Annexe n° 4 : choix des
engrenages du planétaire
I. Engrenage ; rapport de
transmission.
Un engrenage est un ensemble de deux
roues dentées calées sur deux axes parallèles
transmettant par le contact des dents un mouvement de rotation de
l'une à l'autre en générant un minimum de frottement.
La roue entraînée par un dispositif
extérieur est la roue menante. Celle à laquelle le mouvement est
transmis est la roue menée. On note 1
la vitesse de rotation de la roue menante, 2
celle de la roue menée. Les nombres de dents sont respectivement Z1
et Z2 (voir schéma ci-contre). On appelle
cylindres primitifs, les cylindres de même entraxe qui en roulant sans
glisser l'un sur l'autre, produiraient le même rapport
de
transmission :
.
Il est donc possible de raisonner sur
les cylindres primitifs pour étudier les vitesses de rotation. On
appelle cercle primitif l'intersection du plan de figure
(perpendiculaire aux axes de rotation) avec un cylindre primitif.
Le pas p d'une roue dentée
est la longueur de l'arc de cercle primitif compris entre deux profils
de denture consécutifs. La longueur de la circonférence du cercle
primitif est le produit du nombre par
le diamètre d du cercle primitif. Cette longueur est aussi le produit du
pas par le nombre de dents. Si on note R le rayon du cercle primitif et
Z le nombre de dents, on peut poser :
.
Il n'y a pas de glissement au point de contact entre les deux cercles
primitifs. La vitesse v d'un point du cercle primitif n° 1 est donc
égale à la vitesse v d'un point du cercle primitif n° 2 (vitesses
mesurées dans un repère fixe par rapport aux axes de rotation des
roues) :
.
Pour
que
les deux roues engrènent avec un minimum de frottement, elles doivent
avoir le même pas p. Donc :
;
D'où
l'expression
du rapport de transmission :
avec
les deux roues tournant en sens inverses.
II. Train d'engrenages ; rapport de
transmission.
Un
train d'engrenages est tout simplement un
ensemble de plusieurs engrenages en « cascade ». Nous
nous limitons au cas le plus simple et le plus utilisé pour la
fabrication des horloges mécaniques : le train d'engrenage
droit où les axes de rotation sont parallèles entre eux.
Raisonnons sur le train d'engrenage schématisé ci-contre. Les
roues dentées 2 et 3 ont même axe et sont bloquées l'une
par rapport à l'autre : 2=
3 ;
pour
la même raison : 4
= 5.
En
utilisant les résultats précédents, l'engrenage roue 1 – roue 2 conduit
à :
(1) ;
l'engrenage
roue
3 – roue 4 conduit à :
(2) ;
l'engrenage
roue
5 – roue 6 conduit à :
(3).
En
multipliant
« membre à membre » les trois relations précédentes et en
tenant compte des deux égalités de vitesses ont obtient :
.
Le
rapport
6/1 représente le rapport de
transmission du train d'engrenages. Les roues 1, 3, 5 entraînent
respectivement les roues 2, 4, 6. Les roues 1, 3, 5 sont les roues
menantes ; les roues 2, 4, 6 sont les roues menées. On peut
généraliser le résultat précédent à un train droit quelconque :
.
Chaque engrenage inverse le
sens de rotation : si le nombre d'engrenages est un nombre
pair, la roue de sortie tourne dans le même sens que la roue
d'entrée ; si le nombre d'engrenages est impair, le sens de
rotation de la roue de sortie est le sens contraire du sens de rotation
de la roue d'entrée.
III. Comment déterminer les nombres
de dents des roues d'un train d'engrenage ?
Les rapports de transmission utiles pour un planétaire sont
des nombres résultants de mesures astronomiques qui ne sont pas
nécessairement simples. Prenons un exemple : l'horloge du
planétaire possède une roue tournant à la vitesse d'un tour toutes les
24 heures et on veut faire tourner sur elle-même la sphère
représentant la terre à raison d'un tour par jour sidéral. Il faut
fabriquer un train d'engrenage dont le rapport de transmission soit le
plus proche possible du nombre réel suivant (voir page 16 du
document principal) :
;
Un rapport de transmission est toujours une fraction (les
mathématiciens disent : « un nombre rationnel »). Il
faut donc commencer par déterminer un nombre rationnel très proche du
rapport de transmission souhaité.
