Annexe 5 : les forces de marées.

Forces de marées	créées par la lune sur la terre	créées par le soleil sur la terre	créées par la terre sur la lune	créées par le soleil sur la lune
	1	0,456 = 1/2,19	22,1	0,124 = 1/8,04

Ces résultats sont cohérents avec les faits : l'influence de la lune sur les marées terrestre est prédominante (c'est la lune qui impose le rythme des marées) mais l'influence du soleil n'est pas négligeable : il influence fortement les amplitudes des marées. Si les axes (OOL) et (OOS) sont proches (cas des nouvelles et des pleines lunes), les effets du soleil et de la lune s'ajoutent, les marées sont de grande amplitude (marées de vives eaux tous les demi-mois lunaires en moyenne) ; lorsque les deux axes sont le plus écartés (cas des deux quartiers), les effets se compensent partiellement, les marées sont de faible amplitude (marées de mortes eaux). Les amplitudes des marées dépendent de nombreux autres facteurs : les saisons, les variations des distances dT-S et dT-L …

Remarque : tout cela est fort bien expliqué dans l'excellent livre de Odile GUÉRIN :

« COMPRENDRE LES MARÉES » , publié aux éditions OUEST FRANCE.

III. Théorie statique des marées.

La compréhension de cette partie demande quelques connaissances en physique et en mathématiques...

III.1. Force de marée créé par la lune sur la terre.

Pour l'instant, nous négligeons l'influence du soleil : nous supposons l'ensemble {terre – lune} suffisamment loin de tout autre astre pour constituer un système isolé. Le principe d'inertie permet ainsi d'affirmer que le centre d'inertie G n'a pas d'accélération par rapport à un référentiel galiléen lié à un système d'étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes. Un repère RG d'origine G dont les axes pointent vers trois étoiles très éloignées est donc galiléen. On peut donc appliquer dans ce repère la relation fondamentale de la dynamique (dite aussi : seconde loi de Newton), sachant que la seule force à prendre en compte est la force gravitationnelle exercée par la lune sur la terre :

m_{T} \cdot \vec{a_{O / R_{G}}} = m_{T} \cdot \vec{G_{L}} (O)

; soit :

\vec{a_{O / R_{G}}} = \vec{G_{L}} (O)

L'accélération du centre de la terre dans ce repère barycentrique RG est donc égale à chaque instant au vecteur champ de gravitation créé par la lune au centre de la terre.

On s'intéresse maintenant aux forces exercées sur une particule P de masse m à la périphérie de la terre (par exemple une goutte d'eau d'un océan), l'étude se faisant maintenant dans le repère géocentrique R, d’origine O, le centre de la terre, ces trois axes restant constamment parallèles à ceux de RG .

Considérons d'abord les forces qui existent en absence de la lune :

* La force de gravitation exercée par la terre ;

* La force d'inertie centrifuge due à la rotation propre de la terre au tour de l'axe de ses pôles ;

* Les forces exercées par l'eau et éventuellement l'air autour de la goutte d'eau étudiée.

En absence de la lune, la goutte d'eau est considérée en équilibre par rapport à la terre : la résultante de ces forces est donc nulle.

À ces forces s'ajoutent celles inhérentes à la présence de la lune :

* l'attraction gravitationnelle exercée par la lune sur la particule :

m \cdot \vec{G_{L}} (P)

;

* la force d'inertie due au fait que le repère géocentrique n'est plus galiléen : du fait de la présence de la lune, son origine possède une accélération non nulle. Ce repère étant en translation par rapport à RG, la force d'inertie de Coriolis est nulle ; reste la force d'inertie d'entraînement :

\vec{F_{ie}} = - m \cdot \vec{a_{O / R_{G}}} = - m \cdot \vec{G_{L}} (O)

Conclusion : la résultante des deux forces dues à la présence de la lune est la force de marée s'exerçant sur la particule P en présence de la lune ; elle vaut :

\vec{F_{m}} = m \cdot \vec{G_{L}} (P) + \vec{F_{ie}} = m \cdot [\vec{G_{L}} (P) - \vec{G_{L}} (O)]

Par analogie avec les vecteurs champs de gravitation et de pesanteur, nous pouvons définir un vecteur champ de marée

\vec{a_{m}}

tel que :

\vec{F_{m}} = m \cdot \vec{a_{m}}

. Ainsi par identification :

\vec{a_{m}} = [\vec{G_{L}} (P) - \vec{G_{L}} (O)]

La théorie confirme les observations faites paragraphe I.4 sur les déformations provoquées par les champs non uniformes. La force de marée créé par la lune en un point P quelconque de la terre a bien pour origine la différence entre le champ de gravitation créé par la lune au point P de la terre et le champ de gravitation créé par la lune au centre de la terre.

