Trajectoires elliptiques
Abstract
Après une étude géométrique des ellipses et de leurs propriétés, ce document va particulièrement s'intéresser au
mouvement du centre d'un astre vériant les lois de Kepler.
1 Une dénition simple de l'ellipse.
Des diérentes dénitions de l'ellipse, nous allons d'abord donner la plus simple, celle parfois utilisée par les jardiniers pour
tracer le pourtour d'un parterre elliptique. Vous pouvez d'ailleurs faire la manipulation vous-même : il sut de disposer
d'une feuille de papier xée sur une planche en bois, de deux épingles ou punaises, d'un peu de l à coudre et d'un crayon
de faible diamètre. Nous donnerons ensuite une autre méthode de construction de l'ellipse, un peu moins simple mais plus
utilisée en astronomie.
Figure 1:
Dans un premier temps, attachez les deux extrémités de votre l à une épingle que vous plantez, matérialisant ainsi
un point xe noté O. Placez votre crayon dans la boucle que forme le l et tournez autour du point O en maintenant le l
constamment tendu. Vous obtenez ainsi un cercle de centre O et de rayon de valeur a (gure de gauche). Maintenant, enlevez
l'épingle du point O et placez deux épingles de part et d'autre du point O, à la même distance c du point O en choisissant
c strictement inférieur à a. En conservant au l la même longueur que précédemment, attachez une extrémité à la première
épingle et l'autre extrémité à la seconde épingle. Comme précédemment, placez votre crayon dans la boucle que forme le
l et tournez autour du point O en maintenant le l constamment tendu. Vous obtenez une ellipse (gure de droite). Les
points xes matérialisés par les épingles (F
1
et F
2
sur la gures) sont les foyers de l'ellipse. Soit d
1
la distance de la pointe
M du crayon à F
1
et d
2
la distance de M à F
2
. Nous avons évidemment, quelle que soit la position de M sur l'ellipse :
d1+d2= 2a
(1)
D'où une dénition précise d'une ellipse :
soient deux points xes de l'espace appelés foyers et un plan xe
contenant ces deux points ; l'ellipse est l'ensemble des points de ce plan dont la somme des distances aux
deux foyers est une constante.
La distance de F
1
à F
2
(égale à 2.c) est nécessairement inférieure à la longueur du l (égale à 2.a). Il faut donc choisir c
strictement inférieur à a.
Le rapport (c/a) est appelé
excentricité de l'ellipse
, on le note habituellement e :
e=c
a
ou :
c=a·e
(2)
puisque :
c < a : 0 ≤e < 1
(3)
1
Remarque : Le cas particulier : c = 0 revient à imaginer les foyers confondus avec le point O : on retrouve le cas
particulier du cercle de rayon a. Ainsi, plus l'excentricité est proche de zéro, plus l'ellipse ressemble à un cercle, plus
l'excentricité augmente, plus l'ellipse s'aplatit . À titre d'exemple revenons aux mouvements des centres des planètes
décrits dans le référentiel héliocentrique. L'excentricité de l'orbite terrestre est e = 0,0167 ; cette valeur est très faible ;
l'orbite est presque circulaire comme le montre le schéma n
°
3 du document principal. L'excentricité de l'orbite de mars
est 5,6 fois plus élevée, quoiqu'encore assez faible : e = 0,0933 ; on voit tout de même sur la gure 3 que la distance soleil
mars varie...
Encore quelques dénitions :
* La droite passant par les points A et B et par les foyers de l'ellipse constitue le grand axe de l'ellipse. La distance de
A à B vaut 2.a ; a constitue la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.
