Annexe n° 1 : Trajectoires elliptiques

 

 Des différentes définitions de l'ellipse, nous allons donner la plus simple, celle par­fois utilisée par les jardiniers pour tracer le pourtour d'un parterre ellip­tique. Vous pouvez d'ailleurs faire la manipulation vous-même : il suffit de disposer d'une feuille de papier fixée sur une planche en bois, de deux épingles ou punaises, d'un peu de fil à coudre et d'un crayon de faible diamètre.

        Nous donnerons ensuite une autre méthode de construction de l'ellipse, un peu moins simple mais plus utilisée en astronomie.

 
 
schéma n° 1
 
       


















Dans un premier temps, attachez les deux extrémités de votre fil à une épingle que vous plantez, matérialisant ainsi un point fixe noté O. Placez votre crayon dans la boucle que forme le fil et tournez autour du point O en mainte­nant le fil constamment tendu. Vous obtenez ainsi un cercle de centre O et de rayon de valeur a (figure de gauche).
 

        Maintenant, enlevez l'épingle du point O et placez deux épingles de part et d'autre du point O, à la même distance c du point O en choisissant c strictement inférieur à a. En conservant au fil la même longueur que précédemment, attachez une extrémité à la pre­mière épingle et l'autre extrémité à la seconde épingle. Comme précédemment, placez votre crayon dans la boucle que forme le fil et tournez autour du point O en maintenant le fil constamment tendu. Vous obtenez une ellipse (figure de droite). Les points fixes maté­rialisés par les épingles (F1 et F2 sur la figures) sont les foyers de l'ellipse. Soit d1 la dis­tance de la pointe M du crayon à F1 et d2 la distance de M à F2. Nous avons évidemment, quelle que soit la position de M sur l'ellipse : d1 + d2 = 2.a .

D'où une définition précise d'une ellipse : soient deux points fixes de l'espace appelés foyers et un plan fixe contenant ces deux points ; l'ellipse est l'en­semble des points de ce plan dont la somme des distances aux deux foyers est une constante.

        La distance de F1 à F2 (égale à 2c) est nécessairement inférieure à la lon­gueur du fil (égale à 2a). Il faut donc choisir c strictement inférieur à a.

        Le rapport c/a est appelé excentricité de l'ellipse, souvent notée e.

Cela revient à écrire : c = ae. L'excentricité est donc toujours strictement infé­rieure à 1. Le cas particulier : c = 0 revient à imaginer les foyers confondus avec le point O : on re­trouve le cas particulier du cercle de rayon a. Ainsi, plus l'excen­tricité est proche de zéro, plus l'ellipse « ressemble » à un cercle, plus l'excentrici­té augmente, plus l'ellipse « s'apla­tit ». À titre d'exemple revenons aux mouve­ments des centres des planètes décrits dans le référentiel héliocentrique. L'excen­tricité de l'orbite terrestre est e = 0,0167 ; cette valeur est très faible ; l'orbite est « presque » circulaire comme le montre le schéma n° 3 du docu­ment principal. L'ex­centricité de l'orbite de mars est 5,6 fois plus élevée, bien qu’encore assez faible : e = 0,0933 ; on voit tout de même sur la figure 3 que la distance soleil – mars varie…

Encore quelques définitions :

* La droite passant par les points A et B de l'ellipse constitue le grand axe de l'el­lipse. La distance de A à B vaut 2a ; a est la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.

* La droite passant par les points D et O constitue le petit axe de l'ellipse. La dis­tance de O à D est la longueur du demi-petit axe de l'ellipse. Dans le cas particulier où M est en D, nous avons : d1 = d2 = a. Le théorème de Pythagore ap­pliqué au triangle (ODF1) conduit à : a2 = c2 + b2 soit :

b = a 2 − c 2 = a ⋅ 1 − e 2 .

 

Autre méthode de construction d'une ellipse.

 
schéma n° 2
 
       

















Considérons un point quel­conque Mc du cercle de rayon a et de centre O. Soit E l'angle po­laire entre l'axe (OX) et le vecteur
OMc ⃗
. Les co­ordonnées carté­siennes du point Mc sont donc:
 
XMc = a.cos(E) ; YMc = a.sin(E).        Pour obtenir  l'ellipse d'excentri­cité e et de demi grand a, on fait correspondre à tout point Mc du cercle un point M de l’ellipse ayant même abs­cisse que Mc mais une ordonnée multipliée par le rapport b/a (rap­port égal à 1 − e 2  comme démontré au dessus). Les coor­données carté­siennes du point M sont ainsi :

X = a.cos(E) ; Y = b.sin(E).