III.2. Expression du vecteur champ de marée créé par la lune sur terre.

Nous utilisons les notations précisées sur le schéma.

\vec{a_{m}} = K \cdot m_{L} \cdot (\frac{\vec{{PO}_{L}}}{r^{3}} - \frac{\vec{{OO}_{L}}}{d^{3}})

\vec{{OO}_{L}} = d \cdot [\cos (θ) \cdot \vec{u_{r}} - \sin (θ) \cdot \vec{u_{θ}}]

;

\vec{{PO}_{L}} = \vec{PO} + \vec{{OO}_{L}} = [d \cdot \cos (θ) - R_{T}] \cdot \vec{u_{r}} - d \cdot \sin (θ) \cdot \vec{u_{θ}}

;

Théorème de Pythagore généralisé ( Al-Kashi) :

r^{2} = d^{2} + R_{T}^{2} - 2 \cdot R_{T} \cdot d \cdot \cos (θ)

;

D'où :

r = d \cdot {[1 - \frac{2 \cdot R_{T}}{d} \cdot \cos (θ) + \frac{R_{T}^{2}}{d^{2}}]}^{\frac{1}{2}}

Un développement de Taylor limité à l'ordre 2 en

\frac{R_{T}}{d}

conduit à l'expression approchée :

\frac{1}{r^{3}} = \frac{1}{d^{3}} \cdot [1 + \frac{3 \cdot R_{T}}{d} \cdot \cos (θ)]

La composante radiale du vecteur champ de marée en P est ainsi :

a_{mr} = \frac{K \cdot m_{l}}{d^{3}} \cdot [(d \cdot \cos (θ) - R_{T}) \cdot (1 + \frac{3 \cdot R_{T}}{d} \cdot \cos (θ)) - d \cdot \cos (θ)]

;

Soit encore :

a_{mr} = \frac{K \cdot m_{L}}{d^{3}} \cdot [3 \cdot R_{T} \cdot \cos^{2} (θ) - R_{T} - \frac{3 \cdot R_{T}^{2}}{d} \cdot \cos (θ)]

\frac{3 \cdot R_{T}^{2}}{d} = R_{T} \cdot (\frac{3 \cdot R_{T}}{d})

; or

\frac{3 \cdot R_{T}}{d}

est très inférieur à 1 ;

\frac{3 \cdot R_{T}^{2}}{d}

est donc très inférieur à RT et peu ainsi être négligé dans l'expression de amr .

D'où finalement :

a_{mr} = \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot [3 \cdot \cos^{2} (θ) - 1]

La composante tangentielle du vecteur champ de marée en P créé par la lune s'écrit :

a_{m θ} = \frac{K \cdot m_{L}}{d^{3}} \cdot [- d \cdot \sin (θ) \cdot (1 + \frac{3 \cdot R_{T}}{d} \cdot \cos (θ)) + d \cdot \sin (θ)] = - \frac{3 \cdot K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \sin (θ) \cdot \cos (θ)

;

soit encore :

a_{m θ} = - \frac{3}{2} \cdot \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \sin (2 \cdot θ)

Remarque 1 : le cas particuliers  = 0° correspondant au zénith (point A de la figure) conduit à :

\vec{a_{m}} = \frac{2 \cdot K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \vec{u_{r}}

;

le cas particulier  = 180° correspondant au nadir (point B de la figure) conduit à :

\vec{a_{m}} = \frac{2 \cdot K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \vec{u_{r}}

Compte tenu de l'orientation du vecteur unitaire

\vec{u_{r}}

, ces résultats sont cohérents avec ceux du paragraphe II.1.

Remarque 2 : pour  compris entre 0° et +90° et entre 180° et 270°, la composante am est négative ; pour  compris entre 90° et 180° et entre 270° et 360°, la composante am est positive. Compte tenu de l'orientation du vecteur unitaire

\vec{u_{θ}}

, les orientations de la composante tangentielle du vecteur

\vec{a_{m}}

sont rappelées sur le schéma ci-dessous. On remarque que, dans l’hémisphère terrestre face à la lune, cette composante tend à déplacer l’eau vers le point A au plus près de la lune alors que dans l’hémisphère terrestre opposé, la composante tangentielle de la force de marée tend à déplacer l'eau vers le point B le plus éloigné de la lune.Les forces de marée tendent donc à faire monter le niveau d'eau au voisinage de l'axe terre – lune , dans l’hémisphère face à la lune aussi bien que dans l’hémisphère opposé, ce qui est conforme aux raisonnements du paragraphe II.1.