* La droite passant par les points D et O constitue le petit axe de l'ellipse. La distance de O à D, notée habituellement
b, constitue la longueur du demi-petit axe de l'ellipse. Dans le cas particulier où M est en D, nous avons : d
1
= d
2
= a. Le
théorème de Pythagore appliqué au triangle (ODF
1
) conduit à :
a2=b2+c2
soit :
b=pa2−c2=a·p1−e2
(4)
2 Autre méthode de construction ; équation cartésienne de l'ellipse.
Figure 2:
On commence par tracer un cercle de centre O (centre
de l'ellipse) et de rayon a (longueur du demi grand axe
de l'ellipse). La position d'un point quelconque M
c
sur
ce cercle est repérée par l'angle polaire E, angle entre
l'axe (O,x) et le vecteur position
−−−→
OMc
. Les coordonnées
cartésiennes du point M
c
sont ainsi :
XM c =a·cos (E) ; YM c =a·sin (E)
(5)
Pour obtenir l'ellipse d'excentricité e et de demi grand
a, on fait correspondre à tout point M
c
du cercle un point
M de l'ellipse ayant même abscisse que M
c
mais une
ordonnée multipliée par le rapport (b/a) (rapport égal
à
√1−e2
comme démontré au dessus). Les coordonnées
cartésiennes du point M sont ainsi :
X=a·cos (E) ; Y=b·sin (E)
(6)
Pour obtenir l'équation cartésienne de l'ellipse, il
sut de remarquer :
sin2(E) + cos2(E)=1∀E
ce qui conduit à :
X2
a2+Y2
b2= 1
(7)
On peut vérier que cette méthode est bien cohérente avec la dénition de l'ellipse donnée initialement. Sachant que les
foyers sont à la distance c = e.a du centre O, le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles (F
1
HM) et (F
2
HM)
conduit à :
d2
1= (X−e·a)2+Y2
et :
d2
2= (X+e·a)2+Y2
(8)
La première égalité conduit à :
d2
1=a2·cos2(E)−2·e·a2·cos (E) + e2·a2+a2·1−e2·sin2(E)
(9)
En tenant compte de la relation déjà évoquée :
sin2(E) + cos2(E) = 1 ∀E
:
d2
1=a2−2·e·a2·cos (E) + e2·a2·cos2(E)
(10)
On reconnaît l'expression générale du carré d'une diérence :
d2
1= [a−e·a·cos (E)]2
donc :
d1=a·[1 −e·cos (E)]
(11)
Le calcul pour d
2
se mène de la même façon : il sut de remplacer e par son opposé. Au nal nous obtenons :
d1=a·[1 −e·cos (E)]
et :
d2=a·[1 + e·cos (E)]
(12)
2
Cela donne bien, quelle que soit la valeur de l'angle (E), donc quelle que soit la position du point M sur sa trajectoire
elliptique :
d1+d2= 2 ·a
(13)
Nous retrouvons bien la relation de dénition initiale de l'ellipse !
3 Équation polaire de l'ellipse avec origine en un foyer.
On peut choisir l'origine du repère d'étude au foyer F
1
de l'ellipse. Pour connaître la position du point M à un instant donné,
il faut connaître les caractéristiques du vecteur position
−−−→
F1M
. Ce vecteur peut être déni par deux grandeurs :
* la norme du vecteur, soit la distance de F
1
à M, notée jusqu'ici d
1
, souvent aussi notée r ;
* l'angle polaire
ν
entre l'axe (O,x) et le vecteur position
−−−→
F1M
(voir gure n
°
2).
L'équation polaire de la trajectoire est l'équation :
r=f(ν)
. Nous avons déjà démontré la relation entre r et E :
r=d1=a·[1 −e·cos (E)]
(14)
Il nous faut donc une relation entre E et
ν
.
Pour cela, il sut d'appliquer les formules classiques de trigonométrie
au triangle rectangle (F
1
HM) :
cos (ν) = F1H
F1M=F1H
r
(15)
F1H=OH −OF1=a·cos (E)−a·e=a·[cos (E)−e]
(16)
cos (ν) = cos (E)−e
1−e·cos (E)
(17)
sin (ν) = HM
F1M=HM
r
(18)
En exprimant cos(E) dans le triangle (OM
c
H) puis en tenant compte de la méthode décrite précédemment pour passer
du cercle à l'ellipse :
HMc=OMc·sin (E) = a·sin (E)
(19)
HM =HMc·b
a=b·sin (E) = a·p1−e2·sin (E)
(20)
sin (ν) = √1−e2·sin (E)
1−e·cos (E)
(21)
Sachant que :
√1−e2>0
et
[1 −e·cos (E)] >0
, on peut remarquer que sin(E) et sin(
ν
) sont nécessairement de même
signe. Des relation (17) et (21), on tire :
tan (ν) = √1−e2·sin (E)
cos (E)−e
(22)
Remarque : la connaissance de la tangente ne détermine la valeur de l'angle qu'à 180
°
près. Pour lever l'indétermination,
on utilise le fait que sin(E) et sin(
ν
) sont nécessairement de même signe. Dans les cas très fréquents où l'excentricité est
faible devant 1, on peut de façon plus simple lever cette indétermination en remarquant que les valeurs de E et
ν
sont
nécessairement très proches.
