres planètes sont très peu
inclinés par rapport au plan de l'écliptique (au maximum 7° pour Mercure; 1,8° pour
Mars). Les trajectoires sont des ellipses de très faibles excentricités admettant le
centre du soleil comme foyer. Dans ces conditions, on considère souvent, de façon un
peu simplifiée, que tous les centres des planètes décrivent des cercles concentriques et
coplanaires autour du centre du soleil de rayons différents. On appelle «année
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schéma n° 1
sidérale» pour une planète la période du mouvement de son centre, c'est à dire la
durée nécessaire pour effectuer un tour complet, la mesure étant effectuée dans ce
repère héliocentrique. Ainsi une année sidérale terrestre vaut 365,256363004 jours
alors qu'une année sidérale de mars vaut environ 687 jours.
Remarque 1: des animations du système solaire ainsi que des informations complémentaires sont
disponibles sur le site du CNES: http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7626-le-systeme-solaire-en-
version-interactive.php
Remarque 2: pour plus de précisions sur les ellipses et leurs excentricités: voir annexe n°1.
On voit que le référentiel héliocentrique serait bien adapté à un planétaire
présentant les mouvements des différentes planètes mais les mouvements des
satellites de ces planètes seraient difficiles à
reproduire mécaniquement (cas de la lune par
exemple) …
C'est le point de vue qu'adopterait un
observateur (évidemment fictif…) placé au centre
de la terre face à une étoile suffisamment
éloignée pour être considérée comme fixe.
Comme pour le référentiel héliocentrique, on associe à ce référentiel un «repère
géocentrique» dont l'origine est le centre de la terre et dont les trois axes pointent vers
trois étoiles fixes. Ainsi le repère géocentrique et le référentiel héliocentrique tournent
l'un par rapport à l'autre, les différents axes gardant des directions fixes. Un
mathématicien dirait que les deux repères sont en translation elliptique l'un par
rapport à l'autre…
Pour un observateur géocentrique, c'est bien sûr le soleil qui tourne autour de la
terre! Dans le repère géocentrique, le centre S du soleil décrit dans le plan de
l'écliptique une ellipse de faible excentricité identique à celle obtenue dans le repère
héliocentrique. La durée d'un tour est la même: une année sidérale.
Remarque: cette affirmation est démontrée en annexe n°2.
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schéma n° 4
schéma n° 3
schéma n° 2
En revanche les trajectoires des centres des autres planètes dans le repère
géocentrique sont assez complexes. Le schéma n° 3 représente dans le repère
héliocentrique les trajectoires des centres de la terre (en bleu) et de mars (en rouge)
sur une durée d'une année sidérale de la planète mars à partir du 1 janvier 2015. Le
schéma n° 4 représente dans le repère géocentrique les trajectoires des centres du
soleil (en bleu) et de mars (en rouge) sur la même durée. Les axes sont gradués en
unités astronomique (une unité astronomique représente environ 150 millions de
kilomètres). La figure de gauche illustre les propos tenus précédemment sur la vision
héliocentrique des planètes. La figure de droite montre la trajectoire quasi circulaire
du soleil mais aussi la complexité de la trajectoire de mars: celle-ci n'est pas fermée,
on ne peut plus parler de mouvement périodique. On observe en mai-juin 2016 un
phénomène curieux: au lieu de tourner régulièrement dans le même sens que le soleil,
mars semble repartir en arrière tout en se rapprochant fortement de la terre pour re-
prendre ensuite une trajectoire régulière: on parle de «rétrogradation» de mars.
Dans ces conditions, réaliser un planétaire représentant les différentes planètes
et le soleil du point de vue géocentrique serait tout à fait impossible. Cependant, le
planétaire cherche à visualiser les positions relatives de trois astres seulement: la
terre, le soleil et la lune. Nous venons de le voir: le mouvement du soleil dans le repère
géocentrique est simple; nous le verrons bientôt: le mouvement de la lune est un peu
plus compliqué à simuler dans le repère géocentrique mais beaucoup moins qu'il ne le
serait dans le repère héliocentrique. La conclusion s'impose: le planétaire adopte le
point de vue géocentrique.
Dans ce repère géocentrique, le centre de la terre est fixe mais la terre n'est pas
immobile pour autant: elle
tourne sur elle-même autour
de l'axe de ses pôles à raison
d'un tour par jour stellaire.
Un jour stellaire a pour durée:
23h56min4,1s. Nous verrons
bientôt l'explication de la
différence entre le jour stellaire
et le jour de 24h. Au cours du
temps, l'axe des pôles garde une
direction inclinée d'un angle ε =
23°26' par rapport à la
perpendiculaire au plan de
l'écliptique. Cet angle ε est ap-
pelé obliquité de l'écliptique.
Remarque 1: de nombreux sites pro-
posent des animations réussies des
mouvements de mars, de la terre et du
soleil dans les référentiels héliocen-
trique et géocentrique; par exemple:
http://www.jf-noblet.fr/mouve2/planetes.htm
Remarque 2 : le fait que la direction de l'axe des pôles reste pratiquement fixe sur une année est
responsable du phénomène des saisons. Le très lent mouvement de cet axe sera décrit dans la partie
II. Pour plus de précisions on peut consulter le site suivant:
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schéma n° 5
http://philippe.boeuf.pagesperso-orange.fr/robert/astronomie/saisons.htm
Remarque 3: on confond souvent jour stellaire et jour sidéral; il est vrai que la différence entre
leurs durées n'est que de 8,37 millièmes de seconde! Nous expliquerons cela dans la partie IV.