Remarque 3 : les forces de marées sont bien proportionnelles à la masse de l'astre créant le phénomène de marée, inversement proportionnelle au cube de la distance entre les centres des deux astres et proportionnelle au rayon de l'astre subissant le phénomène de marée.

La figure ci-dessus représente

en rouge les composantes normale et tangentielle du

vecteur champ de marée pour quelques positions du point P de la surface terrestre.

III.
3
.
Surface libre des océans en présence de la lune.

III.3. Surface libre des océans en présence de la lune.

Ce calcul repose sur des hypothèses très simplificatrices :

* la terre est supposée parfaitement sphérique et recouverte d'une couche d'eau dont la hauteur serait constante en absence de marée (on néglige la surface des continents alors que les mers et océans occupent en réalité 71 % de la surface terrestre et on suppose tous les océans et mers de même profondeur…) ;

* la pression exercée sur les mers et océans par l'air atmosphérique est partout la même (pas d'anticyclone ou de dépression…)

* on néglige la force d'inertie centrifuge due à la rotation propre de la terre autour de l'axe de ses pôles devant la force de gravitation exercée par la terre. Cela permet de confondre le champ de pesanteur de vecteur

\vec{g}

avec le vecteur champ de gravitation créé par la terre en un point P à la surface libre des océans. Ainsi, en absence de force de marée, en tout point P de la surface libre de l'eau, on obtient :

\vec{g} = \vec{G_{T}} (P) = - \frac{K \cdot m_{T}}{R_{T}^{2}} \cdot \vec{u_{r}}

En présence de la lune, l'eau est soumise en plus à la force de marée qui a deux composantes : une composante tangentielle responsable des mouvements d'eau et une composante radiale dont les effets s'ajoute à ceux du champs de pesanteur : tout se passe comme si la surface libre de l'eau était soumise à une champ de pesanteur apparent égal à la somme du champ de pesanteur sans la lune et du champ de marée :

\vec{g_{a}} = \vec{g} + \vec{a_{m}} = - \frac{K \cdot m_{T}}{R_{T}^{2}} \cdot \vec{u_{r}} + \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot [3 \cdot \cos^{2} (θ) - 1] \cdot \vec{u_{r}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \sin (2 \cdot θ) \cdot \vec{u_{θ}}

La valeur du champ radial de marée est au plus égale à :

\frac{2 \cdot K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \approx 10^{- 6} N / kg

soit une valeur de l'ordre du dix millionième de g. Nous pouvons négliger cette composante et retenir l'expression simplifiée du champ de pesanteur apparent :

\vec{g_{a}} = - \frac{K \cdot m_{T}}{R_{T}^{2}} \cdot \vec{u_{r}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \sin (2 \cdot θ) \cdot \vec{u_{θ}}

On note

\vec{P_{o} P} = h . \vec{u_{r}}

. h représente l’élévation( si h>0) ou la diminution (si h<0) du niveau de la surface libre par rapport au niveau moyen en absence de marée avec

{OP}_{o} = R_{T}

Nous supposons l'eau en équilibre dans ce champ de pesanteur apparent ; la surface libre de l'eau est donc l'horizontale apparente du lieu, soit la perpendiculaire au vecteur

\vec{g_{a}}

(un fil à plomb en équilibre indiquerait la direction du vecteur

\vec{g_{a}}

). Soit un déplacement élémentaire du point P à la surface libre de l'eau dans le plan de figure :

\vec{dl} = dh \cdot \vec{u_{r}} + (R_{T} + h) \cdot d θ \cdot \vec{u_{θ}} \approx dh \cdot \vec{u_{r}} + R_{T} \cdot d θ \cdot \vec{u_{θ}}

(|h| négligeable devant RT). le vecteur

d \vec{l}

est perpendiculaire au vecteur

\vec{g_{a}}

; le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul :

\frac{- K \cdot m_{T}}{R_{T}^{2}} \cdot dh - \frac{3}{2} \cdot \frac{K \cdot m_{L} \cdot R_{T}}{d^{3}} \cdot \sin (2 \cdot θ) \cdot R_{T} \cdot d θ = 0

;

soit :

\frac{dh}{d θ} = - \frac{3}{2} \cdot \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{m_{T} \cdot d^{3}} \cdot \sin (2 \cdot θ)

