balancier compensé en température

Nous nous intéressons ici à un balancier qui « bat la seconde » : un tel balancier passe par sa position d'équilibre verticale une fois par seconde. On appelle « période » du balancier la durée entre deux passages consécutifs à la même position avec la même vitesse. La période d'un tel balancier est donc : T = 2s ; en effet, si par exemple le balancier passe par l'équilibre avec une vitesse orientée de la gauche vers la droite à une date t, une seconde plus tard, il repasse par l'équilibre avec une vitesse orientée de la droite vers la gauche ; il faut donc attendre la date (t+2s) pour que le balancier passe par l'équilibre avec la même vitesse qu'à la date t…

Nous verrons plus loin l'expression exacte de la période d'un balancier. Retenons pour l'instant la formule approchée :

où g désigne l'intensité du champ de pesanteur (environ 9,81N/kg en France) et l la distance entre l'axe de rotation horizontal du balancier et le centre de gravité G de celui-ci.

I.2. Loi de dilatation d'un métal.

Soit l₀ la longueur d'une tige métallique à une température ₀ donnée. Soit l la longueur de la même tige métallique à une température différente . L'expérience montre que la variation de longueur (l – l₀) est proportionnelle à la longueur l₀ et à la variation de température ( - ₀). La constante de proportionnalité  est le coefficient de dilatation thermique du métal :

La valeur de  varie selon la nature du métal pur ou selon la composition s'il s'agit d'un alliage. Voici quelques valeurs usuelles exprimées en multiples de 10^-⁶°C^-1:

Remarque : un coefficient de dilatation thermique de 21.10^-6 °C^-1 signifie qu'une tige de un mètre s'allonge de 21 micromètres (21.10^-6m) pour une augmentation de température de 1°C.

I.3. Nécessité d'une compensation en température du balancier.

Imaginons un balancier en laiton réglé pour battre la seconde à une température ₀ . Pour avoir un ordre de grandeur, raisonnons sur la formule simplifiée de la période. La distance de l'axe de rotation au centre de gravité doit être réglée à :

Supposons que la température ambiante augmente de 1°C. La distance entre l'axe de rotation et le centre de gravité devient :

L'application numérique conduit à : T = 2,0000209999s. Le balancier devient un peu plus lent, l'horloge va retarder ! Le retard provoqué par oscillation est bien sûr très faible mais le cumul de ces retards peut devenir significatif : pour une variation d'un seul degré, le retard cumulé atteint 6,35secondes par semaine. Si on reprend le calcul avec une baisse de température de 10°C (situation tout à fait possible dans une habitation l'hiver qui n'est pas chauffée pendant une période d'absence des occupants habituels…), l'avance atteint 1min3,5s par semaine…

Remarque : pour éviter la fabrication d'un balancier compensé, on peut envisager de fabriquer un balancier simple entièrement en invar, alliage découvert à la fin du XIX^ième siècle dont le coefficient de dilatation thermique est particulièrement faible. Pour une chute de température de 10°C, l'avance de l'horloge se limite à 4,5s par semaine. Cependant, l'invar est un alliage coûteux et l'avance de l'horloge, certes très faible, n'est pas tout à fait négligeable...

II. Exemples de compensation en température.

II.1. Balancier à gril de cinq tiges.

La photographie de droite donne un exemple de ce type de réalisation : la lentille pesante est reliée à l'axe de rotation par une série de cinq tiges alternativement en fer et en laiton. Les liaisons assurées par les plaques horizontales sont soit fixes (encastrements) soit coulissantes, de sorte que l'allongement des tiges de fer tend à abaisser le centre de gravité du balancier alors que l'allongement des tiges de laiton tend à le relever. Le schéma équivalent ci-contre permet de mieux comprendre ; les encastrements sont signalés par des X pour ne pas être confondus avec la liaison coulissante.

Le gril est compensé en température si, pour une variation ( - ₀) quelconque de température, l'abaissement provoqué par les tiges de fer est égal au relèvement provoqué par les tiges de laiton ; en notant ₁ et ₂ les coefficients de dilatation respectifs du fer et du laiton, cela conduit à :

Les tiges de fer sont toutes un peu plus longues que celles en laiton. La somme (l₁ + l₃ ) est nécessairement supérieure à 2l₂; la compensation en température du gril n'est donc possible que si ₂ est supérieur au double de ₁.