!
C'est le point de vue le plus familier: celui d'un observateur (bien réel celui-là ! )
immobile à la surface de la terre et regardant le ciel. Compte tenu de la rotation de la
terre autour de l'axe des pôles et d'une obliquité non nulle, les mouvements de la lune
et du soleil dans ce référentiel sont extrêmement compliqués: pas question de
construire un planétaire dans ce référentiel. Cependant, pour des raisons autant
historiques que pratiques, l'heure est définie à partir du mouvement du soleil
dans ce référentiel et le planétaire doit aussi faire office d'horloge; la différence
entre les durées sidérales (mesures dans le repère géocentrique) et les durées
terrestres (mesures dans un repère terrestre) est source de bien des difficultés
théoriques et de bien des engrenagesdans un planétaire ! C'est ce que nous allons voir
dans la suite!
Remarque: l'annexe n° 4 apporte quelques précisions sur les choix des engrenages à utiliser.
Partie II: Comment repérer un astre
dans le ciel?
Dès que les distances entre un
observateur et les objets qu'il regarde
deviennent très supérieures à l'écartement de
ses deux yeux ( ce qui est évidemment le cas
pour l'observation des astres ), le sens du relief
est perdu : impossible, en regardant deux
astres, de dire lequelest le plus éloigné ; on peut
seulement ( à l'aide d'une lunette astronomique
par exemple) définir leurs directions respectives.
Puisque les distances importent peu pour la
suite de notre étude, nous allons définir la
sphère céleste de la façon suivante: c'est une
sphère de rayon arbitraire ayant pour
centre le centre de la terre; elle est fixe
dans le repère géocentrique. Tout astre
autre que la terre est représenté sur cette
sphère par un point qui est l'intersection de la
sphère céleste avec la droite passant par le centre de la terre et le centre de l'astre
considéré. Les étoiles, considérées comme très éloignées du système solaire, y sont
représentées par des points fixes.
L'intersection de la sphère avec le plan de l'écliptique est un cercle appelé éclip-
tique. Il est fixe sur la sphère céleste. Le point N: intersection de la sphère céleste
avec la perpendiculaire au plan de l’écliptique est donc fixe. Le point représentant le
soleil sur la sphère céleste se déplace sur l'écliptique dans le sens direct indiqué par la
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!"
flèche sur la figure. Les intersections de l'axe des pôles avec la sphère céleste sont les
deux pôles célestes nord et sud notés respectivement P et P' sur la figure du schéma n°
6. L'intersection de la sphère céleste avec le plan passant par le centre O de la terre et
perpendiculaire à l'axe des pôles constitue l'équateur céleste. L'angle entre le plan de
l'équateur et le plan de l'écliptique est l'obliquité ε déjà défini, c'est aussi l'angle entre
les droites (OP) et (ON) . L'écliptique coupe l'équateur céleste en deux points
diamétralement opposés notés γ et γ'. L'instant où le soleil passe par γ correspond
à l'équinoxe de printemps. Le point γ est appelé point vernal. Le passage du
soleil au point γ' correspond à l'équinoxe d'automne.
Remarque 1: la position du point vernal étant connu, la position sur la sphère céleste d'un astre
quelconque M peut se repérer par deux mesures d'angles appelées coordonnées équatoriales de
M: l'angle α appelée ascension droite et l'angle δ appelé déclinaison. (voir schéma n° 6)
Remarque 2: la direction de l'axe des pôles n'est en réalité
pas tout à fait fixe dans le repère géocentrique. Par effet
gyroscopique, un peu comme l'axe d'une toupie en rotation,
l'axe des pôles (OP) tourne autour de la perpendiculaire
(ON) à l'écliptique en gardant avec elle l'angle ε fixe. Ce
mouvement est une précession. Sur la sphère céleste, le
point P tourne autour du point N à vitesse constante, dans
le sens rétrograde ( sens inverse au sens de déplacement du
soleil sur l'écliptique ) effectuant un tour en un peu moins
de 26000 ans. Ce mouvement est donc très lent mais il a
néanmoins des conséquences pratiques, on parle de
précession des équinoxes. Le plan de l'équateur restant
constamment perpendiculaire à (OP), son orientation par
rapport à l'écliptique se modifie, entraînant un lent
mouvement de rotation du point vernal dans le sens
rétrograde: 50'' par an environ (voir schéma n° 7 ).
Remarque 3: la théorie de l'effet gyroscopique est étudiée
en 2ième ou 3ième année d'études scientifiques après le
baccalauréat. Nous ne l'abordons pas ici. Une étude théorique et une animation sont proposées à
l'adresse suivante:
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/gyroscope/theorie_gyroscope.htm
Remarque 4: en réalité, l'obliquité ε n'est pas tout à fait fixe. Cette valeur oscille autour de la
valeur moyenne ( 23°26') avec une amplitude extrêmement faible (17,2'') et une période de 18,6 ans.