Remarque : la relation fondamentale de la statique des fluides permet de démontrer l'orthogonalité des vecteurs

d \vec{l}

\vec{g_{a}}

. Si Pr désigne la pression et  la masse volumique de l'eau, en tout point du liquide en équilibre, la pression vérifie :

\vec{grad} (\Pr) = ρ \cdot \vec{g_{a}}

. Imaginons un déplacement élémentaire

d \vec{l}

à la surface de l'eau, tangentiellement à sa surface libre :

\vec{grad} (\Pr) \cdot \vec{dl} = ρ \cdot \vec{g_{a}} \cdot \vec{dl}

. Or,

\vec{grad} (\Pr) \cdot \vec{dl}

représente la variation élémentaire de pression à la surface libre du liquide qui est nulle puisque la pression atmosphérique est par hypothèse la même partout au niveau de l'eau. On obtient bien :

\vec{g_{a}} \cdot \vec{dl} = 0

Par intégration, on obtient :

h = \frac{3}{4} \cdot \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{m_{T} \cdot d^{3}} \cdot \cos (2 \cdot θ) + C

où C est une constante que nous allons déterminer en supposant que l'eau est incompressible, c'est à dire de volume constant. À chaque instant, les augmentations de niveau d'eau dans les régions de marées hautes sont compensées par les diminutions dues aux marées basses dans d'autres régions du globe : la variation de volume d'eau créée par la dénivellation h est nulle à l'échelle de la terre à chaque instant. Attention : sur la figure, la hauteur d'eau due au phénomène de marée (écart d’altitude entre la surface libre et la sphère de rayon RT) est très largement surestimée par rapport au rayon terrestre RT et l'angle d est extrêmement petit en réalité… Commençons par évaluer l’excès (au sens algébrique du terme) de volume d'eau dû à la marée, compris entre le cône de sommet O, de demi-angle au sommet , et le cône de sommet O et de demi-angle au sommet +d (voir figure au-dessus) ; l’axe de symétrie de ces cônes est orienté de O vers le centre de la lune. Dans le plan de figure, l'intersection de l'espace occupé par cette eau excédentaire située entre ces deux cônes, avec le plan de figure, est constituée de deux rectangles élémentaires, symétriques par rapport à l'axe des centres de la terre et de la lune, dont la hauteur est h et la largeur RT.d ; l'aire élémentaire de ces rectangles est ainsi : dS = h.RT.d. La figure est invariante par rotation autour de l'axe des centres. Le volume d'eau élémentaire recherché est donc le produit de dS par le périmètre du cercle de rayon R = RT.sin() soit : dV = 2..R.dS = 2..h.RT2.sin().d. Le volume total V s'obtient en intégrant l'expression précédente entre zéro et . Ce volume devant être nul, on obtient finalement :

0 = 2 \cdot π \cdot R_{T}^{2} \int_{0}^{π} h \cdot \sin (θ) \cdot d θ

;

soit :

\int_{0}^{π} [\frac{3}{4} \cdot \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{m_{T} \cdot d^{3}} \cdot \cos (2 \cdot θ) + C] \cdot \sin (θ) \cdot d θ = \frac{3}{4} \cdot \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{m_{T} \cdot d^{3}} \cdot \int_{0}^{π} \cos (2 \cdot θ) \cdot \sin (θ) \cdot d θ + C \cdot \int_{0}^{π} \sin (θ) \cdot d θ = 0

En remplaçant cos(2.) par 2.cos2() -1, on obtient :

\int_{0}^{π} \cos (2 \cdot θ) \cdot \sin (θ) \cdot d θ = {[- \frac{2}{3} \cdot \cos^{3} (θ) + \cos (θ)]}_{0}^{π} = - \frac{2}{3}

C \cdot \int_{0}^{π} \sin (θ) \cdot d θ = C \cdot {[- \cos (θ)]}_{0}^{π} = 2 \cdot C

D'où :

\frac{3}{4} \cdot \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{m_{T} \cdot d^{3}} \cdot (- \frac{2}{3}) + 2 \cdot C = 0

; soit :

C = \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{4 \cdot m_{T} \cdot d^{3}}

En reportant cette valeur dans l'expression générale de h et en remplaçant cos(2.) par 2.cos2() -1, on obtient :

h = \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d^{3}} \cdot [\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot \cos^{2} (θ) - 1) - \frac{1}{2}]

Soit après simplification :

h = \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d^{3}} \cdot (3 \cdot \cos^{2} (θ) - 1)

La figure ci-

dessous

, obtenue sous MATLAB, trace la courbe représentant les variations de h en fonction de



Pour plus de clarté, les valeurs de h sont fortement exagérées par rapport au rayon terrestre.