III. 1. Première étape :
choix du nombre rationnel approché.
III.1.1. Méthode
« manuelle ».
On commence par écrire le nombre réel a sous la forme :
.
partie entière de a = 0 ; a1 = 1/0,9972696720
= 1,0027378031.
.
On écrit a1 sous la forme : 
;
;
On écrit a2 sous la forme : 
.
.
Et ainsi de suite : 
….
Cela donne :
.
Plus on pousse loin le calcul, meilleure est l'approximation.
Calculons la valeur approchée de a en négligeant la dernière
fraction.
;
;
D'où une valeur approchée de a :
.
Cette valeur approchée vaut : 0,997269624573. Les sept
premiers chiffres après la virgule sont identiques ;
l'approximation est bonne mais le calcul est fastidieux…
III.1.2. Recours à l'informatique.
De nombreux logiciels scientifiques ont des procédures
capables de donner directement le résultat : MAPLE, SCILAB,
MATLAB…
Voici par exemple un « copier-coller » de la
feuille de travail de MATLAB :
>>
r=365.256363004/366.256363004
r =
0.997269672008431
>> rats(r)
ans =
1461/1465
>> rats(r,18)
ans =
14245/14284
La commande « rats » donne directement le résultat
obtenu « à la main ». On peut obtenir une précision encore
meilleure : 14245/14284 = 0,997269672360683 ; cette fois-ci
les neuf premiers chiffres après la virgule coïncident.
III. 2.
Seconde étape : choix du train d'engrenage.
Il est impossible de fabriquer un engrenage unique :
les roues dentées devraient avoir 1461 et 1465 dents. La formule du
rapport de transmission d'un train d'engrenage nous indique la
méthode : il faut décomposer la fraction obtenue à l'étape
précédente en un produit de plusieurs fractions, autant de fractions
qu'il y aura d'engrenages.
Pour cela il faut commencer par décomposer le numérateur et
le dénominateur en produits de facteurs premiers. Il existe des
tables donnant cette décomposition. La commande « factor »
de MATLAB donne directement le résultat :
>> factor(1461)
ans =
3 487
>> factor(1465)
ans =
5 293
Pas de chance ! Poser : 
conduirait
à
fabriquer quatre roues dentées ayant 3, 4, 293, 487 dents ;
impossible : ces nombres sont soit trop grands soit beaucoup trop
petits. Tentons notre chance avec l'autre fraction :
>> factor(14245)
ans =
5 7 11 37
>> factor(14284)
ans =
2 2 3571
14245 = 35 x 11 x 37 : cela
peut convenir mais pas 14284 !
Tentons notre chance avec une
valeur très proche :14283 :
>> factor(14283)
ans =
3 3 3 23 23
14283
=
27 x 23 x 23 ; cela peut
convenir. Nous allons donc poser :
.
Nous aurons ainsi un train de trois
engrenages avec des roues dont les nombres de dents seront 35, 11, 37,
27, 23, 23. Cela est aisé à fabriquer.
.
L'erreur introduite par le train
d'engrenage est égale à 0,0000698. Sur une année, donc après un
peu plus de 365 tours de la terre sur elle-même, cela se traduit par
une rotation de la terre sur elle-même supérieure à la réalité
d'environ 9° ; cette erreur est certainement très inférieure à
l'erreur induite par le fonctionnement de l'horloge mécanique qui
entraîne le train d'engrenage. On peut donc choisir ce train
d'engrenages.
Remarque :
il
est possible d'obtenir une
meilleure précision. Il
suffit « d'automatiser » la recherche en balayant, à
l'aide d'une boucle de programmation les valeurs très proches du
nombre à obtenir et, pour chacune de ces valeurs, de rechercher le
rationnel approché dont le numérateur et le dénominateur se
décomposent en produits
de facteurs premiers acceptables.
On obtient de cette manière : 
.
Cela conduit à un train d'engrenage tout à fait réalisable avec des nombres de dents certes un
peu plus élevés mais la précision est excellente : l'erreur sur le rapport de
réduction n'est plus ainsi que de 9 milliardièmes !
Au XIXième siècle, lors de la rénovation
de l'horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg,
Jean-Baptiste Schwilgué adopta le rapport suivant : 
.
L'erreur est de 105 milliardièmes avec
une roue de
341 dents mais
Schwilgué
n'avait pas d'ordinateur !
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