Ce phénomène appelé nutation est négligé tant dans cette étude que lors de la construction de
planétaire.
""
Pour construire un calendrier, c'est-à-dire attribuer une date à chaque instant, il
faut deux choses:
* définir une unité de temps par référence à un phénomène périodique;
* choisir un instant particulier auquel on attribue arbitrairement une date.
Comme le montre la diversité des système de calendriers à travers le monde, de
nombreux choix sont possibles. Nous nous limitons au système utilisé en France.
Pour des raisons historiques et pratiques, le phénomène retenu est le
mouvement du soleil par rapport à la terre.
Pour repérer la position locale du soleil, il faut commencer par définir un
système de coordonnées locales adapté: le système de coordonnées horizontales.
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!"#
Soit un point d'observation (noté Ob) à la surface
de la terre. La verticale du lieu rencontre la sphère
céleste en un point nommé zénith. Le plan
horizontal passant par le point Ob est le plan de
l'horizon céleste. Vue du point Ob, la position du
centre du soleil peut être définie par deux angles:
* la hauteur h sur l'horizon: angle entre le plan
de l'horizon et la droite passant par Ob et le centre
du soleil; ainsi h=90° correspond au soleil au
zénith,
h = 0° correspond au soleil à l'horizon;
* l'azimut A est l'angle entre le plan vertical
contenant le centre du soleil et le point Ob et la
direction du nord géographique. Ainsi l'est
géographique correspond à A = 90°, le sud
géographique à A = 180°… (voir schéma n° 8).
Remarque: il existe une relation simple
entre la hauteur h sur l'horizon et la
déclinaison δ définie schéma n° 6.
Faisons un nouveau schéma (schéma n°
9) avec pour plan de figure le plan
méridien contenant l'axe des pôles et le
centre M d'un astre observé. On fait
apparaître la latitude L: angle entre la
droite (O m) et la droite (O Ob). On trace
la parallèle à la droite (O m) passant
par l'observateur Ob (notée (Ob X). On
retrouve la latitude comme angle entre
cette droite et la verticale locale. L'angle
L' visualisé sur le schéma représente la
différence (h - δ). L'angle entre
l'horizontale et la verticale vaut 90° mais
aussi la somme (L + L' ). Cela permet
d'écrire les relations:
L + h - δ = 90° ou: δ = L + h – 90
#$"
Par convention, il est midi solaire en un point de la terre lorsque le soleil
y culmine, c'est à dire est le plus haut sur l'horizon le jour considéré. Le soleil indique
alors le sud géographique, son azimut vaut 180°. Il est donc midi solaire au même
instant pour tous les points d'un même méridien. La date dépend donc de la longitude
du lieu, d'où la nécessité de choisir un méridien de référence: par convention celui
passant par l'observatoire de Greenwich près de Londres. Par convention, un jour
solaire représente la durée entre deux culminations successives du soleil en
un même lieu à la surface de la terre.
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On dit fréquemment en France que le
temps légal a une heure d'avance sur le soleil
(sauf l'été où cette avance est de 2h), autrement
dit, qu'il est midi solaire à 13h légale (ou 14h
l'été) . Est-ce rigoureusement exact? Pour
répondre à la question, un observateur placé sur
le méridien de Greenwich peut photographier le
soleil à «midi solaire» un grand nombre de jours
de l'année et superposer les photos.
Remarque : midi solaire à Greenwich correspond à 12h
l'hiver et à 13h l'été car les Anglais , sauf l'été,
«marchent à l'heure solaire anglaise» et les Français à
l'heure solaire allemande...) De nombreux sites
internet publie le résultat .
Quelques commentaires sur cette photographie :
* La hauteur du soleil sur l'horizon varie
fortement suivant la saison; cela s'explique par
l'inclinaison de l'axe des pôles par rapport au plan
de l'écliptique. La hauteur est maximale au
solstice d'été (aux environs du 21 juin) et
minimale au solstice d'hiver (aux environs du 21
décembre).
* Sur la photo, la direction sud est matérialisée par l'antenne de télévision. Si le jour
solaire avait une durée fixe de 24h, le soleil serait toujours au sud à 12h pour un
observateur situé sur le méridien de Greenwich. Sur la photo toutes les images du
soleil seraient alignées sur une verticale. La durée du jour solaire varie donc en
fonction de la saison. Cependant, des mesures sur de longues périodes (plusieurs
dizaines d'années) ont montré que la valeur moyenne de cette durée est stable. Cela
permet de définir les unités de durée:
Par convention, la durée moyenne du jour solaire vaut 24h soit
24x60=1440min soit 1440x60=86400s.