III.4. Surface libre des océans en présence de la lune et du soleil.

L'influence du soleil, s'étudie de la même manière que celle de la lune : il suffit de remplacer dans les calculs mL par mS et d = dT-L par dT-S . On suppose que la variation du niveau de l'eau est la somme des deux variations dues au soleil seul et à la lune seule.

Faisons d'abord un calcul simplifié en supposant le centre de la lune dans le plan de l'écliptique (on néglige l'inclinaison de la trajectoire du centre de la lune qui est d'environ

°…).

Si le point P de la périphérie terrestre est dans le plan de l'é

cliptique

les choses ont simple : si on note toujours



l'angle entre (OP) et (OO

L désignant la différence de longitude écliptique entre la lune et le soleil (voir schéma ci-dessus). On obtient simplement :

h = \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - L}^{3}} \cdot (3 \cdot \cos^{2} (θ) - 1) + \frac{m_{S} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - S}^{3}} \cdot (3 \cdot \cos^{2} (θ + Δ L) - 1)

Application numérique avec les distances moyennes déjà utilisées :

\frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - L}^{3}} = 17,87 cm

;

\frac{m_{S} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - S}^{3}} = 8,16 cm

Remarque : on retrouve entre ces deux hauteurs le rapport de 2,19 déjà calculé en fin de paragraphe II.2, montrant ainsi la prépondérance de l'influence de la lune sur les marées à la surface de la terre.

III.5. Influence des phases de la lune sur l'amplitude des marées.

Pour cette étude, nous allons nous intéresser à l'influence de



L sur les hauteurs d'eau à marée hauteur, c'est à dire pour



= 0° ou 180° soit cos(



) =

± 1

. Dans ce cas particulier, nous avons :

h_{1} = 17,87 \cdot 2 + 8,16 \cdot [3 \cdot \cos^{2} (Δ L) - 1]

Nous étudions également l'influence de L sur les hauteurs d'eau à marée basse, c'est à dire pour  = 90° ou 270° soit cos() = 0. Dans ce cas particulier, nous avons :

h_{2} = - 17,87 + 8,16 \cdot [3 \cdot \cos^{2} (90 + Δ L) - 1]

La courbe ci-contre représente la variation de l'amplitude (ou « marnage ») (h1 - h2) de la marée en fonction de L . La courbe montre bien que le marnage est maximum pour L = 0° ou 180° , soit à la pleine lune et à la nouvelle lune : il y a alors une marée de vives eaux. Le marnage est minimum pour L = 90° ou 270° soit à chaque quartier.

Autre représentation possible du phénomène : les courbes ci-dessus montrent les déformations de la surface de l'eau dans le plan de l'écliptique pour une pleine lune (courbe de gauche) puis pour un dernier quartier (courbe de gauche) dans le plan de l'écliptique. Dans le premier cas la déformation est beaucoup plus importante que dans le second.

III.6. Influence de la longitude et de la latitude terrestre sur la hauteur d'eau.

Les calculs précédents sont effectués pour des points de la surface terrestre situés dans le plan de l'écliptique en négligeant l'inclinaison de la trajectoire de la lune.

Pour avoir une expression générale de la hauteur d'eau h, il faut exprimer cos(



) en fonction de la latitude



de la longitude

du point P de la surface terrestre ainsi que des coordonnées équatoriales du soleil de et la lune : ascension droite



et déclinaison



Soit un point M quelconque de la sphère céleste de rayon arbitraire égal à 1 dont les coordonnées équatoriales sont





(voir figure ci-contre). Le vecteur

\vec{OM}

s'exprime dans la base

(\vec{u_{x}}, \vec{u_{y}}, \vec{u_{z}})

de la façon suivante (axe (OX) orienté vers le point vernal



) :

\vec{OM} = \cos (δ) \cdot \cos (α) \cdot \vec{u_{x}} + \cos (δ) \cdot \sin (α) \cdot \vec{u_{y}} + \sin (δ) \cdot \vec{u_{z}}

De façon analogue, un vecteur unitaire orienté de O vers le centre OL de la lune a pour expression dans la même base :

\vec{V_{L}} = \cos (δ_{L}) \cdot \cos (α_{L}) \cdot \vec{u_{x}} + \cos (δ_{L}) \cdot \sin (α_{L}) \cdot \vec{u_{y}} + \sin (δ_{L}) \cdot \vec{u_{z}}