Autre remarque : on trouve souvent dans la littérature, la relation (22) remplacée par une relation entre les tangentes
des angles moitiés. Cette nouvelle relation à l'avantage de ne pas introduire d'ambiguïté sur la connaissance de
ν
. En eet,
connaître
tan ν
2
, détermine
ν
2
à 180
°
près, donc n'introduit pas d'ambiguïté sur l'anomalie vraie de toutes façon dénie
modulo 360
°
. Pour obtenir cette relation, on passe aux angles moitié dans la relation (17) :
cos (ν) = cos (E)−e
1−e·cos (E)= 1 −2 sin2ν
2; sin2ν
2=(1 + e) [1 −cos (E)]
2 [1 −e. cos (E)]
(23)
cos (ν) = cos (E)−e
1−e·cos (E)= 2 cos2ν
2−1 ; cos2ν
2=(1 −e) [1 + cos (E)]
2 [1 −e. cos (E)]
(24)
Division membre à membre de ces deux dernières relations :
tan2ν
2=1 + e
1−e·1−cos (E)
1 + cos (E)
(25)
Même méthode de passage à l'angle moitié qu'aux lignes (23) et (24) :
3
1−cos (E) = 2 sin2E
2; 1 + cos (E) = 2 cos2E
2
Donc :
1−cos (E)
1 + cos (E)= tan2E
2
En reportant dans l'expression (25), cela donne :
tan2ν
2=1 + e
1−e·tan2E
2
(26)
Les deux tangentes étant toujours de même signe pour ce type de mouvement :
tan ν
2=r1 + e
1−e·tan E
2
(27)
Nous pouvons maintenant déterminer l'équation polaire de l'ellipse.
Les relations (15) et (16) conduisent à :
r·cos (ν) = a·cos (E)−a·e
(28)
en remplaçant cos(E) par son expression déduite de la relation (14) :
r·cos (ν) = a−r
e−a·e
soit :
r·e·cos (ν) + r=a−a·e2
(29)
r=a·1−e2
1 + e·cos (ν)
On pose souvent :
p=a·1−e2
; p est appelé paramètre de l'ellipse. D'où l'expression classique de l'équation polaire
de l'ellipse :
r=p
1 + e·cos (ν)
avec :
p=a·1−e2
(30)
Remarque : Nous avons arbitrairement choisi l'origine au foyer F
1
. Ainsi le cas particulier
E=ν= 0
correspond à
une distance minimale de M à F
1
, le point M étant en P. Il aurait été possible de choisir l'origine au foyer F
2
, en posant
: r = F
2
M, l'angle polaire
ν
devenant l'angle entre l'axe (O,x) et le vecteur
−−−→
F2M
. Dans ces conditions, le cas particulier
E=ν= 0
correspond à une distance maximale de M à F
2
. Des calculs analogues aux précédents conduisent dans ces
conditions à l'équation polaire suivante :
r=p
1−e·cos (ν)
avec :
p=a·1−e2
(31)
4 Aire de la surface délimitée par une ellipse.
Figure 3:
Imaginons le disque de rayon a, d'aire
π·a2
que l'on
cherche à tapisser de carrés identiques. La surface ainsi
recouverte est plus petite bien sûr que le disque (voir
gure n
°
3). Imaginons maintenant que l'on choisisse des
carrés dont la longueur de chaque côté est extrêmement
petite devant le rayon a du disque : la surface perdue
(colorée en bleu sur le schéma) devient négligeable : l'aire
du disque est égale à la somme des aires des petits carrés :
π·a2=N·l2
où N est le nombre de carrés et l la longueur
d'un côté de carreau.