Précision: la courbe du schéma n° 10 repré-
sente les différences entre les durées de
chacun des 365 jours solaires de l'année
2015 et 24h. Les écarts restent toujours
faibles: un rallongement maximum d'envi-
ron 30s au début de l'hiver et un raccourcis-
sement maximum d'environ 22s au début de
l'automne. Cependant les écarts se cu-
mulent au fil des jours et l'écart entre 12h
(heure d'hiver à Greenwich) et midi solaire
vrai (toujours à Greenwich) peut prendre
des valeurs nettement plus importantes. Ainsi le soleil est en avance d'environ
16,5min sur le temps moyen début novembre (position à droite de l’antenne sur la
photo) et en retard d'environ 14min vers le 11 février (position à gauche de l'antenne
sur la photo). La photo n’étant pas très précise, nous reproduisons ci-dessous
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schéma n° 10
l'ensemble des positions successives du centre du soleil sur la sphère céleste, vue d'un
observateur situé à Greenwich à midi solaire moyen soit 12h (ou 13h l'été), au cours de
l'année 2015. L'ensemble des positions successives forme une courbe appelée
analemme. La courbe du schéma n° 11 représente l'analemme telle qu'elle peut être
déterminée expérimentalement: mesures des azimuts (en degrés) portées sur l'axe
horizontal, mesures des hauteurs (en degrés) portées sur l'axe vertical. La courbe de
droite correspond aux mêmes mesures mais les grandeurs portées sur les axes dont
modifiées:
* Pour rendre l'analemme indépendant de la latitude, on porte sur l'axe vertical les
déclinaisons en utilisant la formule déjà démontrée: δ = L + h – 90 . Sachant que la
latitude de l'observatoire de Greenwich est: L = 51,477°, on obtient: δ =h – 38,523°.
* On sait que la terre tourne d'un tour, soit 360°, par rapport au soleil en environ 24h
soit 1440min (à une demie minute près suivant les jours…); elle tourne donc par
rapport au soleil d'un degré toutes les 4min. En multipliant par 4min les différences
entre les azimuts mesurés en degrés et 180° , nous obtenons les écarts entre l'heure
solaire vraie et l'heure solaire moyenne. Ainsi, un azimut de 179° à 12h (heure
d'hiver), signifie que midi solaire correspond à 12h4min plutôt qu'à midi solaire moyen
(12h); un azimut de 182° à 12h correspond à midi solaire obtenu à 11h52min…
Remarque1 : cette différence entre l'heure solaire
vraie et l'heure solaire moyenne est appelée «équation du temps»; elle peut être déduite du schéma
n°12. Elle est l'objet de l'annexe n° 3. On pourra aussi consulter le site:
http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html
Remarque 2: par la suite, le mot «jour» ,sans autre précision, désignera toujours le jour solaire
moyen soit 24h.
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schéma n° 11 schéma n° 12
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Les variations de durée du jour solaire ont deux causes qui seront détaillées en
an nexe n° 3 :
* une première cause connue depuis l'antiquité: l'angle non nul entre le plan de
l'équateur et le plan de l'écliptique;
* une seconde connue depuis les observations de Képler: la trajectoire elliptique plutôt
que circulaire du soleil dans le repère géocentrique. L'existence d'une excentricité non
nulle implique de faibles variations de vitesse angulaire du soleil dans son mouvement
sur l'écliptique.
Si ces deux causes n'existaient pas, le jour solaire vrai aurait une durée fixe au
cours de l'année égale à sa valeur moyenne: 24h. Pour étudier la relation entre jour
stellaire et jour solaire moyen, nous allons donc nous placer dans la situation fictive
simple suivanteen raisonnant dans le repère géocentrique : l'écliptique et l'équateur
solaire sont deux cercles confondus (obliquité nulle). Sur ce cercle, le centre du soleil
fictif (noté Sf) tourne à vitesse constante à raison d'un tour par année sidérale (Ast =
365,256363004 jours). Nous avons montré que l'heure dépend de la longitude mais pas
de la latitude. Nous allons donc nous intéresser à l'heure en un point de la surface de
la terre situé sur l'équateur (noté M). Dans le repère géocentrique, ce point tourne à la
vitesse d'un tour par jour stellaire. Montrons simplement qu'un jour stellaire
correspond à un peu moins de 24h.
Sur le schéma n° 13, le plan de figure est le plan de l'équateur. O désigne le
centre de la terre, M1 désigne le projeté de M sur l'équateur céleste. La figure de
gauche représente la situation à midi solaire, un jour J quelconque: M1 et Sf sont
deux points confondus. La figure centrale représente la situation un jour stellaire plus
tard. M1 a effectué exactement un tour et occupe exactement la même position que sur
la figure de gauche. Est-il midi solaire pour autant? Non! En effet, pendant que M1
tournait, le point Sf tournait aussi d'un petit angle (noté α) que nous pouvons calculer.
Sachant que Sf tourne de un tour (360°) en une année sidérale soit
24x365,256363=8766,152712heures, en un jour stellaire soit 23,934472heures, il
tourne de:
α=360⋅23,934472
8766,152712 =0,982918"
.
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schéma n° 13
Au bout d'un jour sidéral, le point M1 n'a pas tout à fait rattrapé le soleil fictif
Sf. Pour obtenir midi solaire au jour (J+1), le point M1 doit tourner d'un angle
supplémentaire noté , angle un peu supérieur à puisque le soleil continue à tourner
pendant que M1 tourne de l'angle . Conclusion: le jour solaire moyen (24h) est
donc un peu plus long que le jour stellaire. La durée d'un jour stellaire est
donc un peu inférieure à 24h.
Remarque 1: il existe une relation entre As, la durée de l'année sidérale, Jst la durée d'un jour
stellaire et Jm la durée du jour solaire moyen.