Pour un point P de la surface terrestre, la déclinaison est égale à la latitude  et l’ascension droite P est celle du méridien de Greenwich G , donnée par les tables d'éphémérides, augmentée de la longitude l. Un vecteur unitaire orienté de O vers P a pour expression dans la même base :

\vec{V_{P}} = \cos (ϕ) \cdot \cos (α_{P}) \cdot \vec{u_{x}} + \cos (ϕ) \cdot \sin (α_{P}) \cdot \vec{u_{y}} + \sin (ϕ) \cdot \vec{u_{z}}

Par définition du produit scalaire :

\cos (θ) = \vec{V_{L}} \cdot \vec{V_{P}}

; cela conduit à :

\cos (θ) = \cos (δ_{L}) \cdot \cos (α_{L}) \cdot \cos (ϕ) \cdot \cos (α_{P}) + \cos (δ_{L}) \cdot \sin (α_{L}) \cdot \cos (ϕ) \cdot \sin (α_{P}) + \sin (δ_{L}) \cdot \sin (ϕ)

;

soit :

\cos (θ) = \cos (δ_{L}) \cdot \cos (ϕ) \cdot [\cos (α_{L}) \cdot \cos (α_{P}) + \sin (α_{L}) \cdot \sin (α_{P})] + \sin (δ_{L}) \cdot \sin (ϕ)

On reconnaît entre les crochets l'expression du cosinus de la différence des ascensions droites du méridien local et de la lune souvent appelé « angle horaire » de la lune :

HL = P - L = G + l -L ;

Finalement :

\cos (θ) = \cos (δ_{L}) \cdot \cos (ϕ) \cdot \cos (H_{L}) + \sin (δ_{L}) \cdot \sin (ϕ)

Nous avons besoin de l'expression de Y = (3.cos2() - 1) pour déterminer les hauteur d'eau. Le calcul est un peu long ; il se simplifie en tenant compte des trois relations classiques :

\cos^{2} (H_{L}) = \frac{1}{2} + \frac{\cos (2 \cdot H_{L})}{2}; 2 \cdot \cos (δ_{L}) \cdot \sin (δ_{L}) = \sin (2 \cdot δ_{L}); 2 \cdot \cos (ϕ) \cdot \sin (ϕ) = \sin (2 \cdot ϕ)

Y_{L} = \frac{1}{2} \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (ϕ)) \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (δ_{L})) + \frac{3}{2} \cdot [\sin (2 \cdot ϕ) \cdot \sin (2 \cdot δ_{L}) \cdot \cos (H_{L}) + \cos^{2} (ϕ) \cdot \cos^{2} (δ_{L}) \cdot \cos (2 \cdot H_{L})]

Pour l'angle ' entre les droites OOS et OP, le calcul se mène de façon identique, il suffit de remplacer la déclinaison de la lune par celle du soleil S et de définir l'angle horaire du soleil comme la différence entre les ascensions droites du méridien local et du soleil : HS = P - S . On pose YS = (3.cos2(') - 1) et on obtient :

Y_{S} = \frac{1}{2} \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (ϕ)) \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (δ_{S})) + \frac{3}{2} \cdot [\sin (2 \cdot ϕ) \cdot \sin (2 \cdot δ_{S}) \cdot \cos (H_{S}) + \cos^{2} (ϕ) \cdot \cos^{2} (δ_{S}) \cdot \cos (2 \cdot H_{S})]

La hauteur d'eau devient ainsi :

h = \frac{m_{L} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - L}^{3}} \cdot Y_{L} + \frac{m_{S} \cdot R_{T}^{4}}{2 \cdot m_{T} \cdot d_{T - S}^{3}} \cdot Y_{S}

;

soit, exprimée en cm pour les valeurs moyennes des distances entre les astres :

h = 17,87.YL + 8,16.YS .

Faisons quelques commentaires sur le terme prépondérant correspondant à l'influence de la lune : il est la somme de trois termes :

- le terme dit « semi-diurne » :

\frac{3}{2} \cdot 17,87 \cdot \cos^{2} (ϕ) \cdot \cos^{2} (δ_{L}) \cdot \cos (2 \cdot H_{L})

. HL représente l'angle angle le plan méridien contenant le point P et le plan méridien contenant le centre de la lune ; cet angle augmente de 360° par jour lunaire ; l'angle 2HL augmente de 360° tous les demi-jours lunaire. La période de variation de hauteur due à ce terme est le demi-jour lunaire d'où l'expression « terme semi-diurne) . L'amplitude est d'autant plus grande que  est petit donc que le point d'observation est proche de l'équateur. L'amplitude dépend de cos2(L) : elle sera maximale pour L proche de zéro, soit lorsque ce centre de la lune est proche du plan équatorial.