Supposons maintenant que l'on transforme chaque
petit carré de la façon suivante : sa longueur l est
conservée mais sa hauteur est multipliée par le rapport
b/a déni précédemment pour l'ellipse. Conserver les
dimensions horizontales en multipliant les dimensions
verticales par le rapport b/a est la méthode utilisée pour
transformer le cercle de rayon a en ellipse : Nos N
rectangles tapissent maintenant l'ellipse ! Nous avons un
nombre de rectangles égal au nombre de carrés précédents
:
N=π·a2
l2
mais l'aire de chaque rectangle est
l·l·b
a
.
L'aire totale de ces N rectangles est donc :
4
N·l2·b
a=π·a2
l2·l2·b
a=π·a·b
Cette aire est celle de la surface délimitée par l'ellipse. Conclusion : l'aire de la surface délimitée par une ellipse est :
A=π·a·b=π·a2·p1−e2
(32)
5 Loi des aires.
Figure 4:
Attention ! par la suite, la mesure des angles sera
exprimée en radians.
Pour l'instant, nous nous sommes limités à une étude
purement géométrique de l'ellipse. Nous introduisons
maintenant de la dynamique : nous supposons que le
centre d'inertie S d'un satellite naturel ou articiel d'un
astre attracteur de centre F décrit, dans un repère galiléen
d'origine F un mouvement elliptique. L'étude dynamique
rigoureuse du mouvement est largement disponible sur le
net, ici par exemple :
Mouvement à force centrale
Sans refaire ici la démonstration du document cité ci-
dessus, nous admettons que S vérie la loi des aires : soit
t = 0 la date de passage de S au périastre ;
l'aire de la
surface balayée par le segment (FS) entre les dates
zéro et t (date quelconque) est, selon la loi des aires,
proportionnelle à t
.
De plus, dans le cas particulier t = T : période du mouvement, l'aire de la surface balayée vaut
π.a.b
. L'aire de la surface
balayée entre les date zéro et t peut donc s'écrire :
A=π.a.b
T·t
. On appelle vitesse aréolaire de S le nombre dérivé de A par
rapport à t :
vA=dA
dt
; soit ici :
vA=dA
dt =π.a.b
T
(33)
La loi des aires peut aussi s'énoncer simplement en disant que, lorsqu'elle est vériée,
la vitesse aréolaire du point S
décrivant l'ellipse ne varie pas au cours du temps.
Remarque : dans le cas général d'un astre attracteur quelconque, la position de S la plus proche de F est appelée périastre
et la position la plus éloignée apoastre. Si l'astre attracteur est la terre, ces deux mots peuvent être remplacés respectivement
par périgée et apogée. Si l'astre attracteur est le soleil, ces deux mots peuvent être remplacés respectivement par périhélie et
aphélie.
Exprimons maintenant la vitesse aréolaire en fonction des coordonnées polaires de M et de leurs dérivées par rapport au
temps. Soit
−→
F S =r·−→
ur
le vecteur position de S à la date quelconque t,
−→
ur
étant un vecteur unitaire. Entre les date t et (t +
dt), le point M subit un déplacement élémentaire :
−→
dl =dr ·−→
ur+r·dν ·−→
uν
où
−→
uν
désigne un vecteur unitaire perpendiculaire
à
−→
ur
dans le plan de l'ellipse et orienté dans le sens du vecteur déplacement de S (voir gure n
°
4). L'aire de la surface balayée
par le segment (FS) est celle du triangle hachuré sur la gure. Cette valeur est la
demie norme
du produit vectoriel :
−→
F S ∧−→
dl =r·−→
ur∧(dr ·−→
ur+r·dν ·−→
uν) = r2·dν ·−→
uz
(34)
où
−→
uz
désigne un vecteur perpendiculaire au plan de l'ellipse orienté vers le lecteur. La nouvelle expression générale de la
vitesse aréolaire est ainsi ::
vA=1
2·r2·dν
dt
(35)
où
dν
dt
représente le nombre dérivée de l'angle polaire par rapport au temps, c'est à dire la vitesse angulaire du point S.