Remarque : sachant que, quelle que soit la valeur de E, nous avons :

cos 2 ( E ) + sin 2 ( E ) = 1
 

nous obtenons l'équation cartésienne de l'ellipse :

 

X 2 a 2 + Y 2 b 2 = 1
 

Vérifions que cette méthode est bien cohérente avec la définition de l'ellipse donnée ini­tialement. Sachant que les foyers sont à la distance c = ea du centre O, le théorème de Py­thagore appliqué aux triangles rectangles (F1HM) et (F2HM) conduit à :

d 1 2 = ( X − e . a ) 2 + Y 2  et d 2 2 = ( X + e . a ) 2 + Y 2

Ce qui donne pour la première égalité :

 

d 1 2 = a 2. cos 2 ( E ) − 2. e . a 2. cos ( E ) + e 2 ⋅ a 2 + a 2 ⋅ ( 1 − e 2 ) ⋅ sin 2 ( E ) .

 

Soit en tenant compte de la relation : cos 2 ( E ) + sin 2 ( E ) = 1  :

 

d 1 2 = a 2 − 2. e . a . cos ( E ) + e 2 ⋅ a 2 ⋅ cos 2 ( E ) .

On reconnaît une identité remarquable :

 

d 1 2 = ( a − e . a . cos ( E ) ) 2  ; d'où : d 1 = a ⋅ ( 1 − e ⋅ cos ( E ) ) .

 

Le calcul pour d2 se mène de la même façon : il suffit de remplacer e par son opposé. Au final nous obtenons :

d 1 = a ⋅ ( 1 − e ⋅ cos ( E ) ) et d 2 = a ⋅ ( 1 + e ⋅ cos ( E ) ) .

Cela donne bien, quelle que soit la valeur de E, donc quelle que soit la position du point M sur l'ellipse :

d 1 + d 2 = 2 ⋅ a .

Nous retrouvons la définition de l'ellipse donnée primitivement !

 

Remarque : il peut être intéressant de repérer le point M de l’ellipse par ses coordon­nées polaires (r,) où r désigne la distance entre le foyer où se trouve l'astre attracteur (F1 par exemple) et le point M et où  désigne l'angle entre le grand axe de l'ellipse et la droite (F1M). On obtient évidemment r = d1 :

r = a ⋅ ( 1 − e ⋅ cos ( E ) )
.
 

        Pour l'angle  les définitions de trigonométrie appliquées au triangle (F1HM) conduisent à :

cos ( ν ) = a . cos ( E ) − a . e r = cos ( E ) − e 1 + e . cos ( E )
 ;
sin ( ν ) = b . sin ( E ) r = ( 1 − e 2 ) ⋅ sin ( E ) 1 + e . cos ( E )
.
 
tan ( ν ) = ( 1 − e 2 ) ⋅ sin ( E ) cos ( E ) − e
.
 

Remarque : la connaissance de la tangente ne détermine la valeur de l'angle qu'à 180° près. Pour lever l'indétermination, on utilise le fait que sin(E) et sin( ν ) sont nécessairement de même signe. Dans les cas très fréquents où l'excentricité est faible devant « 1 », on peut de façon plus simple lever cette indétermination en remarquant que les valeurs de E et ν sont nécessairement très proches.

Autre remarque : on trouve souvent dans la littérature, la relation précédente donnant la tangente de ν  remplacée par une relation entre les tangentes des angles moitiés. Cette nouvelle relation à l'avantage de ne pas introduire d’ambiguïté sur la connaissance de ν . En effet, connaître tan ( ν /2 ) , détermine ν /2 à 180° près, donc n'introduit pas d’ambiguïté sur l'anomalie vraie de toutes façon définie modulo 360°. Pour obtenir cette relation, on passe aux angles moitié dans les relations précédentes :
cos ( ν ) = cos ( E ) − e 1 − e . cos ( E ) = 1 − 2 sin 2 ( ν 2 ) ; sin 2 ( ν 2 ) = ( 1 + e ) [ 1 − cos ( E ) ] 2 [ 1 − e . cos ( E ) ]
 
cos ( ν ) = cos ( E ) − e 1 − e . cos ( E ) = 2 cos 2 ( ν 2 ) − 1 ; cos 2 ( ν 2 ) = ( 1 − e ) [ 1 + cos ( E ) ] 2 [ 1 − e . cos ( E ) ]
 