- le terme dit « diurne » :

\frac{3}{2} \cdot 17,87 \cdot \sin (2 \cdot ϕ) \cdot \sin (2 \cdot δ_{L}) \cdot \cos (H_{L})

car sa période de variation est le jour lunaire. Par rapport au terme précédent, celui-ci modifie la hauteur d'eau mais n'influence pas la période semi-diurne des marées : superposer à un terme sinusoïdal un autre terme sinusoïdal de période double ne modifie pas la période de la somme (théorème de Fourrier…).

- un troisième terme :

\frac{1}{2} \cdot 17,87 \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (ϕ)) \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (δ_{L}))

qui varie avec une période égale à la moitié de la période de variation de L soit une période d'un demi-mois draconitique.

Enfin, cette hauteur est inversement proportionnelle au cube de dT-S et dT-S fluctue autour de sa valeur moyenne avec une période d'un mois anomalistique.

Une analyse analogue est possible pour l'influence du soleil ; il suffit de remplacer jour lunaire par jour solaire et mois par année pour l'analyse des périodes...

IV. Prévision actuelle des marées.

IV.1. Mérites et insuffisances de la théorie statique.

La théorie statique rend compte correctement du rythme semi-diurne des marées et permet d'expliquer correctement l'influence des phases de la lune et l'influence des saisons sur leurs amplitudes. Plus généralement, on peut dire qu'elle identifie bien de nombreux paramètres dont dépendent les hauteurs d'eau. Elle présente néanmoins des insuffisances graves.

En premier lieu : c'est une théorie statique ; à cause de son inertie, l'eau ne peut pas être constamment en état d'équilibre : une modification des perturbations comme les déplacements de la lune et du soleil par rapport à la surface terrestre n'est pas répercutée instantanément sur le niveau d'eau. Ainsi, la marée haute à un endroit donné n'a pas lieu exactement lorsque la lune passe au plus près du lieu mais avec un certain retard. De même les marées de vives eaux n'ont pas lieu exactement à la pleine lune ou à la nouvelle lune mais trois jours plus tard environ. La théorie statique néglige la présence des continents, or le découpage des côtes et les irrégularités du relief des fonds marins engendrent des retards supplémentaires : par rapport à la lune, le retard de la marée haute sera plus grand pour un port située au fond d'une baie que pour un port situé sur une côte presque rectiligne proche de hauts fonds… Enfin, l'eau étant en mouvement par rapport à un repère non galiléen (la terre) , il faut tenir compte des forces d'inertie de Coriolis... Pour tenir compte de ces retards, on remplace dans les formules précédentes les angles horaires HL et HS par des « angles horaires retardés » (HL – rL) et (HS – rS) où les angles de retard rL et rS sont déterminés expérimentalement pour chaque port.

En second lieu : les amplitudes des marées prévues par la théories sont très inférieures en général à celles constatées : la théorie prévoit un marnage maximum de 60cm environ alors qu'il atteint souvent quelques mètres. La théorie statique suppose la profondeur des océans constante, ce qui est évidemment faux ; la diminution rapide de cette profondeur à l'approche des côtes ainsi que le découpage des côtes influencent de façon importante la hauteur d'eau. Pour compliquer la situation, des phénomènes de résonance peuvent intervenir : si une fréquence propre d'un océan ou d'un bassin maritime particulier coïncide avec la fréquence d'un des termes de marée définies précédemment, ce terme est considérablement amplifié. Ainsi la distance entre la côte est de l'Amérique du Nord et la côte de l'Europe de l'Ouest amplifie le terme semi-diurne de la marée ; en revanche, les dimensions du golfe du Mexique amplifie le terme diurne au point de le rendre prépondérant : on observe là-bas seulement une marée haute et une marée basse par jour lunaire. Pour tenir compte de cela, les amplitudes des différents termes de la formule statique sont remplacés par des constantes déterminées expérimentalement pour chaque port. On obtient ainsi, pour chaque port, une formule de la hauteur d'eau de la forme :

h = P_{L} \cdot [A_{1} \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (δ_{L})) + A_{2} \cdot [\sin (2 \cdot δ_{L}) \cdot \cos (H_{L} - r_{L})] + A_{3} \cdot \cos^{2} (δ_{L}) \cdot \cos (2 \cdot (H_{L} - r_{L}))]

+…

... P_{S} \cdot [A_{4} \cdot (1 - 3 \cdot \sin^{2} (δ_{S})) + A_{5} \cdot [\sin (2 \cdot δ_{S}) \cdot \cos (H_{S} - r_{S})] + A_{6} \cdot \cos^{2} (δ_{S}) \cdot \cos (2 \cdot (H_{S} - r_{S}))]

;

avec :

P_{L} = {(\frac{d_{T - L} moyen}{d_{T - L}})}^{3}; P_{S} = {(\frac{d_{T - S} moyen}{d_{T - S}})}^{3}

Cette formule semi-empirique a longtemps été utilisée en France. En effet, une théorie dynamique qui tiendrait compte à l'échelle de la terre du découpage des côtes, des variations de profondeur, des résonances, est totalement impossible à élaborer.