Conclusion : lorsqu'un point S en mouvement elliptique vérie la loi des aires, le produit de r
2
par la vitesse angulaire est
une constante, souvent notée C et appelée constante des aires :
r2·dν
dt =C
avec :
C= 2vA=2π.a.b
T
(36)
6 Relation entre anomalie moyenne et anomalie vraie : équation de Kepler.
Nous conservons les hypothèses précisées au début du paragraphe précédent.
Nous reprenons la gure n
°
2 en y ajoutant (en bleu) la trajectoire du centre S
f
d'un satellite ctif qui décrirait à vitesse
constante un cercle de rayon a (demi grand axe
réel
de l'ellipse), sa période de révolution T étant la période de révolution
réelle
du centre du satellite. Le centre du cercle est le point F, foyer de la trajectoire réelle elliptique. Le point P représente
5
le périastre. L'angle polaire entre (FX) et (FS
f
) est noté M. Prenons l'origine des dates à un instant où S
f
coupe l'axe (OX).
La date t=0 correspond ainsi au passage de Sf et de S au périastre. Si S
f
tourne de
2.π
radians (360
°
) pendant la durée T,
pendant la durée t, il tourne de :
M=2π
T·t
(37)
Y
X
OF
S
Mc
P
E
ν
H
Sf
M
En astronomie, la valeur de l'angle M est appelée
anomalie moyenne
alors que la valeur de l'angle E est appelée
anomalie excentrique
. Le mot anomaliedésignant un angle peut surprendre. Il provient de l'adjectif anomal signiant :
qui présente des irrégularités.
À ce stade, connaissant les valeurs du demi grand axe a et de l'excentricité e de l'ellipse, nous pouvons tracer la trajectoire
de S ; nous savons aussi positionner S
f
à n'importe quel instant de date t sur sa trajectoire circulaire, mais nous ne savons
pas encore positionner S sur sa trajectoire elliptique à la date t. Pour ce faire, il faut connaître la position du point M
c
puis
appliquer la méthode déjà expliquée pour placer le point S. Il faut donc déterminer la valeur de l'angle polaire E à la date
quelconque t, ce qui revient à établir une relation entre E et M à un même instant de date t. Pour cela, nous allons appliquer
la loi des aires : l'aire balayée par FS entre la date zéro et la date t doit être proportionnelle à t et la durée T correspond à
une aire balayée égale à celle délimitée par l'ellipse :
π
.a.b . L'aire A balayée par (FS), entre les dates zéro et t (coloriée en
bleu sur le schéma) doit vérier la relation :
A=vA·t=π.a.b
T·t=1
2·a·b·M
(38)
Exprimons cette aire en fonction de l'anomalie excentrique E. Exprimons d'abord l'aire A
1
du secteur circulaire de rayon
a correspondant à l'arc
⌢
P Mc
. Lorsque le rayon OM
c
tourne d'un tour, soit
2π
. radians, il balaie l'aire totale du disque soit
π·a2
; lorsqu'il tourne de l'angle E (mesuré en radians), il balaie l'aire :
A1=π·a2
2π·E=1
2·a2·E
(39)
Exprimons maintenant l'aire A
2
du triangle (OFM
c
). Cette aire est égale au demi produit de la hauteur Y
Mc
du triangle
par sa base : OF = c = a.e ;
A2=1
2·a·sin (E)·a·e=1
2·a2·e·sin (E)
(40)
La diérence (A
1
- A
2
) représente l'aire A
3
de la surface délimitée par l'arc
⌢
P Mc
et les segments (FP) et (FM
c
) :
A3=A1−A2=1
2·a2·[E−e·sin (E)]
(41)
Appliquons à tout point du contour dont on vient de calculer l'aire A
3
la transformation déjà utilisée : à tout point de
ce contour, on fait correspondre un point de même abscisse mais d'ordonnée multipliée par le rapport (b/a) ; l'arc de cercle
6
se transforme en la portion d'ellipse ; le segment (FM
c
) se transforme en segment (FS) et le segment (FP) se conserve
(multiplier l'ordonnée nulle de tout point de (FP) par b/a donne zéro). L'aire A recherchée est donc simplement :
A=b
a·A3=1
2·a·b·[E−e·sin (E)]
(42)
Par identication avec l'expression de cette aire obtenue en (33), on obtient la relation recherchée entre M et E
démontrée
pour la première fois par Kepler
:
E−e·sin (E) = M
(43)
Cette équation n'admet pas de solution explicite littérale. Il faut donc la résoudre numériquement pour une date t
donnée à l'aide d'une calculatrice scientique ou d'un logiciel scientique (Matlab, Scilab, Maple, programme Python...).