De plus, le calcul précédent ne prend pas en compte la dilatation de la lentille ; une simulation informatique précise montre qu'un balancier de ce type ne peut être compensé parfaitement en température que pour ₂ égal ou supérieur à 2,4₁ .

Conclusion : pour un balancier de ce type, le choix du couple fer – laiton ne permet pas une compensation rigoureuse en température ; tout au plus, obtient-on une atténuation de l'influence de la température sur la marche de l'horloge. Pour une compensation rigoureuse, il faudrait choisir le couple fer – zinc ou le couple fer – zamak, mais ces choix seraient peu esthétiques…

Remarque : le zamak est un alliage zinc – aluminium (ZnAl4) tel que  = 27,4.10^-6 °C^-1 .

II.2. Balancier à gril de neuf tiges.

Le principe est le même mais l'utilisation de neuf tiges (quatre en laiton, cinq en fer) permet une compensation rigoureuse de la température. La compensation rigoureuse du gril correspond à :

La construction du gril doit respecter les inégalités de longueurs suivantes :

Cela implique : ₂ > 1,5₁ . Pour le couple fer – laiton : ₂ = 1,8₁L'écart entre les coefficients de dilatation est largement suffisant pour fabriquer un balancier parfaitement compensé en température.

II.3. Balancier avec tige d'invar.

Le balancier précédent à l'inconvénient d'être un peu lourd et d'esthétique assez discutable. Nous allons voir que, moyennant l'achat d'une tige d'invar de moins d'un mètre de long, il est possible de conserver le principe du balancier à gril de cinq tiges en le transformant en un balancier esthétique et parfaitement compensé.

On remplace le fer par de l'inox. Cela ne règle pas, bien au contraire, le problème du rapport ₂/₁trop faible mais améliore l'esthétique et le durabilité. Le problème du rapport ₂/₁ se règle en remplaçant la tige centrale en fer par une tige dont une partie est en invar et l'autre en inox. Cela revient à diminuer le coefficient de dilatation thermique moyen des tiges coloriées en marron et rose sur le schéma de façon à obtenir une exacte compensation. Pour masquer la tige centrale rendue peu esthétique par la soudure inox – invar, les deux tiges en laiton sont remplacées par un tube en laiton qui l'entoure (voir schéma ci-dessous en coupe).

Toujours pour l'esthétique, la largeur des deux tiges extérieures en inox est égale (ou éventuellement un peu supérieure) au diamètre extérieur du tube en laiton.

Ainsi, en notant y la proportion d'invar dans la tige centrale et ₃ le coefficient de dilatation de l'invar, la condition de compensation en température du gril s'écrit :

III. Étude rigoureuse d'un balancier compensé en température.

Cette étude nécessite quelques connaissances en sciences physiques et l'usage d'un logiciel de calcul formel tel que MAPLE ou MATLAB (avec Symbolic Math Toolbox).

III.1. Les paramètres dont dépend la période T des oscillations du balancier.

III.1.1. Influence de l'intensité g de la pesanteur.

Cela a été expliqué dans l'annexe sur les forces de marées : le poids d'un objet de masse m est : P = m.g ; ce poids est la résultante de deux forces :

* l'attraction gravitationnelle exercée sur l'objet par la terre ; La terre n'est pas tout à fait sphérique : elle est légèrement aplatie au voisinage des pôles. Un objet à la surface de la terre est ainsi plus près du centre de la terre s'il est au voisinage d'un pôle plutôt qu'au voisinage de l'équateur ; à cause de cela, le poids du corps sera un peu plus élevé aux pôles plutôt qu'à l'équateur.

* la force centrifuge due à la rotation de la terre autour de l'axe de ses pôles. Cette force est nulle aux pôles et maximale sur la ligne de l'équateur où elle s'oppose à la force gravitationnelle tout en étant nettement moins intense.