Remarque à propos du phénomène de résonance : pour mieux comprendre, imaginons la surface libre de l'eau d'une piscine que l'on perturbe périodiquement, par exemple en enfonçant puis relevant périodiquement une lourde plaque (en jaune sur la photographie ci-dessous). Ce mouvement provoque des vagues qui se propagent à partir de la plaque puis se réfléchissent sur les parois du bassin pour se superposer aux vagues que continue à émettre la plaque.

On constate que, pour certaines fréquences particulières du mouvement de la plaque appelées fréquences propres du bassin, la superposition de ces vagues produit une vague de très grande amplitude : il y a résonance. Le phénomène est utilisé dans les « piscines à vagues » (voir photographie). Il intervient dans le phénomène de marée avec bien sûr des fréquences beaucoup plus faibles.

Dans d'autres piscines à vagues, l'excitation périodique n'est pas obtenue par le mouvement d'une plaque mais par l'injection à intervalles réguliers d'eau ou d'air ...

IV.2. Méthode actuelle de prévision des marées : méthode des harmoniques.

Nous avons déjà inventorié un certains nombre de phénomène périodiques qui influence la hauteur d'eau : influence semi-diurne de la lune, influence semi-diurne du soleil, influence diurne du soleil, influence diurne de la lune, influence annuelle du soleil, influences mensuelles de la lune…. Si on tient compte de la complexité du mouvement de la lune et des influences faibles des autres planètes du système solaire, on dénombre une centaine de phénomènes périodiques influençant la hauteur d'eau h ; leurs périodes sont connues grâce aux mesures astronomiques, on les note T1 , T2 , … Ti … La méthode actuelle consiste à écrire la hauteur d'eau h comme une somme de N fonctions sinusoïdales (les « harmoniques » en mathématique) ayant les périodes définies précédemment :

h = h_{0} + h_{1} \cdot \cos (\frac{2 \cdot π \cdot t}{T_{1}} - ϕ_{1}) + ... + h_{i} \cdot \cos (\frac{2 \cdot π \cdot t}{T_{i}} - ϕ_{i}) + ... = h_{0} + \sum_{i = 1}^{N} h_{i} \cdot \cos (\frac{2 \cdot π \cdot t}{T_{i}} - ϕ_{i})

t est le temps solaire moyen local exprimé en heures décimales ; h0 désigne la hauteur d'eau moyenne.

Les hauteurs d'eau sont enregistrées en continu dans un grand nombre de port. Les théories mathématiques d'analyse du signal et les performances des ordinateurs permettent de déduire des enregistrements les amplitudes h0 , h1 , … et les déphasages 1 , 2 … pour chacun des ports de référence étudiés.

Ces mesures et ces calculs sont confiés en France à un organisme officiel : le SHOM (Service hydrographique et océanographique de la marine) qui publie ses résultats sous forme d'annuaires. Le site du SHOM : http://refmar.shom.fr/fr/documentation/supports-tipe;jsessionid=1B988F0101884594BF88CC28A7CFEE9E publie un fichier : « formulation.pdf » explicitant les calculs mais limité aux 21 premiers termes de la formule… Cela permet néanmoins d'obtenir des résultats assez précis (cette méthode est d'ailleurs reprise par diverses applications pour téléphones mobiles).

Remarque : les horaires des marées hautes et basses publiés par le SHOM sont très fiables. Concernant les hauteurs d'eau, les aléas climatiques peuvent apporter des modifications impossibles à prévoir : un vent très fort peut augmenter ou diminuer les hauteurs d'eau au voisinage des côtes selon que le vent souffle de la mer vers la terre ou l'inverse ; de plus, les hauteurs d'eau sont très sensibles aux variations de pression atmosphérique : une variation de seulement dix hectopascals, soit dix millibars (un peu moins d'un centième de la pression atmosphérique moyenne…) entraîne une variation de hauteur d'eau de 10 cm…