Dans le repère géocentrique, si As est mesurée en heures, la vitesse angulaire de Sf, mesurée en tour
par heure est:
Ω =1
&
Dans ce même repère, la vitesse angulaire de M1, mesurée en tour par heure est:
Ω1=1
'
La vitesse angulaire de M1 par rapport à Sf , fixée arbitrairement à 1/Jm tour par heure est aussi:
Ω1/ = Ω1−Ω
On obtient donc par identification:
1
' =1
' −1
&
Soit encore:
' ='.&
'+&
()&*'(+(),!-*./.0012
()
' ='.
+1=24. 365,256363004
366,256363004 =23,934472!
3++( )23h56min4,1s. Le jour stellaire est donc plus
court que le jour solaire moyen d'environ 4min .
Remarque 2: pour ceux que la notion de vitesse angulaire relative rebute, il existe une méthode plus
simple, quoique un peu moins précise d'obtenir la valeur de Js. Reprenons le raisonnement accompa-
gnant le schéma n° 13. L'angle est très faible et le soleil fictif Sf tourne beaucoup plus lentement
que le point M1 (365 fois moins vite environ). Pendant que M1 tourne de l'angle , Sf tourne d'un
angle tout à fait négligeable (moins de 1/365 degré). On peut donc considérer les angles et
comme pratiquement égaux. On peut ainsi considérer la différence (Jm – Jst) comme la durée que
met M1 à tourner de l'angle . M1 tournant de 360° en un jour stellaire, on obtient:
'−'='⋅α
360 ='⋅0,982918
360
()
'='⋅(1+0,982918
360 )= '⋅360,982918
360
4()
' ='⋅360
360,982918 :' =24⋅360
360,982918 =23.934650!
Cette valeur correspond à Jst=23h56min4,7s. La méthode approchée introduit une erreur de
seulement 6 dixièmes de seconde. En pratique, si on ne désire pas une précision meilleure que la
seconde par jour, on pourra utiliser cette méthode approchée.
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)*
) +
Pourrait-on définir l'année civile à partir de l'année sidérale? Puisque l'année
civile doit nécessairement correspondre à un nombre entier de jours de 24h, il faudrait
pour cela, introduire judicieusement des années bissextiles de façon que la valeur
moyenne de l'année civile soit la plus proche possible de l'année sidérale. Dans ce cas,
le soleil retrouverait tous les ans à dates fixes exactement à même position par rapport
aux étoiles; cela conviendrait aux astrologues mais présenterait un grave inconvénient
pratique.
Considérons le schéma n° 14 ci-dessous où le plan de figure est celui de
l'écliptique, le repère étant géocentrique (O: centre de la terre; axe OX orienté vers
une étoile fixe).
La situation de gauche correspond à l'équinoxe de printemps d'une année quelconque
A (date t): Le centre S du soleil et le point vernal sont confondus. Une année sidérale
plus tard, on obtient la situation de la figure de droite: le point S a retrouvé la même
position qu'à la date t. Sommes-nous à l'équinoxe de printemps pour autant? Non!
Pendant que S tourne sur l'écliptique en sens direct, le phénomène de précession
provoque une lente rotation du point en sens inverse. S rencontre un peu plus tôt:
la durée entre deux équinoxes de printemps successives est donc un peu
inférieure à une année sidérale.
Conséquence: si le calendrier était basée sur l'année sidérale, le début de
chaque saison n'aurait pas lieu à date fixe. Cela serait très incommode sachant à quel
point le rythme des saisons influence nos modes de vie (agriculture, loisirs, tourisme,
vacances…). Pour régler le problème, on définit l'année tropique vernale comme la
durée séparant deux passages consécutifs du centre du soleil au point
vernal. Sur le schéma n° 14, a désigne l'angle dont tourne en une année tropique
vernale et b désigne l'angle dont tourne en une année sidérale. L'écart de durée entre
les deux durées est très faible et tourne très lentement: on peut confondre les deux
angles avec une excellente approximation. Notons T la différence de durées entre une
année sidérale et une année tropique vernale. T est la durée nécessaire à S pour
tourner de l'angle b.
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schéma n° 14
Avant tout calcul, quelques questions se posent: pourquoi privilégier le début du
printemps? Arriverait-on à la même durée de l'année tropique en raisonnant (par
exemple) sur le solstice d'été? Reprenons brièvement le raisonnement précédent en
l'appliquant non plus au point mais à un point G de l'écliptique constamment décalé
de 90° dans le sens direct. G tourne donc à la même vitesse que en sens rétrograde.
Par analogie avec le cas précédent, on définit l'année tropique de solstice comme la
durée entre deux passages consécutifs de S au point G. La différence T' entre l'année
sidérale et l'année tropique de solstice est la durée nécessaire à S pour tourner de
l'angle b. Pour affirmer: T = T' , l'angle b ayant même valeur dans les deux cas, il
faudrait s'assurer que le soleil tourne à la même vitesse à l'équinoxe de printemps et
au solstice d'été. Or, nous l'avons déjà évoqué: l'existence d'une excentricité non nulle
de la trajectoire du soleil implique de faibles variations de sa vitesse dans son
mouvement sur l'écliptique. Nous avons donc T différent de T'. L'écart est de l'ordre
du millier de seconde.