« Division membre à membre » de ces relations :

tan 2 ( ν 2 ) = 1 + e 1 − e ⋅ 1 − cos ( E ) 1 + cos ( E )
 

Passage à l’angle moitié de E à E/2 :

1 − cos ( E ) = 2 sin 2 ( E 2 ) ; 1 + cos ( E ) = 2 cos 2 ( E 2 )
 

Donc :

1 − cos ( E ) 1 + cos ( E ) = tan 2 ( E 2 )
 

En reportant au-dessus :

tan 2 ( ν 2 ) = 1 + e 1 − e ⋅ tan 2 ( E 2 )
 

Les deux tangentes étant toujours de même signe pour ce type de mouvement :

tan ( ν 2 ) = 1 + e 1 − e ⋅ tan ( E 2 )
 

Équation polaire de l'ellipse.

        Nous avons déjà établi l'équation cartésienne, c'est à dire la relation entre les coor­données cartésiennes X et Y d'un point M quelconque de l'ellipse. L'équation polaire  donne la relation entre les coordonnées r et  d'un point M quelconque de l'ellipse. L'ex­pression précédente de cos() conduit à :

a ⋅ cos ( E ) = a ⋅ e + r ⋅ cos ( ν ) .
Par substitution dans l'expression de r déjà obtenue : r = a ⋅ ( 1 − e ⋅ cos ( E ) ) , on obtient :
r = a − e ⋅ ( a ⋅ e + r ⋅ cos ( ν ) ) = a ⋅ ( 1 − e 2 ) − e ⋅ r ⋅ cos ( ν )  ;

Soit :

r = a ⋅ ( 1 − e 2 ) 1 + e ⋅ cos ( ν ) .
On pose souvent : p = a ⋅ ( 1 − e 2 )  ; p est appelé : « paramètre de l'ellipse.

D'où l'expression classique de l'équation polaire :

r = p 1 + e ⋅ cos ( ν ) .

 

Aire de la surface délimitée par une ellipse.

        Imaginons le disque de rayon a, d'aire π ⋅ a 2 que l'on cherche à tapisser de carrés identiques. La surface ainsi recouverte est plus petite bien sûr que le disque (voir schéma n° 3). Imaginons maintenant que l'on choisisse des carrés dont la longueur de chaque côté est extrêmement petite devant le rayon a du disque : la surface « perdue » (colorée en bleu sur le schéma) devient négligeable : l'aire du disque est égale à la somme des aires des pe­tits carrés : π ⋅ a 2 = N ⋅ l 2 où N est le nombre de carrés et l la longueur d'un côté de car­reau.
 


 
schéma n° 3
 
       




















Supposons maintenant que l'on transforme chaque petit carré de la façon suivante : sa longueur l est conservée mais sa hauteur est multipliée par le rapport b/a  définie précédemment p
o
ur l'ellipse.
Conserver les dimensions horizon­tales en multipliant les dimensions verticales par le rapport b/a est la méthode utilisée pour transformer le cercle de rayon a en ellipse : Nos N rectangles ta­pissent maintenant l'ellipse ! L'aire de ces N rec­tangles est :
N ⋅ l ⋅ l ⋅ b a = π ⋅ a 2 ⋅ b a = π ⋅ a ⋅ b
 ; cette aire est celle
de la surface délimitée par l'ellipse
.
 

Conclusion : l'aire de la surface délimitée par une ellipse est :

 

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ a 2 ⋅ 1 − e 2
.
 

Loi des aires.

Attention ! par la suite, la mesure des angles sera exprimée en radians.

        Soit un point M  se déplaçant sur une ellipses, ses coordonnées polaires étant r et .

Soit t = 0 la date de passage de M au périgée ; soit s l'aire de la surface balayée par le seg­ment (FM) entre les dates zéro et t (date quelconque) . Supposons que le mouvement de M vérifie la loi des aires : cela signifie que l'aire de la surface balayée augmente proportion­nellement à la date t.