Comme l’aplatissement de la terre au voisinage des pôles, l'existence de cette force centrifuge contribue à la variation du poids (donc de g puisque la masse m est fixe) à la surface de la terre. Ainsi, au niveau de la mer, g varie de 9,780N/kg à l'équateur à 9,832N/kg.

Ainsi g dépend à la fois de la latitude et de l'altitude. Or, cela apparaît déjà dans la formule simplifiée, la période des oscillations d'un balancier dépend de g ; cette période dépend donc du lieu de fonctionnement de l'horloge ; plus précisément cette période dépend de la latitude et de l'altitude du lieu de fonctionnement.

Essayons de quantifier cette influence à partir d'un exemple concret : imaginons une horloge à balancier fonctionnant correctement à Marseille (latitude : 43,3°N ; altitude : 28m ; valeur de g : 9,8045777N/kg). Le balancier bat la seconde, sa période d'oscillation est T = 2s. Transportons cette horloge à Lille (latitude : 50,63°N ; altitude 27m ; valeur de g : 9,8111836N/kg). La période du balancier est maintenant :

La période est un peu plus courte, le balancier oscille un peu plus vite : une horloge bien réglée à Marseille va avancer à Lille ! L'écart de période semble très faible mais n'oublions pas que les écarts se cumulent au court du temps : pour cet exemple, l'avance est de 3min24s par semaine, ce qui n'est pas négligeable !

III.1.2. Influence de l'amplitude des oscillations.

Nous le démontrerons en fin de cette annexe : l'expression rigoureuse de la période des oscillations libres de très faible amplitude d'un balancier est :

Cette formule donne une période qui ne dépend pas de l'amplitude, pourvu que celles-ci soit faible : on dit parfois que les oscillations sont isochrones tant que leur amplitude reste faible.

En réalité, l'affirmation précédente n'est qu'une simplification trop grossière pour être utilisée en horlogerie : nous le démontrerons en fin de cette annexe, la période dépend de l'amplitude selon une formule assez compliquée qui peut cependant se simplifier pour les amplitudes plutôt faibles utilisées en horlogerie :

T₀: période théorique des oscillations de très faible amplitude donnée par la formule précédente,

h : hauteur totale (mesurée en mètre) du balancier, c'est à dire distance entre l'axe de rotation et l'extrémité inférieure du balancier,

Remarque : le rapport (A/h) est l'amplitude angulaire exprimée en radian ; pour obtenir cette amplitude angulaire en degrés, il suffit de multiplier la valeur en radian par (180/). Ainsi, l'amplitude angulaire, mesurée en degrés, soit l'angle maximum dont s'écarte le balancier par rapport à sa position d'équilibre stable, vaut :

Prenons un exemple : nous désirons un balancier qui bat la seconde ; sa hauteur est h = 1,20m ; sont extrémité inférieure s'écarte de 7cm de part et d'autre de sa position d'équilibre : A = 0,07m ; _m=3,34°.

La période réelle est supérieure à deux secondes : le balancier et trop lent, l'horloge va retarder ; ce retard est de 2min8,6s par semaine, ce qui n'est pas négligeable.

Remarque : On touche ici un point particulièrement sensible : le système d'échappement de l'horloge doit permettre au balancier de garder une amplitude d'oscillation constante au cours du temps, sinon sa période d'oscillation varie, l'horloge n'a pas une avance régulière.

III.2. Dimensionnement du balancier.

Il faut commencer par obtenir la valeur précise de g au lieu fonctionnement. La formule ci-dessous permet de calculer g pour une latitude L donnée et une altitude h donnée :

De la valeur de la période désirée (T = 2s par exemple), de la hauteur h désirée du pendule et de l'amplitude A choisie, on déduit la valeur T₀:

Le balancier est considéré comme un ensemble rigide de N solides homogènes de formes simples, numérotés de 1 à N (voir schéma ci-dessous). Le solide n° i possède une masse m_i, son centre d'inertie est G_i et la distance de G_i à l'axe de rotation est a_i .

Le centre d'inertie du balancier est le barycentre des points G_i affectés des coefficients m_i . Cela conduit à :

Le moment d'inertie du balancier est la somme des moments d'inertie des différents solides :

Le moment d'inertie de chaque solide se calcule en appliquant le théorème de Huygens :

où J_G_i représente le moment d'inertie du solide par rapport à un axe passant par G_i et parallèle à l'axe de rotation du balancier.