Pour tourner la difficulté, nous définissons l'année tropique moyenne comme la
durée qui séparerait deux passages consécutifs au point d'un soleil fictif
tournant sur l'écliptique à vitesse constante d'un tour par année sidérale.
Les mesures astronomiques récentes précises donnent:
durée de l'année sidérale: As = 365,256363004 jours
durée moyenne de l'année tropique: At = 365,242190402 jours.
L'écart entre les deux durées est:
T = 0,014172602 jours = 24.60.0,014172602 = 20,408546880 min.
Remarque 1: cet écart d'un peu plus de 20min par an peut paraître faible. En réalité les cumuls de
ces retards sur de nombreuses années auraient des effets bien concrets. Si l'année civile était ajustée
sur l'année sidérale, la date de chaque début de saison avancerait d'un jour tous les 71ans environ,
d'un mois tous les deux millénaires environ: en 2014, l'été aurait commencé le 23mai et non le 21
juin!
Remarque 2 : des valeurs précédentes, il est possible de déduire la vitesse de rotation du point
. Le
raisonnement est très analogue à celui déjà fait à propos de la différence entre jour stellaire et jour
solaire moyen. Dans le repère géocentrique, la vitesse angulaire de S, mesurée en tour par jour est:
Ω =1
&
Dans ce même repère, la vitesse angulaire de
, mesurée en tour par jour est:
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schéma n° 15
Ωγ=1
&γ
où A
représente la durée d'un tour de sur l'écliptique.
La vitesse angulaire de S par rapport à
, mesurée en tour par jour est :
Ω / γ=1
&
.
Cette vitesse angulaire peut aussi s'écrire:
Ω / γ = Ω +Ωγ
.
Attention au signe «+»: cette fois-ci, les points tournent en sens inverses. Par identification:
1
&
=1
& +1
&γ
.
Soit encore:
1
&γ
=1
&
−1
&
;
&γ=&⋅&
&−&
;
&γ
&
=&
&−&
.
Application numérique:
&γ
&
=365,256363004
365,256363004−365,242190402 =25772,00
Le point
γ
effectue ainsi un tour en 25772 années tropiques; le mouvement de précession est
extrêmement lent!
Remarque3 : la durée de l'année sidérale, de peu d'importance pratique, est néanmoins très
importante pour les astronomes; par exemple: c'est de sa valeur que l'application des lois de
Newton permet de déduire la masse du soleil.
) +&"
La définition de l'année civile est soumise à deux contraintes:
* pour des raisons pratiques, l'année civile doit posséder un nombre entier de jours so-
laires moyens.
* sa durée moyenne doit être la plus proche possible de la durée de l'année tropique
pour éviter le décalage des saisons.
Dès 46 avant notre ère, sur les conseils des astronomes de l'époque, Jules César
imposa le calendrier qui porte son nom: le calendrier julien. Chaque année civile
comporte 365 jours sauf les années multiples de 4 qui en comportent 366. L'année
civile moyenne dure ainsi 365,25 jours. L'année tropique est un peu plus courte: l'écart
de durée peut paraître faible (un peu plus de 11min par an) mais les cumuls à long
terme ne sont pas négligeables; avec ce calendrier le début de chaque saison avance
d'un jour tous les 128 ans.
Ainsi, en 1582 de notre ère, l'équinoxe de printemps correspondait au 11mars au
lieu du 21 mars. Le pape de l'époque (Grégoire XIII) imposa une réforme du calendrier
en deux points, créant ainsi le calendrier grégorien:
1. Suppression de 10 jours du calendrier: les gens sont passés directement du
jeudi 4 octobre 1582 minuit au vendredi 15 octobre 1582 0heure.
2. Modification de la fréquence des années bissextiles: les années multiples de 4
restent bissextiles sauf si elles sont aussi multiples de 100; les années multiples de
100 ne restent bissextiles que si le nombre de siècle est aussi multiple de 4.
L'année 1900 n'était pas bissextile car 19 n'est pas divisible par 4; l'année 2000 était
bissextile: 20 est divisible par 4. Ainsi, sur un cycle de 400ans, nous avons 97 années
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bissextiles au lieu de 100 dans le calendrier julien. La durée moyenne de l'année
grégorienne est:
97⋅366+303⋅365
400 =365,2425 ,
.
L'écart de durée avec l'année tropique n'est plus que de 26,75secondes. Le décalage des
saisons induit par cet écart n'est plus que de 1 jour tous les 3230 ans. Le calendrier
grégorien est toujours en vigueur.
)! %"
Le jour stellaire a déjà été défini comme la période de rotation de la terre autour
de l'axe de ses pôles, la mesure étant effectuée dans le repère géocentrique; c'est donc
la durée séparant deux intersections consécutives d'un même méridien avec un axe
orienté vers une étoile suffisamment éloignée pour être considérée comme fixe. Le
jour sidéral est la durée séparant deux intersections consécutives d'un même
méridien avec le point vernal.
Soit Jst la durée d'un jour stellaire et Jsi
la durée d'un jour sidéral. L'écart entre ces
deux durées à la même cause que l'écart
entre année sidérale et année tropique: la
précession des équinoxes.
Imaginons une date t où le projeté
M1 sur la sphère céleste d'un point de
l'équateur coïncide avec le point vernal .