        De plus, dans le cas particulier t = T : période du mouvement, l'aire de la sur­face balayée vaut S = .a.b . L'aire de la surface balayée entre les date zéro et t peut donc s'écrire : s = π ⋅ a ⋅ b T ⋅ t . On appelle vitesse aérolaire de M le nombre dérivé de s par rap­port à t :
V A = ds dt  ; soit ici : V A = π ⋅ a ⋅ b T .

Remarque : lorsque VA ne varie pas au cours du temps, ce qui est le cas ici, la vitesse aérolaire repré­sente l'aire de la surface balayée par le segment (FM) chaque seconde.

La loi des aires peut s'énoncer simplement en disant que, lorsqu'elle est véri­fiée, la vitesse aérolaire du point M décrivant l'ellipse ne varie pas au cours du temps.

       

















Exprimons mainte­nant la vitesse aéro­laire en fonction des co­ordonnées polaires de M et de leurs dérivées par rapport au temps. Soit
FM ⃗ = r ⋅ e r ⃗
le vecteur position de M à la date quelconque t,
e r ⃗
 étant un vecteur unitaire. Entre les date t et (t + dt), le point M subit un déplacement élémen­taire :
dl ⃗ = dr ⋅ e r ⃗ + r ⋅ d ν ⋅ e ν ⃗
où
e ν ⃗
désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à
e r ⃗
 dans le plan de l'ellipse (voir figure ci-contre).
L'aire de la surface balayée par le segment (FM) est celle du triangle hachuré sur la figure. Cette valeur est la demi norme du produit vectoriel
FM ⃗ ∧ dl ⃗ = r 2 ⋅ d ν ⋅ e z ⃗
où
e z ⃗
 désigne un vecteur perpendi­culaire au plan de l'ellipse.
La nouvelle expression générale de la vi­tesse aérolaire est ainsi :
 
V A = 1 2 ⋅ r 2 ⋅ d ν dt où d ν dt représente le nombre dérivée de l'angle polaire par rapport au temps, c'est à dire la vitesse angulaire du point M.

Conclusion : lorsqu'un point M en mouvement elliptique vérifie la loi des aires, le pro­duit de r2 par la vitesse angulaire est une constante, souvent notée C et appelée constante des aires :

r 2 ⋅ d ν dt = C  ; avec : C = 2 ⋅ π ⋅ a ⋅ b T .

 

Relation entre anomalie moyenne et anomalie vraie : équation de Kepler.

Nous conservons les hypothèses précisées au début du paragraphe précédent.

























Nous reprenons la figure n° 2 en y ajoutant (en bleu) la trajectoire du centre S
f  
d'un satellite fictif qui décrirait à vitesse constante un cercle de rayon a (demi grand axe
réel
de l'ellipse), sa période de révolution T étant la période de révolution
réelle
du centre du satellite. Le centre du cercle est le point F, foyer de la trajectoire réelle elliptique. Le point P représente le périastre. L'angle polaire entre (FX) et (FS
f
)
e
st noté M. Prenons l'origine des dates à un instant où S
f
coupe l'axe (OX). La date t=0 correspond ainsi au passage de S
f
et de S au périastre. Si S
f
tourne de 2. π radians (360°) pendant la durée T, pendant la durée t, il tourne de :
 
M = 2 π T ⋅ t
 

En astronomie, la valeur de l'angle M est appelée « anomalie moyenne » alors que la valeur de l'angle E est appelée « anomalie excentrique ». Le mot « anomalie »désignant un angle peut surprendre. Il provient de l'adjectif « anomal » signifiant : « qui présente des irrégularités ».

À ce stade, connaissant les valeurs du demi grand axe « a » et de l'excentricité « e » de l'ellipse, nous pouvons tracer la trajectoire de S ; nous savons aussi positionner S
f
à n'importe quel instant de date « t » sur sa trajectoire circulaire, mais nous ne savons pas
encore positionner S sur sa trajectoire elliptique à la date t. Pour ce faire, il faut connaître la position du point Mc puis appliquer la méthode déjà expliquée pour placer le point S. Il faut donc déterminer la valeur de l'angle polaire E à la date quelconque t, ce qui revient à établir une relation entre E et M à un même instant de date t. Pour cela, nous allons appliquer la loi des aires : l'aire balayée par FS entre la date zéro et la date t doit être proportionnelle à t et la durée T correspond à une aire balayée égale à celle délimitée par l'ellipse : π.a.b . L'aire A balayée par (FS), entre les dates zéro et t (coloriée en bleu sur le schéma) doit vérifier la relation :
 