Si l_i désigne une longueur mesurée à la température ₀, la longueur à la température quelconque  est : l_i (1+_i x) avec x =  - ₀ .

Prenons pour commencer le cas le plus simple : celui du solide n° 1 : sa longueur est :

Son moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire passant par son milieu G₁ vaut :

Explicitons maintenant le cas plus complexe de la lentille. À la température ₀ la distance de l'axe de rotation du balancier à l'extrémité inférieure de la tige n°3 est :

À la température ₀ , la distance de l'axe de rotation au centre G₇ de la lentille est donc :

l₁ – l₂ + l₅ – l₄ + l₃ – d – R avec R : rayon de la lentille.

À la température  quelconque, la distance de l'axe de rotation du balancier au point G₇ est donc :

₁, ₂ et ₃ désignent respectivement les coefficients de dilatation thermique de l'inox, du laiton et de l'invar.

L'expression du moment d'inertie de la lentille par rapport à l'axe parallèle à l'axe de rotation et passant par G₇ est d'expression plus complexe puisqu'il dépend à la fois du rayon R de la lentille et de son épaisseur au centre e₇. Pour un rapport e₇/R égal à 4/9, on démontre :

Remarque : je laisse aux passionnés de calcul intégral appliqué le plaisir de démontrer l'expression générale du moment d'inertie d'une lentille homogène de rayon R et d'épaisseur au centre e₇ = n.R, par rapport à l'axe passant par le centre de gravité de la lentille et parallèle à l'axe de rotation du balancier (₇: masse volumique de la lentille) :

On pourra vérifier que le cas particulier n = 2 conduit bien à l’expression classique du moment d'inertie d'une boule homogène par rapport à un de ses diamètres : 0,4.m₇.R² ...

Des raisonnements analogues appliqués aux huit solides constituant le balancier permettent ensuite d'établir l'expression de :

La mesure de la masse par unité de longueur des tiges n° 5 (notée µ₅ ) permet d'exprimer la masse de chacune des tiges n° 5 comme le produit : m₅ = µ₅.l₅ . Toutes les dimensions et toutes les masses sont fixées par le constructeur à l'exception de la longueur l₅ et de la proportion « y » d'invar dans la tige centrale. En remplaçant toutes les autres grandeurs par leurs valeurs numériques, P apparaît comme un polynôme de degré 2 en x que l'on peut ordonner grâce à la commande MAPLE : « P₁ = collect(P,x) » ; ainsi :

où A, B et C apparaissent comme des expressions des inconnues l₅ et y que l'on peut extraire par les commandes : « A=coeff(P₁,x,0) ; B=coeff(P₁,x,1) ; C=coeff(P₁,x,2) » .

Le balancier bat la seconde quelle que soit la température si P₁ = 0 quel que soit x. Cela revient à écrire :

Les conditions A = 0 et B = 0 conduisent à un système de deux équations à deux inconnues que l'on résout numériquement par la commande :

On constate alors que C n'est pas tout à fait nul mais fait intervenir systématiquement des carrés de coefficients de dilatation, soit des termes de l'ordre de 10^-12. Comme x est de l'ordre de la dizaine au plus, C.x² reste toujours un terme négligeable. Pour s'en convaincre, on peut calculer la dérive hebdomadaire produite par un refroidissement de 10°C ; on obtient une avance d'à peine un millième de seconde par semaine, ce qui est tout à fait négligeable devant les autres causes de dérives possibles : imperfections mécaniques…

Ce balancier est donc parfaitement compensé en température et est très esthétique (la figure n'est pas à l'échelle : les distances entre les tiges et leurs diamètres sont très exagérées par rapports aux longueurs de celles-ci).

Remarque : il est possible, une fois l₅ et y connus, de calculer la distance a₇ de l'axe de rotation au centre de la lentille. Confondre le centre de gravité du balancier avec le centre de la lentille et se contenter de la formule approchée de la période donnée au paragraphe I.3 conduit à une période supérieure de 5,3 % à celle désirée (2s). Cette double erreur conduit à fabriquer une horloge qui retarde de près de 9 heures par semaine…

III.3. Expression théorique de la période d'un balancier.