Pendant que M1 tourne dans le plan
équatorial à la vitesse d'un tour par jour
stellaire, le point tourne très lentement
en sens inverse sur l'écliptique à la vitesse
d'un tour tous les 25772 ans. Le point M1
effectuera donc un peu moins d'un tour
avant de rencontrer le projeté sur
l'équateur du point vernal. La rotation par
jour de ce projeté est infime: Le jour
sidéral est un peu plus court que le jour
stellaire mais l'écart de durée est extrême-
ment faible. Pour calculer cet écart, une
difficulté apparaît: Les points et M1 ne tournent pas dans le même plan. La vitesse
de (visualisée par la flèche rouge sur le schéma n°16) a deux composantes: une
composante orientée vers l'ouest (flèche bleue) et une composante orientée vers le nord
(flèche verte). L'heure ne dépend pas de la latitude, elle n'est pas influencée par un
déplacement vers le nord, donc seule la composante de la vitesse vers l'ouest est à
prendre en compte ici. La trigonométrie dans l'espace est délicate à manipulerdans le
cas général ; dans ce cas particulier, la composante vers l'ouest est simplement le pro-
duit de la vitesse de par le cosinus de l'obliquité. La suite du raisonnement est une
simple adaptation de celui effectué pour la différence entre l'année tropique et l'année
sidérale à partir du schéma 15.
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schéma n° 16
La vitesse de rotation de M1 dans le repère géocentrique est, mesurée en tour par
heure:
Ω1=1
'
avec Jst = 23,93447192 heures.
La vitesse du projeté de sur l'équateur mesurée en tour par heure est:
Ωγ1=cos(ε)
'γ
où J représente la durée en heures d'un tour de point vernal.
La vitesse de M1 par rapport au projeté de sur l'équateur est:
Ω1/ γ1= Ω1+Ωγ1
.
Par définition du jour sidéral, cette vitesse est aussi:
Ω1/γ 1=1
'
avec Jsi exprimé en heures.
Par identification, on obtient:
1
' =1
' +cos(ε)
'γ
; d'où:
' ='⋅'γ
'γ+'⋅cos(ε)
.
La différence de durée est ainsi:
' −' ='⋅
(
1−'γ
'γ+'⋅cos(ε)
)
='2
⋅cos(ε)
'γ+'⋅cos(ε)
.
ε = 23,44°; J = 25772 x 365,242190402 x 24 heures; Jst = 23,93447192 heures. En
multipliant par 3600 pour avoir le résultat en seconde, on obtient:
' −' =3600⋅23,934471922
⋅cos(23,44 ")
23,93447192⋅cos(23,44 ")+25772⋅365,242190402⋅24 =0,00837
L'écart de durée n'est que de 8,37 millième de seconde! Cet écart est souvent
négligé, ce qui revient à confondre jour stellaire et jour sidéral.
)'&'
) ''&'
Le schéma n° 17 ci-dessous reproduit en 3D la trajectoire du centre de la lune
dans un repère géocentrique pour les trois premiers mois de l'année 2015. Les
coordonnées sont celles publiées par l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des
Éphémérides (I.M.C.C.E.). Le centre de la terre correspond à la croix rouge. L'unité de
distance est le rayon terrestre: 6378km. Le mouvement est complexe: la trajectoire
n'est pas fermée et n'est pas plane. Un simple calcul d'ordres de grandeurs permet
de comprendre. Depuis les travaux de Newton, on sait que l'action d'un astre
attracteur sur le mouvement du centre d'un astre attiré est proportionnelle à (M/d2) où
M représente la masse de l'astre attracteur et d la distance entre les centres des deux
astres.
Comparons d'abord les actions du soleil et de la lune sur la terre. La masse du
soleil est d'environ 2.1030 kg (un 2 suivi de 30 zéros…), celle de la lune est d'environ
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7.1022kg. la distance soleil - terre est d'environ 150millions de kilomètres, la distance
moyenne terre – lune est d'environ 384000km. La valeur de (M/d2) est ainsi 178 fois
plus élevée environ pour le soleil que pour la lune. On peut donc négliger l'influence de
la lune sur le mouvement du centre de la terre qui ainsi décrit une trajectoire
elliptique fixe dans le référentiel héliocentrique.
La distance entre le centre du soleil et celui de la terre est environ 390 fois
supérieure à la distance moyenne terre – lune. En grossière approximation, il est ainsi
possible de considérer le champ gravitationnel créé par le soleil identique au niveau de
la lune et de la terre. Cela permet d’étudier le mouvement de la lune par rapport à la
terre, dans un repère géocentrique sans tenir compte de l’attraction gravitationnelle
exercée par le soleil. (Les scientifiques qui liront ce texte pourront objecter qu’il
faudrait rigoureusement faire l’étude du mouvement terre-lune dans un repère
barycentrique, le centre du repère étant non le centre de la terre mais le centre
d’inertie du système terre-lune. Cette étude est abordée dans l’annexe n° 6.
Cependant, la masse de la terre étant très supérieure à celle de la lune, l’erreur
introduite est faible)
Si on se limite à l'étude d'un seul tour de la lune autour de la terre, la trajectoire
du centre de la lune s'apparente à une ellipse. Nous allons donc d'abord étudier ce
que serait le mouvement du centre de la lune sous la seule influence de la
terre: un mouvement elliptique, le centre de la terre étant un foyer de la
trajectoire. Ensuite, nous décrirons les déformations et déplacements de cette
trajectoire elliptique sous l'influence du soleil.