A = v A . t = π . a . b T ⋅ t = 1 2 a . b . M
 
Exprimons cette aire en fonction de l'anomalie excentrique E. Exprimons d'abord l'aire A1 du secteur circulaire de rayon a correspondant à l'arc
PM c ^  
. Lorsque le rayon OMc tourne d'un tour, soit 2 π . radians, il balaie l'aire totale du disque soit π ⋅ a
2
 ; lorsqu'il tourne de l'angle E (mesuré en radians), il balaie l'aire :
 
A 1 = π . a 2 . E 2 π = 1 2 a 2 ⋅ M
 

Exprimons maintenant l'aire A2 du triangle (OFMc). Cette aire est égale au demi produit de la hauteur YMc du triangle par sa base : OF = c = a.e ;

A 2 = 1 2 a . sin ( E ) . a . e = 1 2 a 2 . e . sin ( E )
 
La différence (A
1
- A
2
) représente l'aire A
3
de la surface délimitée par l'arc  
PM c ^
et les segments (FP) et (FMc) :
 
A 3 = A 1 − A 2 = 1 2 a 2 . [ E − e . sin ( E ) ]
 

Appliquons à tout point du contour dont on vient de calculer l'aire A3 la transformation déjà utilisée : à tout point de ce contour, on fait correspondre un point de même abscisse mais d'ordonnée multipliée par le rapport (b/a) ; l'arc de cercle se transforme en la portion d'ellipse  ; le segment (FMc) se transforme en segment (FS) et le segment (FP) se conserve (multiplier l'ordonnée nulle de tout point de (FP) par b/a donne zéro). L'aire A recherchée est donc simplement :

A = A 3 ⋅ b a = 1 2 a . b . [ E − e . sin ( E ) ]
 

Par identification avec l'expression de cette aire obtenue en (33), on obtient la relation recherchée entre M et E démontrée pour la première fois par Kepler :

E − e . sin ( E ) = M
 

Cette équation n'admet pas de solution explicite littérale. Il faut donc la résoudre numériquement pour une date t donnée à l'aide d'une calculatrice scientifique ou d'un logiciel scientifique (Matlab, Scilab, Maple, programme Python...). Connaissant alors la valeur de E à la date t, on peut déterminer les coordonnées polaires du point S :

* La distance r entre F et S :

r = a [ 1 − e . cos ( E ) ]
 

* L'angle polaire ν appelé « anomalie vraie » de S, fournie par une des deux formules déjà démontrées que je rappelle :

tan ( ν ) = ( 1 − e 2 ) ⋅ sin ( E ) cos ( E ) − e  
avec
sin ( ν )
du signe de sin(E).
 

ou :

tan ( ν 2 ) = 1 + e 1 − e ⋅ tan ( E 2 )
 

Illustrations graphiques

Les figures ci-dessous représentent les variations en fonction du temps sur une période des trois angles : l'anomalie moyenne M, l'anomalie excentrique E, l'anomalie vraie ν . Pour les faibles excentricités, les écarts entre ces trois valeurs restent faibles ; le mouvement est proche d'un mouvement circulaire uniforme. Le entre O du repère est très proche du foyer F de l’ellipse. Les écarts deviennent important dès que l'excentricité augmente. Conformément à la loi des aires, E et ν ne varient pas à « vitesse » constante. On remarque que, en t=T/2 : M=E= ν = π rad ; quelle que soit la valeur de l'excentricité, si t=0 correspond au passage par le périastre, l'apoastre est atteint à la date t=T/2.

 

 

 


Voici également une animation disponible aux formats mp4 ou avi en cliquant sur un des deux liens ci-dessous ; elle illustre la loi des aires ; On y place quarante positions successives du point mobile sur la trajectoire, prises à intervalles de temps consécutifs égaux ; on remarque bien que la vitesse est plus élevée au voisinage du périastre que de l'apoastre ; de plus, les différents secteurs tracés sont tous d'aires égales :

 

Visualisation loi des aires ; format .avi            Visualisation loi des aires ; format .mp4      

 

 

 

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