III.3.1. Expression de la période des oscillations de très faible amplitudes.

On imagine un solide (le balancier) de centre de gravité G, mobile sans frottement autour d'un axe horizontal fixe par rapport à la terre, perpendiculaire au plan de figure et ne passant pas par le point G. Soit O l'intersection de cet axe avec le plan de figure et  l'élongation angulaire, c'est à dire l'écart angulaire entre la position d'équilibre stable du balancier et sa position à une date quelconque.

Attention : sauf indication contraire, les angles sont dorénavant exprimés en radians.

La seule action susceptible de travailler est le poids ; l'énergie potentielle du balancier est donc :

z : altitude du centre de gravité G, le niveau d'altitude nulle étant la position d'équilibre stable de G,

En négligeant les frottements, on peut considérer l'énergie mécanique comme une constante : le nombre dérivé de Em par rapport au temps est ainsi nul à chaque instant :

Cette situation correspond au balancier constamment immobile lorsqu'il occupe sa position d'équilibre stable ;

Cette équation différentielle n'admet pas de solution simple dans le cas général. En revanche, si la valeur de  reste toujours très faible, ce qui est le cas de mouvement de très faible amplitude, il est possible de considérer le sinus de l'angle  comme toujours très proche de la valeur de l'angle exprimé en radian. L'équation différentielle simplifiée s'écrit :

où _m représente l'amplitude en radian des oscillation et  une constante qui dépend du choix de l'instant de date zéro. La période d'un tel mouvement circulaire sinusoïdal est :

III.3.2. Expression de la période en fonction de l'amplitude.

On imagine le balancier écarté de sa position d'équilibre stable d'un angle _m (amplitude angulaire) puis abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0. Selon le calcul précédent, son énergie mécanique à cet instant vaut :

En absence de frottement, l'énergie mécanique à une date t quelconque est égale à l'énergie mécanique initiale :

Pendant le premier quart de période, le balancier se déplace dans le sens négatif, le sens positif étant celui des flèches d'orientation des angles sur la figure ci-dessus. Pendant ce premier quart de période, l'expression de la vitesse angulaire est donc :

La relation entre T, T₀ et _m s'obtient donc en calculant l'intégrale précédente ; or se calcul n'a pas de solution littérale exacte : il faut se contenter d'une résolution numérique à l'aide d'un logiciel tel que MATLAB ou MAPLE. Voici un « copier-coller » de la feuille de travail MATLAB pour l'exemple déjà choisi :

Ce résultat est très voisin de celui fourni par la formule approchée dans la mesure où l'amplitude angulaire choisie n'est que de quelques degrés. Pour mieux fixer les idées, je reproduis ci-dessous en rouge, pour diverses amplitudes, la courbe représentant les retards hebdomadaires réels, mesurés en minutes, que l'on obtiendrait en réglant T_o = 2s et en considérant que le balancier bat alors la seconde. La courbe bleue représente les retards hebdomadaires calculés à partir de la formule approchée :

On constate que la formule approchée peut être utilisée de façon fiable tant que l'amplitude angulaire ne dépasse pas la vingtaine de degrés, ce qui est en général le cas en horlogerie.

On voit surtout très clairement que le fait que les oscillations ne sont pas isochrones entraîne, si on ne tient pas compte du phénomène, des erreurs très importantes.

III.3.3. Expression simplifiée de la période en fonction de l'amplitude.

On repart de l'expression du paragraphe précédent en passant aux angles moitiés. Sachant que de façon générale :

Sachant que le sinus de (/2) est nécessairement inférieur ou égal à celui de (_m/2), il est possible d'effectuer un changement de variable d'intégration en posant :

Pas plus que l'intégrale obtenue au paragraphe précédent, celle-ci n'admet de solution explicite simple. Elle a néanmoins l'avantage de pourvoir se simplifier facilement lorsque les amplitudes restent faibles. Dans ces cas :

On obtient bien l'expression approchée de la période déjà évoquée et connue sous le nom de formule de Borda :