Connaissant alors la valeur de E à la date t, on peut déterminer les coordonnées polaires du point S :
* La distance r entre F et S :
r=a·[1 −e·cos (E)]
(44)
* L'angle polaire
ν
appelé
anomalie vraie
de S, fournie par les formules (22) ou (27) que je rappelle :
tan (ν) = √1−e2·sin (E)
cos (E)−e
(45)
avec
sin (ν)
du signe de
sin (E)
.
ou :
tan ν
2=r1 + e
1−e·tan E
2
(46)
7 Illustrations graphiques
Les gures ci-dessous représentent les variations en fonction du temps sur une période des trois angles : l'anomalie moyenne
M, l'anomalie excentrique E, l'anomalie vraie
ν
. Pour les faibles excentricités, les écarts entre ces trois valeurs restent faibles
; le mouvement est proche d'un mouvement circulaire uniforme. Le entre O du repère est très proche du foyer F de l'ellipse.
Les écarts deviennent important dès que l'excentricité augmente. Conformément à la loi des aires, E et
ν
ne varient pas à
vitesse constante. On remarque que, en t=T/2 :
M=E=ν=πrad
; quelle que soit la valeur de l'excentricité, si t=0
correspond au passage par le périastre, l'apoastre est atteint à la date t=T/2.
Pour plus de clarté, on peut aussi animer le schéma précédent du paragraphe 6 en décalant au point O, le centre de la
trajectoire du point S
f
: ce point est représenté par une petite boule bleue. Son centre est animé d'un mouvement circulaire
uniforme de rayon a et de période T. L'angle polaire est (OP,OS
f
) =M anomalie moyenne, fonction linéaire du temps. L'angle
polaire du point Mc (boule rouge) est l'anomalie excentrique E=(OP,OM
c
) dont les variations sont conformes à la loi des
aires. Partant de l'apoastre A ou M=E=180
°
, l'angle E augmente moins vite que l'angle M à ce voisinage de A : la boule
rouge prend du retard sur la boule bleue. En s'approchant de P, E augmente plus vite que M : la boule rouge rattrape la
boule bleue en P et la dépasse. En s'approchant à nouveau de A, E augmente moins vite que M : la boule rouge se fait
rattraper par la boule bleue en A et ainsi de suite. Le satellite de centre S est représenté par la petite boule verte. L'angle
polaire (OP,FS) étant l'anomalie vrai. Le centre S du satellite (boule verte) a constamment même abscisse que M
c
. Cette
animation permet de visualiser qualitativement la loi des aires : la variation de l'anomalie vraie est nettement plus rapide
au voisinage du périastre P que de l'apoastre A. Plus précisément, partant de l'apoastre A où S et S
f
coïncident, le satellite
S (vert) prend du retard par rapport au mouvement moyen (point bleu) puis accélère pour rattraper le point bleu en P et
le dépasser car sa vitesse est supérieure à la vitesse moyenne au voisinage du périastre. Le satellite ralentit ensuite en se
rapprochant de l'apoastre A de façon que S et S
f
coïncident à nouveau en A et ainsi de suite...
7
anomalies et loi des aires; format .avi anomalies et loi des aires ; format .mp4
Voici également une animation disponible aux formats mp4 et avi en cliquant sur un des deux liens ci-dessous ; elle illustre
la loi des aires ; On y place quarante positions successives du point mobile sur la trajectoire, prises à intervalles de temps
consécutifs égaux ; on remarque bien que la vitesse est plus élevée au voisinage du périastre que de l'apoastre ; de plus, les
diérents secteurs tracés sont tous d'aires égales :
Visualisation loi des aires ; format .avi Visualisation loi des aires ; format .mp4
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