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!"#
) #'$'&'
,''
Le schéma n° 18 représente les variations sur deux ans (2015 et 2016) de la dis-
tance d entre le centre de la terre et le centre de la lune. L'unité est le rayon terrestre,
soit 6378km.
Comme prévu on observe une alternance régulière de maximums et de
minimums: cela est en accord avec une trajectoire elliptique; la lune passe à
intervalles régulier par son apogée (distance maximale à la terre) et par son périgée
(distance minimale à la terre). La durée entre deux passages consécutifs à
l'apogée (ou au périgée) est appelé période anomalistique ou mois
anomalistique. L'étude précise de la courbe ci-dessus montre que cette durée varie
légèrement d'un mois à l'autre mais garde une valeur moyenne constante à long
terme:
Durée moyenne entre deux passages consécutifs à l'apogée:
un mois anomalistique = 27,5545 jours = 27j 23h 18' 33''.
Une complication apparaît: sous l'action de l'attraction exercée par le soleil sur
la lune, l'ellipse se déforme. La distance à l'apogée subit de petites variations
périodiques (période d'environ 205,9 jours) . La distance au périgée subit des
variations un peu plus grandes de même période. Pour cette description simplifiée,
nous allons adopter les valeurs moyennes:
distance moyenne à l'apogée: dmax = 63,45.Rt = 404694km;
distance moyenne au périgée: dmin = 56,77.Rt = 362102km.
Les formules démontrée page 3 de l'annexe 1 permettent d'obtenir le demi-grand axe
et l'excentricité moyennes de l'ellipse.
=5 +
2
; d'où: a = 383398 km;
=5−
2⋅
; d'où: e = 0,0555.
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schéma n° 18
Remarque: l'écart entre dmax et dmin est d'environ 11% . Si assimiler la trajectoire de la terre autour
du soleil à un cercle est une approximation acceptable (écart entre dmax et dmin de seulement 3,4%),
cela n'est pas le cas pour la lune.
)! -
"
Nous revenons à la sphère
céleste déjà définie où O
désigne le centre de la terre.
Nous y plaçons l'écliptique (in-
tersection avec la sphère
solaire du plan de la
trajectoire du centre du soleil)
et le point vernal . Les
angles sont mesurés à partir
de l'axe (Ox) orienté de O vers
. Les angles sont mesurés à
partir de l'axe (Ox) orienté de
O vers . En gardant le
modèle simplifiée précédent
d'une trajectoire elliptique du
centre de la lune, on trace sur
la sphère céleste le cercle dé-
fini comme l'intersection de
cette sphère avec le plan de l'ellipse.
Le projeté de l'apogée est un point diamétralement opposé sur la sphère céleste,
il n'est pas représenté ici. La droite passant par le périgée, le centre de la terre et
l'apogée correspond au grand axe de l'ellipse, on l'appelle ligne des apsides.
Le plan de l'ellipse est incliné par rapport à l'écliptique d'un angle i appelé
inclinaison (i voisin de 5,15° soit nettement moins que l'obliquité ). Par analogie
avec les intersections de l'écliptique et de l'équateur céleste, on appelle nœuds les
intersections de l'écliptique avec le plan de l'ellipse. Seul le nœud ascendant, c'est à
dire le point où le centre de la lune traverse l'écliptique dans le sens sud – nord est
représenté. L'angle entre l'axe (Ox) et la droite passant par O et le nœud ascendant
est noté ; il s'agit de la longitude écliptique de ce point.
La connaissance des angles i et permet d'orienter dans l'espace le plan de l'el-
lipse. Pour placer l'ellipse dans ce plan, il faut connaître son foyer - c'est le point O - et
le projeté sur la sphère céleste du périgée. La connaissance de l'angle appelé
argument du périgée permet de placer ce projeté sur la sphère céleste (voir schéma n°
19). Une fois l'ellipse ainsi définie dans l'espace, il suffit pour positionner le projeté de
la lune sur la sphère céleste de connaître l'angle l'anomalie vraie de la lune.
Il est aussi possible de repérer la position d'un point sur la sphère céleste par
ses coordonnées écliptiques: longitude écliptique L et latitude écliptique .
Sur le schéma n° 19, sont repérés en bleu et en rouge les arcs correspondant
respectivement à L et à du périgée. L'origine des longitudes écliptiques est le point
vernal .
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schéma n° 19
Remarque: des précisions supplémentaires sur les trajectoires elliptiques et les anomalies sont dispo-
nibles annexe n° 1.
). *"
Considérons le schéma ci-dessous n° 20: c'est une reprise du schéma n° 19 avec
l'ajout de différentes positions possibles du centre du soleil. Examinons d'abord la
position N° 1 du soleil correspondant à une longitude écliptique L égale à ( + 90°).
Tant que la longitude écliptique de la lune L' sera comprise entre et (+180°) La
lune est au-dessus de l'écliptique
alors que le soleil est dans le plan de
l'écliptique. L'action attractive du
soleil sur la lune a donc une
composante perpendiculaire au plan
de l'ellipse et orientée vers le sud qui
tend